Low-dimensional examples EditOne di

Low-dimensional examples Edit

One dimension Edit
A one-dimensional complex affine space, or complex affine line, is a torsor for a one-dimensional linear space over {displaystyle mathbb {C} } mathbb {C} . The simplest example is the Argand plane of complex numbers {displaystyle mathbb {C} } mathbb {C} itself. This has a canonical linear structure, and so "forgetting" the origin gives it a canonical affine structure.

For another example, suppose that X is a two-dimensional vector space over the complex numbers. Let {displaystyle alpha :mathbf {X} o mathbb {C} } alpha:mathbf X omathbb C be a linear functional. It is well-known that the set of solutions of α(x) = 0, the kernel of α, is a one-dimensional linear subspace (that is, a complex line through the origin of X). But if c is some non-zero complex number, then the set A of solutions of α(x) = c is an affine line in X, but it is not a linear subspace because it is not closed under arbitrary linear combination. The difference space V is the kernel of α, because the difference of two solutions of the inhomogeneous equation α(x) = c lies in the kernel.

An analogous construction applies to the solution of first order linear ordinary differential equations. The solutions of the homogeneous differential equation

{displaystyle y'(x)+mu (x)y(x)=0} y'(x) + mu(x)y(x) = 0
is a one-dimensional linear space, whereas the set of solutions of the inhomogeneous problem

{displaystyle y'(x)+mu (x)y(x)=f(x)} y'(x) + mu(x)y(x) = f(x)
is a one-dimensional affine space A. The general solution is equal to a particular solution of the equation, plus a solution of the homogeneous equation. The space of solutions of the homogeneous equation is the difference space V.

Consider once more the general the case of a two-dimensional vector space X equipped with a linear form α. An affine space A(c) is given by the solution α(x) = c. Observe that, for two difference non-zero values of c, say c1 and c2, the affine spaces A(c1) and A(c2) are naturally isomorphic: scaling by c2/c1 maps A(c1) to A(c2). So there is really only one affine space worth considering in this situation, call it A, whose points are the lines through the origin of X that do not lie on the kernel of α.

Algebraically, the complex affine space A just described is the space of splittings of the exact sequence

{displaystyle 0 o ker alpha {xrightarrow {subseteq }}X{xrightarrow {alpha }}mathbb {C} o 0.} 0 okeralphaxrightarrow{subseteq}Xxrightarrow{alpha}mathbb C o 0.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตัวอย่างมิติต่ำแก้หนึ่งมิติแก้ช่องว่าง affine one-dimensional ซับซ้อน หรือบรรทัด affine ซับซ้อน มี torsor สำหรับพื้นที่เชิงเส้น one-dimensional มากกว่า {displaystyle mathbb {C } } mathbb {C } ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ เครื่องบิน Argand ของจำนวนเชิงซ้อน {displaystyle mathbb {C } } mathbb {C } ตัวเอง นี้มีโครงสร้างเชิงเส้นมาตรฐาน และเพื่อให้ "ลืม" มาทำให้โครงสร้าง affine มาตรฐานสำหรับอย่างอื่น สมมติว่า X จะมีเวกเตอร์สองมิติซ้อน ให้ { displaystyle alpha: o mathbb mathbf {X } {C } } alpha:mathbf X omathbb C จะเป็นเชิงเส้นทำงาน เป็นที่รู้จักที่ตั้งของโซลูชั่นของ α(x) = 0 เคอร์เนลของα เป็น subspace เชิงเส้น one-dimensional (นั่นคือ ซับซ้อนสายผ่านจุดเริ่มต้นของ X) แต่ถ้า c เป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ใช่ศูนย์บาง แล้วชุด A ของโซลูชั่นของ α(x) = c คือ บรรทัด affine ใน X แต่ไม่ subspace เป็นเชิงเส้น เพราะไม่มีปิดภายใต้การรวมเชิงเส้นที่กำหนด ช่องว่างความแตกต่างของ V เป็นเคอร์เนลของα เนื่องจากความแตกต่างของโซลูชั่นสองของ α(x) งานสมการ = c อยู่ในเคอร์เนลการก่อสร้างคล้ายคลึงกับการแก้ปัญหาของแรกสั่งเชิงสามัญสมการนั้น โซลูชั่นของสมการความแตกต่างเหมือนกัน{ displaystyle y'(x) + mu (x) y (x) = 0 } y'(x) + mu(x)y(x) = 0เป็นเชิงเส้นพื้นที่ one-dimensional ในขณะที่ชุดของโซลูชั่นของปัญหางาน{ displaystyle y'(x) + mu (x)y(x)=f(x) } y'(x) + mu(x)y(x) = f (x)พื้นที่ affine one-dimensional ก. การแก้ปัญหาทั่วไปจะเท่ากับการแก้ไขปัญหาเฉพาะของสมการ บวกวิธีการแก้ปัญหาของสมการเป็นเนื้อเดียวกัน พื้นที่ของโซลูชั่นของสมการเหมือนเป็นช่องว่างความแตกต่างของ Vพิจารณาอีกครั้งทั่วไปกรณีของเวกเตอร์สองมิติ X ที่มีแบบฟอร์มเชิงเส้นα พื้นที่ affine A(c) ถูกกำหนด โดย α(x) แก้ปัญหา = c. Observe สำหรับสองความแตกต่างไม่ใช่ศูนย์ค่า c พูด c1 และ c2 จอด affine A(c1) และ A(c2) ธรรมชาติ isomorphic: มาตราส่วน โดย c2/c1 แมป A(c1) A(c2) จริง ๆ มีเพียงหนึ่งพื้นที่ affine มูลค่าการพิจารณาในสถานการณ์นี้ เรียกว่า A จุดมีเส้นผ่านจุดเริ่มต้นของ X ที่ได้อยู่ในเคอร์เนลของαไว้ algebraically พื้นที่ affine ซับซ้อนเพียงอธิบายไว้เป็นพื้นที่ของ splittings ลำดับที่แน่นอน{displaystyle 0 o ker alpha {xrightarrow {subseteq } } x {xrightarrow {alpha } } mathbb {C } o 0} 0 okeralphaxrightarrow mathbb C o Xxrightarrow {alpha } {subseteq } 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่างต่ำมิติแก้ไข

อีกมิติหนึ่งแก้ไข
หนึ่งมิติพื้นที่เลียนแบบที่ซับซ้อนหรือสายเลียนแบบที่ซับซ้อนเป็น torsor สำหรับพื้นที่เชิงเส้นหนึ่งมิติมากกว่า { displaystyle mathbb {C}} mathbb {C} ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือเครื่องบิน Argand ตัวเลขที่ซับซ้อน { displaystyle mathbb {C}} mathbb {C} ตัวเอง นี้มีโครงสร้างเชิงเส้นที่ยอมรับและเพื่อให้ "ลืม" จุดเริ่มต้นให้มันเลียนแบบโครงสร้างที่ยอมรับ.

สำหรับอีกตัวอย่างหนึ่งสมมติว่า X เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติมากกว่าตัวเลขที่ซับซ้อน Let { displaystyle alpha: mathbf {X} to mathbb {C}} alpha: mathbf X to mathbb C เป็นเชิงเส้นการทำงาน มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าชุดของการแก้ปัญหาของα (x) = 0, เมล็ดαที่เป็นมิติหนึ่งสเปซเชิงเส้น (นั่นคือเส้นที่ซับซ้อนผ่านต้นกำเนิดของ X) แต่ถ้า c คือบางอย่างที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนเชิงซ้อนแล้วชุดของการแก้ปัญหาของα (x) = c คือสายการเลียนแบบใน X แต่มันไม่ได้เป็นสเปซเชิงเส้นเพราะมันไม่ได้ปิดภายใต้การรวมกันเชิงเส้นโดยพลการ พื้นที่ที่แตกต่าง V คือเมล็ดพันธุ์แห่งαเพราะความแตกต่างของสองโซลูชั่นของαสม inhomogeneous (x) = C อยู่ใน kernel.

ก่อสร้างคล้ายคลึงนำไปใช้ในการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสั่งซื้อครั้งแรกเชิงเส้น โซลูชั่นของสมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

{ displaystyle Y '(x) + หมู่ (x) Y (x) = 0} Y' (x) + หมู่ (x) Y (x) = 0
เป็นหนึ่งมิติ พื้นที่เชิงเส้นในขณะที่ชุดของการแก้ปัญหาของปัญหา inhomogeneous

{ displaystyle Y '(x) + หมู่ (x) Y (x) = f (x)} Y' (x) + หมู่ (x) Y (x ) = f (x)
เป็นหนึ่งมิติ A. พื้นที่เลียนแบบการแก้ปัญหาทั่วไปจะมีค่าเท่ากับการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งของสมการบวกการแก้ปัญหาของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน พื้นที่ของการแก้ปัญหาของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันคือความแตกต่างพื้นที่ V.

พิจารณาอีกครั้งทั่วไปกรณีของสองมิติปริภูมิเวกเตอร์ X พร้อมกับαรูปแบบเชิงเส้น พื้นที่เลียนแบบ A (c) จะได้รับโดยวิธีการแก้α (x) = C สังเกตว่าสำหรับสองความแตกต่างค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ C, พูด C2 C1 และพื้นที่เลียนแบบ A (C1) และ (C2) มี isomorphic ธรรมชาติ: การปรับขนาดโดย C2 / C1 แผนที่ (C1) ไป A (C2) จึงมีความจริงเพียงหนึ่งช่องเลียนแบบมูลค่าการพิจารณาในสถานการณ์เช่นนี้เรียกว่าซึ่งเป็นจุดที่เป็นเส้นผ่านจุดเริ่มต้นของ X ที่ไม่ได้อยู่บนเคอร์เนลของα. ที่

พีชคณิตพื้นที่เลียนแบบที่ซับซ้อนเพียงแค่อธิบายเป็นพื้นที่ ของ splittings ของลำดับที่แน่นอน

{ displaystyle 0 to Ker alpha { xrightarrow { subseteq X}} { xrightarrow { alpha}} mathbb {C} 0} 0 to Ker alpha xrightarrow { subseteq X} xrightarrow { alpha} mathbb C 0