So, if b divides a, then z must div

So, if b divides a, then z must divide x. Thus, d = gcd(x,z) =z. So b = z/d = z/z = 1. Therefore gcd(a,b) = b = 1, and a and b are relatively prime since a > b.
Fact 5: Show that (a – b)z = (a + b)y.
We know that x/z = w/y = a/b. Since, x – y = z + w and z = z, we have z(x – y) = z(z + w) or zx – zy = z2 + zw. Since xy = zw, zx – zy = z2 +xy. Thus, zx – zy = z2 + xy. We rearrange terms, so that xz – z2 = xy + zy. Now (x – z)z = (x + z)y. Since d > 0, we can multiply through by 1/d, and we obtain (a – b)z = (a + b)y. Thus we are done showing Fact 5.
Due to the five very important facts proven above, we are now ready to find all possible sumdifference numbers. In order to reach this end, we first show that the gcd(a + b, a – b) is one or two.
Note that from Fact 4 we know gcd(a,b) = 1. Let q = gcd(a + b, a – b) > 0. We will show that q = 1 or q = 2. Since q is a divisor of (a + b) and (a – b), it is a divisor of their sum (a + b) + (a – b) = 2a. It must also divide their difference (a + b) – (a – b) = 2b. So, since q is a divisor of both 2a and 2b, we are left with q = 1 or q = 2 as gcd(a,b) = 1. The following two examples show each of these cases:
1. If a = 3, b =2, gcd(a + b, a – b) = gcd(5,1) = 1. Note here that a is odd and, b is even. 2. If a = 5, b = 1, gcd(a + b, a – b) = gcd (6,4) = 2. Note here that both a and b are odd.
We would like to be able to find a sum-difference number given any a and b that satisfy the above criteria, namely a and b are relatively prime with a > b. We will need to consider two cases as noted in the two above examples. There will be one formula when one of a or b is odd, Case A, and another formula when a and b are both odd, Case B.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ดังนั้น ถ้า b หาร a แล้วต้องหาร z x ดังนั้น d = gcd(x,z) = z ดังนั้น b = z/d = z/z = 1 ดังนั้น gcd(a,b) = b = 1 และและ b ค่อนข้างสำคัญเนื่องจากเป็น > b ความจริงที่ 5: แสดงว่า (เป็น – b) z = (เป็น + b) y เราทราบว่า x / z = w/y =การ / b ตั้งแต่ x – y = z + w และ z = z เรามี z (x-y) = z (z + w) หรือ zx-ทานซี = z2 + zw ตั้งแต่ xy = zw, zx-ทานซี = z2 + xy ดังนั้น zx-ทานซี = z2 + xy เราเรียงข้อ ดังนั้น xz-z2 = xy + ทานซี ตอนนี้ (x-z) z = (x + z) y การ ตั้งแต่ d > 0 เราสามารถคูณผ่าน 1/d และเราได้รับ (การ – b) z = (เป็น + b) y ดังนั้น เราจะทำการแสดงจริง 5 เนื่องจาก 5 สำคัญมากข้อเท็จจริงพิสูจน์ข้างต้น เราก็พร้อมที่จะค้นหาหมายเลข sumdifference ได้ทั้งหมด เพื่อถึงจุดสิ้นสุดนี้ เราก่อนแสดงว่า gcd การ (เป็น + b, b เป็น-) หนึ่ง หรือสอง หมายเหตุที่ 4 ความจริงเรารู้ gcd(a,b) = 1 ให้ q = gcd (เป็น + b, b เป็น-) > 0 เราจะแสดงว่า q = 1 หรือ q = 2 Q เป็น ตัวหารของ (เป็น + b) และ (การ – b), เป็นตัวหารของของพวกเขา (+ b) + (การ – b) = 2a มันยังต้องแบ่งความแตกต่างของ (a + b) – (a – b) = 2b ดังนั้น q เป็น ตัวหารของ 2a และ 2b เรามีซ้ายได้และ q = 1 หรือ q = 2 เป็น gcd(a,b) = 1 อย่างสองต่อไปนี้แสดงแต่ละกรณีเหล่านี้: 1. ถ้าเป็น = 3, b = 2, gcd (เป็น + b, b เป็น-) = gcd(5,1) = 1 หมายเหตุที่นี่ที่เป็นคี่ และ b เป็นเลขคู่ 2. ถ้าเป็น = 5, b = 1, gcd (เป็น + b เป็น – b) = gcd (6,4) = 2 หมายเหตุที่นี่ที่ทั้งเป็นและบีคี่ เราต้องสามารถหาจำนวนผลรวมความแตกต่างให้มี และ b ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น ได้แก่และ b ค่อนข้างเฉพาะกับ > b เราจะต้องพิจารณาในสองข้างตัวอย่างสองกรณี จะมีสูตรหนึ่งเมื่อของหรือ คี่ กรณี A, b และสูตรอื่นเมื่อการ และบีมีทั้งแปลก กรณีเกิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ดังนั้นถ้าขแบ่งแล้ว Z ต้องแบ่ง x ดังนั้น D = GCD (x, Z) = Z ดังนั้นข = z / D = z / Z = 1 ดังนั้น GCD (b) = B = 1 และ A และ B มีความสำคัญตั้งแต่> ข.
ความจริงที่ 5: แสดงว่า (- ข) Z = ( A + B) และ.
เรารู้ว่า x / Z = w / y = a / b เนื่องจาก x - y = Z + W และ Z = Z เรามี Z (x - Y) = Z (Z + W) หรือ ZX - zy = z2 + ZW ตั้งแต่ XY = ZW, ZX - zy = z2 + XY ดังนั้น ZX - zy = z2 + XY เราจัดเรียงคำเพื่อให้ XZ - z2 = XY + zy ตอนนี้ (x - Z) Z = (x + Z) และ ตั้งแต่ง> 0 เราสามารถคูณผ่าน 1 / วันและเราได้รับ (- ข) Z = (A + B) และ ดังนั้นเราจะทำแสดงให้เห็นความเป็นจริง 5.
เนื่องจากห้าข้อเท็จจริงที่สำคัญมากพิสูจน์แล้วข้างต้นเราพร้อมที่จะหาตัวเลข sumdifference เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อที่จะถึงจุดสิ้นสุดนี้เราแสดงให้เห็นเป็นครั้งแรกว่า GCD (b +, - ข). เป็นหนึ่งหรือสอง
ทราบว่าจากข้อเท็จจริงที่ 4 เรารู้ GCD (b) = 1 ให้ q = GCD (+ ข - ข)> 0 เราจะแสดงให้เห็นว่า q = 1 หรือ q = 2. ตั้งแต่ Q เป็นตัวหารของ (b +) และ (- ข) มันเป็นตัวหารของจำนวนเงินของพวกเขา (A + B ) + (- ข) = 2a นอกจากนี้ยังต้องแบ่งความแตกต่างของพวกเขา (A + B) - (- ข) = 2b ดังนั้นตั้งแต่ Q เป็นตัวหารของทั้งสอง 2a และ 2b เราจะเหลือ q = 1 หรือ q = 2 เป็น GCD (b) = 1 ต่อไปนี้สองตัวอย่างแสดงแต่ละกรณีเหล่านี้:
1 ถ้า = 3, B = 2, GCD (b +, - ข) = GCD (5,1) = 1 หมายเหตุ: ที่นี่ที่เป็นเลขคี่และขแม้แต่ 2. ถ้า = 5, B = 1 GCD (b +, - ข) = GCD (6,4) = 2 หมายเหตุนี่เป็นที่ที่ทั้งสองและ b เป็นคี่.
เราต้องการที่จะสามารถที่จะหา จำนวนผลรวมความแตกต่างใด ๆ a และ b ที่ตอบสนองความเกณฑ์ข้างต้นคือ A และ B มีความสำคัญกับ> ข เราจะต้องพิจารณาทั้งสองกรณีตามที่ระบุไว้ในสองตัวอย่างข้างต้น จะมีสูตรหนึ่งเมื่อหนึ่งหรือเป็นคี่กรณีและสูตรอื่นเมื่อ a และ b มีทั้งแปลกกรณีบี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ดังนั้น ถ้า B แบ่งเป็น แล้วต้องแบ่ง X และ Z , D = LCD ( x , z ) = Z ดังนั้น B = Z / D = Z / Z = 1 ดังนั้น LCD ( a , b ) = b = 1 และ a และ b เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้างตั้งแต่ > B .
5 : แสดงความเป็นจริงที่ ( - b ) Z = ( b ) Y .
เรารู้ว่า X / Z = w / Y = A / B ตั้งแต่ X ) y = z W และ Z = Z , เรามี Z ( X และ Y ) Z ( Z = w = ) หรือ ZX – zy กขึ้น ZW . ตั้งแต่ XY = ZW ZX ( , zy = XY กขึ้น . ดังนั้น , ZX – zy = XY กขึ้น . เราจัดเรียงข้อตกลงเพื่อที่และ zy จุดกํากขึ้น = xy . ตอนนี้ ( x - Z ) Z = ( x ) Z Y ตั้งแต่ D > 0 เราสามารถคูณด้วย 1 / d และเราขอรับ ( - b ) Z = ( b ) Y . ดังนั้นเราได้แสดงความเป็นจริง 5 .
จากห้าที่สำคัญข้อเท็จจริงพิสูจน์ข้างต้น ตอนนี้เราพร้อมที่จะหาตัวเลข sumdifference เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อที่จะมาถึงจุดนี้เราแรกแสดงที่ LCD ( B , A และ B ) เป็นหนึ่งหรือสอง
หมายเหตุจากความเป็นจริง 4 เราว่า LCD ( a , b ) = 1 ให้ Q = หารร่วมมาก ( B , A และ B ) > 0 เราจะแสดงให้เห็นว่า Q = 1 หรือ Q = 2 ตั้งแต่ Q เป็นตัวหาร ( b ) และ ( - b ) เป็นตัวหารของผลรวมของพวกเขา ( B ) ( ( B ) = 2a มันต้องแยกความแตกต่างของพวกเขา ( b ) และ ( - b ) = 2b ดังนั้นตั้งแต่ Q เป็นตัวหารของทั้ง และ 2A 2B เราเหลือ Q = 1 หรือ Q = 2 เป็น LCD ( a , b ) = 1สองตัวอย่างต่อไปนี้แสดงแต่ละกรณีเหล่านี้ :
1 ถ้า A = 1 B = 2 , LCD ( B , A และ B ) = LCD ( 5 , 1 ) = 1 ทราบมาว่า เป็น คี่ และ บี คือแม้ 2 . ถ้า A = 4 , B = 1 , LCD ( B , A และ B ) = LCD ( 6,4 ) = 2 ทราบมาว่าทั้ง A และ B เป็นคี่
เราต้องการที่จะสามารถที่จะหาผลรวมเลขให้ความแตกต่างใด ๆ A และ B ที่ตรงกับเกณฑ์ข้างต้น คือ A และ B เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้างกับ > Bเราจะต้องพิจารณา 2 กรณีดังที่กล่าวไว้ในข้างต้นทั้งสองตัวอย่าง จะมีสูตรหนึ่งเมื่อหนึ่งของ A หรือ B เป็นเลขคี่ คดี และอีกสูตร เมื่อ A และ B มีทั้งแปลก กรณีพ.