Mathematicians are holding their br

Mathematicians are holding their breath. Can Dan Goldston and Cem Yalcin Yildrim repair the hole in their proof to make the biggest breakthrough in prime number theory for 80 years?

Goldston, of San Jose State University, and Cem Yalcin Yildrim, of Bogazici University, Istanbul, thought they had proved a result about the spacing of the prime numbers, which in turn could have led to a proof of the elusive Twin Prime conjecture. Their work, presented to colleagues in March, generated enormous excitement in the mathematical community. Unfortunately, on April 23, after closer examination, mathematicians spotted an error in the proof and now an effort is under way to resurrect their result.

Prime numbers are the fundamental building blocks of number theory, with every integer being expressed in exactly one way as a product of primes. Mathematicians have known there are infinitely many primes since Euclid's proof over 2,000 years ago, but they have struggled for centuries to understand how the primes are spread among the integers. Prime numbers become sparser as you look further up the number line, but they are also clumpy, sometimes bunching together in groups. Goldston and Yildrim may still have brought mathematicians much closer to proving the Twin Prime Conjecture, by using a new method to attack the question of just how bunched together the prime numbers can be.

The Twin Prime Conjecture states that there are infinitely many pairs of prime numbers which are separated by just two, like 3 and 5, and 29 and 31. "The Twin Prime Conjecture is one of those annoying unsolved problems in number theory: so simple and elegant to state, but a solution continues to evade the most complex methods and sharpest minds," said Brian Murphy, a number theorist involved in breaking the RSA-155 factoring challenge.

Imagine you are walking along the integers, one step per number, and you are interested in the distance between primes. If you are standing at a prime number p, then, as a consequence of the Prime Number Theorem, you will expect to walk ln p (the natural logarithm of p) steps on average before getting to the next prime number. But this is just on average, and sometimes you will have to walk much further, and sometimes much less far. If the Twin Prime Conjecture is true, then there are infinitely many primes such that the next one is just two steps away.

As a step towards proving the conjecture, mathematicians have been trying to find the smallest gap, in terms of this average spacing, that exists for infinitely many prime numbers. The best they had been able to do, after several incremental improvements, was to show that there were infinitely many pairs of primes that were separated by less than a quarter of the average gap.

Goldston and Yildrim thought they had easily broken this record, by showing that for any fraction, no matter how small, there are infinitely many consecutive pairs of primes within this fraction of the average distance of each other. But, deep within the proof, Andrew Granville of the Université de Montreal and K. Soundararajan of the University of Michigan found a problem. Some quantities, which were believed to be small error terms, are actually as big the values being calculated. Mathematicians are trying to correct the error, but so far the problem remains unresolved. However, many are confident that Goldston and Yildrim's approach will still break the current record of a quarter of the average gap.

Even if they had been able to prove their original result, they would not have proved the Twin Prime Conjecture. Their result would still have been in terms of the average distance ln p, which gets very large as p does, but it would have been the biggest step forward in this direction for 80 years. What is promising, error or no error, is the new approach Goldston and Yildrim used to prove their result.

Instead of just asking about the gap between two consecutive primes, they asked about the gaps between any number of consecutive primes. In 1977 Maier proved that the results concerning the largest distances between two consecutive primes could be proved for each of the gaps between any number of consecutive primes. According to the American Institute of Mathematics, Goldston and Yildrim would have, in a similar way, proved their result for any number of consecutive small gaps, at the same time as they demolished all previous records for one small gap.

Despite initial disappointment, Goldston and Yildrim's colleagues in number theory are still excited by their work, and are waiting to see what can be done with this approach. Can their proof be repaired to break the record for the smallest gaps between primes or, better still, to prove their original result? Could the Twin Prime Conjecture itself be next? And could their method be used to tackle the Riemann Hypothesis, one of the Clay Institute's seven Millennium Prize Problems, which is deeply connected to the distribution of prime numbers?

Whatever happens, Goldston and Yildrim have taken mathematicians further in their understanding of the prime numbers. "This is how science progresses, by having clever new ideas," Harold Boas, editor of Notices of the American Mathematical Society, told the San Jose Mercury. "The new idea is still there, and people are still trying to work out what the consequences are.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Mathematicians จะจับลมหายใจของพวกเขา สามารถ Dan Goldston และ Cem Yalcin Yildrim ซ่อมแซมหลุมในหลักฐานของพวกเขาต้องการความก้าวหน้าที่ใหญ่ที่สุดในทฤษฎีจำนวนเฉพาะ 80 ปีGoldston, San Jose State University และ Yalcin Yildrim Cem, Bogazici มหาวิทยาลัย อิสตันบูล คิดว่า พวกเขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับระยะห่างของหมายเลขนายก ที่จะไม่มีหลักฐานเปรียวคู่เฉพาะข้อความคาดการณ์ งาน นำเสนอต่อเพื่อนร่วมงานในเดือนมีนาคม สร้างความตื่นเต้นอย่างมากในชุมชนทางคณิตศาสตร์ อับ บน 23 เมษายน หลังจากตรวจสอบใกล้ชิด mathematicians พบข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ และขณะนี้ ความพยายามที่จะเดินทางปล้ำผลของพวกเขานายกหมายเลขเป็นการสร้างบล็อกพื้นฐานของทฤษฎีจำนวน มีทุกจำนวนเต็มการแสดงในลักษณะหนึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ของโรงแรมไพรม์ Mathematicians ได้ทราบมีเพียงโรงแรมไพรม์มากตั้งแต่หลักฐานของยุคลิดกว่า 2000 ปีที่ผ่านมา แต่พวกเขาได้ต่อสู้ศตวรรษเพื่อให้เข้าใจวิธีแพร่กระจายโรงแรมไพรม์ในเต็ม นายกหมายเลขเป็น sparser คุณสไตล์ขึ้นบรรทัดหมายเลข แต่พวกเขาจะยัง clumpy, bunching บางครั้งด้วยกันในกลุ่ม Goldston และ Yildrim อาจยังคงมีนำ mathematicians มากใกล้ไปพิสูจน์ห้องนายกรัฐมนตรีข้อความคาดการณ์ โดยใช้วิธีการใหม่เพื่อโจมตีคำถามที่เพียงวิธีตูดนายกหมายเลขสามารถห้องนายกรัฐมนตรีข้อความคาดการณ์ระบุว่า มีเพียบหลายคู่เลขนายกที่คั่น ด้วยเพียง 2, 3 และ 5 และ 29 และ 31 "ข้อความคาดการณ์นายกคู่เป็นหนึ่งในผู้ที่ยังไม่ได้แก้ไขปัญหาในทฤษฎีจำนวนที่น่ารำคาญ: เพื่อให้ง่าย และฉลาดการรัฐ แต่ปัญหายังหนีวิธีที่ซับซ้อนมากที่สุดและจิตใจที่คมชัด, " กล่าวว่า ไบรอันเมอร์ฟี่ theorist หมายเลขที่เกี่ยวข้องกับการทำลายความท้าทาย RSA-155 ขายลดหนี้สมมติว่า คุณกำลังเดินตามเต็ม ขั้นตอนหนึ่งต่อจำนวน และที่สนใจในระยะห่างระหว่างโรงแรมไพรม์ ถ้าคุณกำลังยืนอยู่ที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว เป็นลำดับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ คุณจะคาดหวังเดินเฉลี่ย ln p (ลอการิทึมธรรมชาติของ p) ขั้นตอนก่อนที่จะไปจำนวนเฉพาะถัดไป แต่นี้เป็นเพียงในเฉลี่ย และบางครั้งคุณจะต้องเดินมากเพิ่มเติม และบางครั้งน้อยมากมาก ถ้าคู่นายกข้อความคาดการณ์เป็นจริง แล้วได้เพียงโรงแรมไพรม์มากที่ถัดไปเป็นเพียงสองก้าวเป็นขั้นตอนสู่การพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ mathematicians มีการพยายามหาช่องว่างน้อยที่สุด ในระยะเฉลี่ยนี้ ที่มีเพียบหลายนายกเลข ส่วนที่เคยทำ หลังจากการปรับปรุงแบบเพิ่มเติมต่าง ๆ สามารถถูกแสดงว่า มีเพียบหลายคู่ของโรงแรมไพรม์ที่ถูกคั่น ด้วยสี่ช่องว่างเฉลี่ยน้อยกว่าGoldston และ Yildrim คิดว่า พวกเขาได้มีเสียคอร์ดนี้ โดยแสดงที่สำหรับเศษส่วนใด ๆ ไม่ว่าเล็ก มีเพียงโรงแรมไพรม์ในนี้เศษของระยะทางเฉลี่ยกันหลายคู่ติดต่อกัน แต่ ลึกภายในพิสูจน์ แอนดรูว์แกรนวิลของ Université de มอนทรีออลและคุณ Soundararajan ของมหาวิทยาลัยมิชิแกนพบปัญหา ปริมาณบางอย่าง ซึ่งถูกเชื่อว่า เงื่อนไขข้อผิดพลาดเล็ก อยู่จริงเป็นใหญ่ค่าการคำนวณ Mathematicians พยายามแก้ไขข้อผิดพลาด แต่เพื่อให้ห่างไกลปัญหาคาราคาซัง อย่างไรก็ตาม หลายคนมีความมั่นใจว่า วิธี Goldston และ Yildrim ของจะยังคงหยุดการบันทึกปัจจุบันของสี่ช่องว่างเฉลี่ยแม้ว่าพวกเขาก็ได้พิสูจน์ผลเดิมของพวกเขา พวกเขาจะไม่ได้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์นายกคู่ ยังจะได้รับผลของพวกเขาในแง่ของระยะทางเฉลี่ย ln p ซึ่งจะมีขนาดใหญ่มากกับ p แต่ก็จะได้รับใหญ่ที่สุดก้าวในทิศทางนี้ 80 ปี สัญญา ข้อผิดพลาดหรือข้อผิดพลาดใด ๆ คือ วิธีใหม่ Goldston และ Yildrim ใช้เพื่อพิสูจน์ผลของพวกเขาแทนที่จะถามเพียงเกี่ยวกับช่องว่างระหว่างสองโรงแรมไพรม์ติดต่อกัน พวกเขาถามเกี่ยวกับช่องว่างระหว่างหมายเลขใด ๆ ของโรงแรมไพรม์ติดต่อกัน ใน 1977 Maier พิสูจน์ว่า สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับระยะทางระหว่างโรงแรมไพรม์ติดต่อกันสองที่ใหญ่ที่สุดสำหรับแต่ละช่องว่างระหว่างหมายเลขใด ๆ ของโรงแรมไพรม์ติดต่อกัน ตามอเมริกัน สถาบันคณิตศาสตร์ Goldston และ Yildrim จะได้ ฉัน พิสูจน์ผลของพวกเขาสำหรับจำนวนของช่องว่างขนาดเล็กติดกัน ในเวลาเดียวกัน ตามที่พวกเขาสัมผัสระเบียนก่อนหน้านี้ทั้งหมดสำหรับหนึ่งแคบแม้จะผิดหวังเริ่มต้น Goldston และ Yildrim ของเพื่อนร่วมงานในทฤษฎีจำนวนยังได้ตื่นเต้น โดยงานของพวกเขา และกำลังรอดูว่าสามารถทำได้ ด้วยวิธีการนี้ หลักฐานของพวกเขา สามารถซ่อมแซมเพื่อหยุดการบันทึกช่องว่างน้อยที่สุดระหว่างโรงแรมไพรม์ ดียังคง พิสูจน์ผลเดิมของพวกเขา สามารถต่อห้องนายกข้อความคาดการณ์เอง และได้วิธีการใช้เล่นงานทฤษฏี Riemann ดิน สถาบันเจ็ดมิลเลนเนียมรางวัลปัญหาใดปัญหาหนึ่ง ซึ่งลึกการเชื่อมต่อกับการกระจายจำนวนเฉพาะ หรือไม่สิ่งที่เกิดขึ้น Goldston และ Yildrim ได้ mathematicians เพิ่มเติมในความเข้าใจของนายก "นี่คือวิธีวิทยาศาสตร์คืบ มีความคิดใหม่ที่ฉลาด ฮาโรลด์ Boas แก้ไขประกาศของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน บอก San Jose Mercury "ความคิดใหม่จะยังคงมี แล้วคนยังพยายามทำงานออกผลคืออะไร

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นักคณิตศาสตร์จะถือลมหายใจของพวกเขา สามารถแดน goldston CEM ยัลสินและ yildrim ซ่อมแซมหลุมในหลักฐานของตนให้โดดเด่นที่สุดในทฤษฎีจำนวน 80 ปี ?

goldston , San Jose State University และ CEM ยัลสิน yildrim , bogazici มหาวิทยาลัยอิสตันบูล , คิดว่าพวกเขาได้พิสูจน์ผลเกี่ยวกับระยะห่างของตัวเลขจำนวนเฉพาะซึ่งจะสามารถนำไปสู่การพิสูจน์ของเปรียวข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด . งานนำเสนอไปยังเพื่อนร่วมงานในเดือนมีนาคมที่สร้างความตื่นเต้นอย่างมากในชุมชนคณิตศาสตร์ แต่ในวันที่ 23 เมษายน หลังจากใกล้สอบ นักคณิตศาสตร์พบข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ และตอนนี้พยายามอยู่ภายใต้วิธีการดูแลผลของพวกเขา .

จำนวนเฉพาะคือพื้นฐานการสร้างบล็อกของทฤษฎีตัวเลข กับทุกจำนวนเต็มถูกแสดงในตรงทางเดียวเป็นผลิตภัณฑ์ของไพร์ม นักคณิตศาสตร์รู้จักมีเพียบหลายรูปแบบตั้งแต่หลักฐานของยูคลิดกว่า 2000 ปี แต่พวกเขาได้ต่อสู้มานานหลายศตวรรษเพื่อให้เข้าใจวิธีการไพรม์กระจายระหว่างจำนวนเต็ม .หมายเลขนายกรัฐมนตรีเป็น sparser ขณะที่คุณดูเพิ่มเติมขึ้นหมายเลขบรรทัด แต่พวกเขายังมีค่าใช้จ่ายในการบริหาร บางครั้ง bunching ร่วมกันในกลุ่ม และยังได้นำ goldston yildrim นักคณิตศาสตร์มากใกล้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่ โดยใช้วิธีการใหม่ที่จะโจมตีคำถามเพียงวิธีพัวกัน

จำนวนเฉพาะที่สามารถข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่ระบุว่ามีจำนวนของจำนวนเฉพาะคู่ซึ่งจะถูกคั่นด้วยเพียง 2 , 3 และ 5 และ 29 และ 31 " การคาดเดาของนายกรัฐมนตรี แฝด เป็นหนึ่งในปริศนาปัญหาที่น่ารำคาญในทฤษฎีจำนวนมากง่ายและสง่างามกับรัฐ แต่วิธีหลบวิธีที่ซับซ้อนมากที่สุดและจิตใจคมชัด , " กล่าวว่า ไบรอัน เมอร์ฟี่ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องในการแบ่งจำนวน rsa-155 แฟคตอริ่งท้าทาย

จินตนาการคุณจะเดินตามจำนวนเต็มหนึ่งขั้นตอนต่อหมายเลข และคุณมีความสนใจในช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ . ถ้าคุณยืนอยู่ที่เป็นจำนวนเฉพาะ p แล้วเป็นผลของทฤษฎีบทเลขนายกคุณจะคาดหวังที่จะเดินใน P ( ลอการิทึมธรรมชาติของ P ) ขั้นตอนเฉลี่ยก่อนที่จะเรียกหมายเลขถัดไปของนายกรัฐมนตรี แต่นี่เป็นเพียงค่าเฉลี่ย และบางครั้งคุณจะต้องเดินไกลมาก และบางครั้งน้อยมากที่สุด ถ้าการคาดเดาจำนวนเฉพาะแฝดจริง แล้วมีเพียบหลายรูปแบบเช่นที่ถัดไปแค่สองก้าว

เป็นขั้นตอนต่อพิสูจน์การคาดเดานักคณิตศาสตร์ได้พยายามหาช่องว่างน้อยที่สุดในแง่ของระยะห่างเฉลี่ยนี้ ซึ่งมีอยู่จำนวนจำนวนเฉพาะ ที่ดีที่สุดที่พวกเขาได้รับสามารถที่จะทำ หลังจากการปรับปรุงที่เพิ่มขึ้นหลาย เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีเพียบหลายคู่ของจำนวนเฉพาะที่แยกจากกันโดยน้อยกว่าหนึ่งในสี่ของ Gap เฉลี่ย

และ goldston yildrim คิดว่าพวกเขาขาดง่ายบันทึกนี้โดยแสดงให้เห็นว่าทุกส่วน ไม่ว่าอย่างไรขนาดเล็ก มีจำนวนเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะในส่วนของระยะทางเฉลี่ยของแต่ละอื่น ๆ แต่ลึกลงไปภายในพิสูจน์ แอนดรูว์ แกรนวิลล์ ของมหาวิทยาลัยé de Montreal และ K . soundararajan ของมหาวิทยาลัยมิชิแกน พบปัญหา มีปริมาณซึ่งเชื่อกันว่าเป็นเงื่อนไขข้อผิดพลาดเล็ก ๆแล้วใหญ่ค่าการคํานวณ นักคณิตศาสตร์พยายามที่จะแก้ไขข้อผิดพลาด แต่ตอนนี้ปัญหายังไม่ได้แก้ไข อย่างไรก็ตาม หลายคนมั่นใจว่า แนวทางและ goldston yildrim ก็ยังคงทำลายสถิติในปัจจุบันของไตรมาสช่องว่างเฉลี่ย

แม้ว่าพวกเขาได้รับสามารถพิสูจน์ผลของต้นฉบับพวกเขาจะไม่ได้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่ ผลของพวกเขาจะยังคงได้รับในแง่ของระยะทางเฉลี่ยที่ P ซึ่งมีขนาดใหญ่มาก เป็น ไม่ แต่มันคงใหญ่ก้าวไปข้างหน้าในทิศทางนี้ได้ 80 ปี อะไรคือสัญญา ข้อผิดพลาดหรือข้อผิดพลาดไม่เป็นวิธีการใหม่และใช้ goldston yildrim เพื่อพิสูจน์ผลของพวกเขา .

แทนที่จะถามเกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะสองติดต่อกัน พวกเขาถามเกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะใดๆ ) ในปี 1977 มาพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เกี่ยวกับที่ใหญ่ที่สุดระยะทางระหว่างสองติดต่อกันจำนวนเฉพาะสามารถพิสูจน์ให้ช่องว่างระหว่างจำนวนของจำนวนเฉพาะ ) ตามที่สถาบันอเมริกันของคณิตศาสตร์และ goldston yildrim จะ คล้าย พิสูจน์ผลของพวกเขาสำหรับหมายเลขใด ๆของช่องว่างขนาดเล็กติดต่อกันในเวลาเดียวกับที่พวกเขาทำลายระเบียนก่อนหน้าทั้งหมดช่องว่างเล็ก ๆคนหนึ่ง

แม้จะผิดหวังครั้งแรก goldston yildrim และเพื่อนร่วมงานในทฤษฎีจำนวนยังตื่นเต้นกับงานของพวกเขา และจะรอดูอะไร สามารถทำได้ด้วยวิธีนี้สามารถพิสูจน์ของพวกเขาได้รับการซ่อมแซมเพื่อทำลายสถิติในที่ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะหรือดีกว่ายังคงพิสูจน์ผลเดิมของพวกเขา ? อาจเป็นข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดตัวเองได้ต่อไป และวิธีที่พวกเขาจะใช้เพื่อต่อสู้กับสมมติฐานของรีมันน์ , หนึ่งในเจ็ดรางวัลปัญหาดินสถาบันสหัสวรรษ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจายของตัวเลขสำคัญ ?

ไม่ว่าอะไรจะเกิดขึ้นและ goldston yildrim ถ่ายนักคณิตศาสตร์เพิ่มเติมในความเข้าใจของจำนวนเฉพาะ " นี้เป็นวิธีการที่วิทยาศาสตร์ โดยมีความคิดใหม่ที่ฉลาด " แฮโรลด์งูเหลือม , บรรณาธิการของประกาศของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน บอก San Jose Mercury ” ความคิดใหม่ที่ยังคงมี และประชาชนก็ยังคงพยายามที่จะทำงานออกว่าผลจะ