For example, in the first construct

For example, in the first construction of Book 1, Euclid used a premise that was neither postulated nor proved: that two circles with centers at the distance of their radius will intersect in two points.[27] Later, in the fourth construction, he used superposition (moving the triangles on top of each other) to prove that if two sides and their angles are equal then they are congruent; during these considerations he uses some properties of superposition, but these properties are not described explicitly in the treatise. If superposition is to be considered a valid method of geometric proof, all of geometry would be full of such proofs. For example, propositions I.1 – I.3 can be proved trivially by using superposition.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตัวอย่างเช่นในการก่อสร้างครั้งแรกของหนังสือเล่มที่ 1 euclid ใช้สถานที่ที่ได้รับการกล่าวอ้างหรือไม่ได้รับการพิสูจน์. ว่าทั้งสองวงการกับศูนย์ที่ระยะห่างจากรัศมีของพวกเขาจะตัดในสองจุด [27] ​​ต่อมาในการก่อสร้างที่สี่เขา การทับซ้อนที่ใช้ (ย้ายสามเหลี่ยมด้านบนของแต่ละอื่น ๆ ) เพื่อพิสูจน์ให้เห็นว่าถ้าทั้งสองด้านและมุมของพวกเขามีค่าเท่ากันแล้วพวกเขาก็จะสอดคล้องกัน;ในระหว่างการพิจารณาเหล่านี้เขาใช้คุณสมบัติของการทับซ้อนบาง แต่คุณสมบัติเหล่านี้จะไม่ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนในหนังสือ ถ้าซ้อนคือการได้รับการพิจารณาวิธีการที่ถูกต้องของหลักฐานทางเรขาคณิตของรูปทรงเรขาคณิตจะเต็มรูปแบบของการพิสูจน์ดังกล่าว ตัวอย่างเช่นข้อเสนอ I.1 - i.3 สามารถพิสูจน์ได้นิด ๆ โดยใช้การทับซ้อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในการก่อสร้างแรกของจอง 1 ยุคลิดใช้หลักฐานที่ไม่ใช่ postulated หรือพิสูจน์: ที่ศูนย์ในระยะรัศมีของวงกลมสองจะอินในสองจุด[27] ในภายหลัง ในการก่อสร้างสี่ เขาใช้ superposition (ย้ายสามเหลี่ยมทับกัน) เพื่อพิสูจน์ที่หากทั้งสองด้านและมุมของพวกเขาเท่า นั้นแผง ในระหว่างการพิจารณาเหล่านี้ เขาใช้คุณสมบัติบางอย่างของ superposition แต่คุณสมบัติเหล่านี้จะไม่อธิบายอย่างชัดเจนในธรรมศาสตร์ ถ้า superposition จะพิจารณาใช้วิธีการพิสูจน์ทางเรขาคณิต เรขาคณิตทั้งหมดจะเต็มไปด้วยหลักฐานดังกล่าว ตัวอย่าง ขั้น I.1 – I.3 สามารถจะพิสูจน์ trivially โดย superposition

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่นในการก่อสร้างเป็นครั้งแรกของหนังสือเล่ม 1 แบบฝึกหัดเลขาคณิตใช้หลักฐานที่ไม่ human utilization of the Earth ' s photosynthetic หรือพิสูจน์ได้ว่าทั้งสองเป็นวงกลมพร้อมด้วยศูนย์กลางในระยะทางของรัศมีของพวกเขาจะมาบรรจบในสองจุด.[ 27 ]ใน ภายหลัง ในการก่อสร้างที่สี่ที่เขาใช้ superposition (หรือย้ายเครื่องหมายสามเหลี่ยมที่ด้านบนของกันและกัน)เพื่อพิสูจน์ว่าหากทั้งสองด้านและมุมของเขาจะได้รับเท่ากับพวกเขาเป็นทับกันสนิทในระหว่างการพิจารณาเกี่ยวกับการเหล่านี้เขาจะใช้คุณสมบัติบางอย่างของ superposition แต่คุณสมบัติเหล่านี้จะถูกไม่ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนในหนังสือได้ หาก superposition คือการได้รับการพิจารณาให้เป็นวิธีที่ถูกต้องในการพิสูจน์รูปทรงเรขาคณิตรูปทรงเรขาคณิตทั้งหมดจะได้อย่างเต็มที่จากปรู๊ฟดังกล่าว ตัวอย่างเช่นข้อเสนอไอ 1 - I 3 สามารถพิสูจน์ได้ trivially โดยใช้ superposition