This article is about linear (vecto

This article is about linear (vector) spaces. For the structure in incidence geometry, see Linear space (geometry).

Vector addition and scalar multiplication: a vector v (blue) is added to another vector w (red, upper illustration). Below, w is stretched by a factor of 2, yielding the sum v + 2w.
A vector space (also called a linear space) is a collection of objects called vectors, which may be added together and multiplied ("scaled") by numbers, called scalars in this context. Scalars are often taken to be real numbers, but there are also vector spaces with scalar multiplication by complex numbers, rational numbers, or generally any field. The operations of vector addition and scalar multiplication must satisfy certain requirements, called axioms, listed below. Euclidean vectors are an example of a vector space. They represent physical quantities such as forces: any two forces (of the same type) can be added to yield a third, and the multiplication of a force vector by a real multiplier is another force vector. In the same vein, but in a more geometric sense, vectors representing displacements in the plane or in three-dimensional space also form vector spaces. Vectors in vector spaces do not necessarily have to be arrow-like objects as they appear in the mentioned examples: vectors are regarded as abstract mathematical objects with particular properties, which in some cases can be visualized as arrows.

Vector spaces are the subject of linear algebra and are well understood from this point of view since vector spaces are characterized by their dimension, which, roughly speaking, specifies the number of independent directions in the space. A vector space may be endowed with additional structure, such as a norm or inner product. Such spaces arise naturally in mathematical analysis, mainly in the guise of infinite-dimensional function spaces whose vectors are functions. Analytical problems call for the ability to decide whether a sequence of vectors converges to a given vector. This is accomplished by considering vector spaces with additional structure, mostly spaces endowed with a suitable topology, thus allowing the consideration of proximity and continuity issues. These topological vector spaces, in particular Banach spaces and Hilbert spaces, have a richer theory.

Historically, the first ideas leading to vector spaces can be traced back as far as 17th century's analytic geometry, matrices, systems of linear equations, and Euclidean vectors. The modern, more abstract treatment, first formulated by Giuseppe Peano in 1888, encompasses more general objects than Euclidean space, but much of the theory can be seen as an extension of classical geometric ideas like lines, planes and their higher-dimensional analogs.

Today, vector spaces are applied throughout mathematics, science and engineering. They are the appropriate linear-algebraic notion to deal with systems of linear equations; offer a framework for Fourier expansion, which is employed in image compression routines; or provide an environment that can be used for solution techniques for partial differential equations. Furthermore, vector spaces furnish an abstract, coordinate-free way of dealing with geometrical and physical objects such as tensors. This in turn allows the examination of local properties of manifolds by linearization techniques. Vector spaces may be generalized in several ways, leading to more advanced notions in geometry and abstract algebra.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทความนี้จะเกี่ยวกับช่องว่างเชิงเส้น (vector) สำหรับโครงสร้างในทางเรขาคณิตอุบัติการณ์ ดูเชิงพื้นที่ (เรขาคณิต)เวกเตอร์และการคูณสเกลา: v เป็นเวกเตอร์ (สีน้ำเงิน) ถูกเพิ่มเข้าไปอีกเวกเตอร์ w (ภาพประกอบด้านบน สีแดง) ด้านล่าง w จะยืดตามตัว 2 ผลผลิตรวม v + 2wเวกเตอร์ (หรือที่เรียกว่าช่องว่างเชิง) เป็นชุดของวัตถุที่เรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งอาจจะรวมเข้าด้วยกัน และคูณ ("ปรับสัดส่วนได้") ด้วยตัวเลข ที่เรียกว่า scalars ในบริบทนี้ Scalars มักจะได้เป็น ตัวเลขจำนวนจริง แต่ยังมีช่องว่างแบบเวกเตอร์กับสเกลาคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน ตรรก หรือฟิลด์ใด ๆ โดยทั่วไป การดำเนินการของเวกเตอร์และการคูณสเกลาต้องตอบสนองความต้องการบางอย่าง เรียกว่าสัจพจน์ ล่าง Euclidean เวกเตอร์เวกเตอร์เป็นตัวอย่างได้ พวกเขาแสดงปริมาณทางกายภาพเช่นกอง: กองกำลังใด ๆ สอง (ของชนิดเดียวกัน) สามารถเพิ่มผลผลิตที่สาม และการคูณของเวกเตอร์แรงโดยตัวคูณจริงคือ เวกเตอร์แรงอื่น ในหลอดเลือดดำเดียว แต่ ในความรู้สึกมากกว่าเรขาคณิต เวกเตอร์แทน displacements ในเครื่องบิน หรือ ในพื้นที่สามมิติยังแบบเวกเตอร์พื้นที่ เวกเตอร์ในเวกเตอร์พื้นที่ไม่จำเป็นต้องมีวัตถุคล้ายลูกศร ตามที่ปรากฏในตัวอย่างดังกล่าว: ถือเป็นวัตถุนามธรรมทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติเฉพาะ ซึ่งในบางกรณีสามารถ visualized เป็นลูกศรเวกเตอร์เวกเตอร์เป็นประธานของพีชคณิตเชิงเส้น และมีทั้งความเข้าใจจากมุมนี้มองเนื่องจากเวกเตอร์พื้นที่มีลักษณะขนาดของพวกเขา ที่ พูดหยาบ ๆ ระบุจำนวนทิศทางอิสระในช่องว่าง เวกเตอร์อาจสร้าง ด้วยโครงสร้างเพิ่มเติม เช่นปกติหรือผลิตภัณฑ์ภายใน ช่องว่างดังกล่าวเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่ในครอบช่องอนันต์มิติฟังก์ชันเวกเตอร์มีฟังก์ชัน วิเคราะห์ปัญหาโทรสำหรับความสามารถในการตัดสินใจว่า ลำดับของเวกเตอร์ converges การกำหนดเวกเตอร์ นี้ได้ โดยการพิจารณาเวกเตอร์พื้นที่โครงสร้างเพิ่มเติม ระยะห่างส่วนใหญ่มีโครงสร้างเหมาะสม ทำ ให้การพิจารณาปัญหาความใกล้ชิดและความต่อเนื่อง เหล่านี้ topological เวกเตอร์ช่องว่าง ช่องว่างของ Banach เฉพาะและช่องว่างของฮิลแบร์ท ทฤษฎียิ่งขึ้นได้ประวัติ ความคิดแรกที่นำไปสู่ช่องว่างแบบเวกเตอร์สามารถติดตามกลับเท่าระบบสมการเชิงเส้น และเวกเตอร์ Euclidean เมทริกซ์ เรขาคณิตวิเคราะห์ของคริสต์ศตวรรษที่ 17 ทันสมัย นามธรรมมากรักษา ก่อน กำหนด โดย Peano จูเซใน 1888 ครอบคลุมวัตถุทั่วไปกว่าพื้นที่ Euclidean ได้ของทฤษฎีที่สามารถมองเห็นเป็นส่วนขยายของความคิดทางเรขาคณิตคลาสสิกเช่นเส้น เครื่องบิน และ analogs ของมิติสูงวันนี้ มีใช้ช่องว่างเวกเตอร์คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรม จะคิดพีชคณิตเชิงเส้นที่เหมาะสมเพื่อจัดการกับระบบของสมการเชิงเส้น มีกรอบการขยาย ฟูรีเยซึ่งในภาพรวมคำสั่ง หรือให้สภาพแวดล้อมที่สามารถใช้สำหรับแก้ปัญหาเทคนิคสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน นอกจากนี้ เวกเตอร์พื้นที่กล่าวบทคัดย่อ พิกัดฟรีวิธีการจัดการกับวัตถุทางกายภาพ และ geometrical เช่น tensors นี้จะได้ตรวจสอบคุณสมบัติภายในของ manifolds โดยเทคนิค linearization อาจตั้งค่าทั่วไปเวกเตอร์พื้นที่หลายวิธี นำไปสู่ความเข้าใจที่สูงขึ้นในพีชคณิตเรขาคณิตและบทคัดย่อ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทความนี้เป็นเรื่องเชิงเส้น (เวกเตอร์) ช่องว่าง สำหรับโครงสร้างในเรขาคณิตอุบัติการณ์ดูพื้นที่เชิงเส้น (เรขาคณิต). นอกจากเวกเตอร์และการคูณสเกลา: วีเวกเตอร์ (สีฟ้า) จะถูกเพิ่มน้ำหนักอีกเวกเตอร์ (สีแดงภาพประกอบด้านบน) ด้านล่างนี้น้ำหนักจะขยายโดยปัจจัยที่ 2 ผลผลิตรวม V + 2w. ปริภูมิเวกเตอร์ (ที่เรียกว่าพื้นที่เชิงเส้น) เป็นคอลเลกชันของวัตถุที่เรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งอาจจะมารวมกันและคูณ ("ปรับ") โดยตัวเลข ที่เรียกว่าสเกลาในบริบทนี้ สเกลาเป็นที่มักจะเป็นตัวเลขจริง แต่ก็ยังมีช่องว่างเวกเตอร์คูณด้วยสเกลาโดยตัวเลขที่ซับซ้อนสรุปตัวเลขหรือโดยทั่วไปทุกสาขา นอกจากนี้การดำเนินงานของเวกเตอร์และสเกลาคูณจะต้องตอบสนองความต้องการบางอย่างที่เรียกว่าหลักการที่ระบุไว้ด้านล่าง เวกเตอร์แบบยุคลิดเป็นตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์ พวกเขาเป็นตัวแทนปริมาณทางกายภาพเช่นกองกำลัง: สองกองกำลัง (ชนิดเดียวกัน) สามารถเพิ่มผลผลิตที่สามและคูณเวกเตอร์แรงโดยคูณจริงเป็นเวกเตอร์แรงอีก ในหลอดเลือดดำเหมือนกัน แต่ในความหมายทางเรขาคณิตมากขึ้นเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทนของการกระจัดในเครื่องบินหรือในพื้นที่สามมิตินอกจากนี้ยังมีรูปแบบเวกเตอร์พื้นที่ เวกเตอร์เวกเตอร์ในพื้นที่ที่ไม่จำเป็นต้องเป็นวัตถุที่ลูกศรเหมือนตามที่ปรากฏในตัวอย่างที่กล่าวถึง: เวกเตอร์ได้รับการยกย่องเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมที่มีคุณสมบัติโดยเฉพาะอย่างยิ่งซึ่งในบางกรณีสามารถมองเห็นเป็นลูกศร. พื้นที่เวกเตอร์เป็นเรื่องของเส้นตรง พีชคณิตและมีความเข้าใจเป็นอย่างดีจากมุมมองนี้ตั้งแต่พื้นที่เวกเตอร์ที่โดดเด่นด้วยมิติของพวกเขาซึ่งพูดประมาณระบุจำนวนทิศทางอิสระในพื้นที่ ปริภูมิเวกเตอร์อาจจะกอปรด้วยโครงสร้างเพิ่มเติมเช่นบรรทัดฐานหรือผลิตภัณฑ์ภายใน พื้นที่ดังกล่าวที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่อยู่ในพื้นที่หน้ากากของฟังก์ชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุดมิติเวกเตอร์ที่มีฟังก์ชั่น วิเคราะห์ปัญหาที่เรียกร้องให้มีความสามารถในการตัดสินใจว่าลำดับของเวกเตอร์ลู่เวกเตอร์ที่กำหนด นี้สามารถทำได้โดยพิจารณาพื้นที่เวกเตอร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมพื้นที่ส่วนใหญ่เป็น endowed กับโครงสร้างที่เหมาะสมจึงช่วยให้การพิจารณาประเด็นความใกล้ชิดและต่อเนื่อง เหล่านี้ช่องว่างเวกเตอร์ทอพอโลยีในนาคพื้นที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งและพื้นที่ Hilbert มีทฤษฎีที่ดียิ่งขึ้น. ประวัติศาสตร์ความคิดแรกที่นำไปสู่ช่องว่างเวกเตอร์สามารถตรวจสอบกลับเท่าที่เรขาคณิตวิเคราะห์ศตวรรษที่ 17 ของการฝึกอบรมระบบสมการเชิงเส้นและเวกเตอร์แบบยุคลิด ที่ทันสมัยการรักษานามธรรมมากขึ้นสูตรเป็นครั้งแรกโดยจูเซปเป Peano ในปี 1888, ครอบคลุมวัตถุทั่วไปมากกว่าพื้นที่แบบยุคลิด แต่มากของทฤษฎีที่สามารถมองเห็นเป็นส่วนขยายของความคิดทางเรขาคณิตคลาสสิกเช่นเส้นเครื่องบินและ analogs มิติที่สูงขึ้นของพวกเขา. วันนี้ พื้นที่เวกเตอร์ที่ถูกนำมาใช้ตลอดทั้งคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์และวิศวกรรม พวกเขามีความคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นที่เหมาะสมในการจัดการกับระบบสมการเชิงเส้น มีกรอบการทำงานสำหรับการขยายตัวของฟูริเยร์ซึ่งเป็นลูกจ้างในภาพประจำการบีบอัด; หรือให้สภาพแวดล้อมที่สามารถใช้สำหรับเทคนิควิธีการแก้ปัญหาสำหรับสมการอนุพันธ์ย่อย นอกจากนี้ช่องว่างให้เวกเตอร์นามธรรมวิธีประสานงานฟรีของการจัดการกับวัตถุทางเรขาคณิตและทางกายภาพเช่นเทนเซอร์ นี้จะช่วยให้การตรวจสอบคุณสมบัติเฉพาะของแมนิโฟลโดยใช้เทคนิคเชิงเส้น ช่องว่างที่อาจจะเวกเตอร์ทั่วไปในหลายวิธีที่นำไปสู่ความคิดที่สูงขึ้นในรูปทรงเรขาคณิตและพีชคณิตนามธรรม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทความนี้เกี่ยวกับเส้น ( Vector ) เป็น . สำหรับโครงสร้างทางเรขาคณิตอุบัติการณ์ เห็นพื้นที่เชิงเส้น ( เรขาคณิต ) การบวกและการคูณเวกเตอร์สเกลาร์

: เวกเตอร์ V ( สีฟ้า ) เพิ่มอีกเวกเตอร์ W ( ภาพประกอบด้านบนสีแดง ) ด้านล่าง , w คือยืดโดยปัจจัย 2 ผลผลิตผลรวม 5 ms .
ปริภูมิเวกเตอร์ ( เรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น ) เป็นคอลเลกชันของวัตถุเรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งอาจจะเพิ่มเข้าด้วยกันและคูณ ( " ปรับขนาด " ) โดยตัวเลขที่เรียกว่า scalars ในบริบทนี้ scalars มักจะใช้เป็น ตัวเลขจริง แต่ยังมีช่องว่างด้วยสเกลาร์การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขเชิงซ้อน จำนวนตรรกยะ หรือโดยทั่วไปของเขตข้อมูลใด ๆ การดำเนินงานของการบวกเวกเตอร์และสเกลาร์การคูณต้องตอบสนองความต้องการบางอย่าง เรียกว่าสัจพจน์ อยู่ด้านล่างเวกเตอร์ที่ใช้เป็นตัวอย่างของเวกเตอร์พื้นที่ พวกเขาแสดงปริมาณทางกายภาพเช่นกองกำลังใด ๆสองพลัง ( ชนิดเดียวกัน ) สามารถเพิ่มผลผลิต ที่สาม และผลคูณของแรงเวกเตอร์โดยคูณจริงเป็นอีกแรงเวกเตอร์ ในหลอดเลือดดำเดียวกัน แต่ในความรู้สึกทางเรขาคณิตมากขึ้นเวกเตอร์ในระนาบหรือเป็นตัวแทนเสียรูปในสามมิติอวกาศยังฟอร์มเป็นเวกเตอร์ เวกเตอร์ในพื้นที่เวกเตอร์ไม่จําเป็นต้องเป็นลูกศรเหมือนวัตถุตามที่ปรากฏในกล่าวถึงตัวอย่าง : เวกเตอร์นามธรรมทางคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นวัตถุที่มีคุณสมบัติเฉพาะ ซึ่งในบางกรณีสามารถมองเห็น

เป็นลูกศรเป็นเวกเตอร์เป็นวิชาพีชคณิตเชิงเส้นและดีเข้าใจจากมุมมองนี้ตั้งแต่เป็นแบบมีมิติ ซึ่งประมาณพูด ระบุจำนวนของเส้นทางที่เป็นอิสระในพื้นที่ เวกเตอร์พื้นที่ว่างอาจจะ endowed กับโครงสร้างเพิ่มเติม เช่น บรรทัดฐานหรือภายในผลิตภัณฑ์ เช่นเป็นเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หลักในการเป็นฟังก์ชันที่เป็นอนันต์มิติเวกเตอร์ฟังก์ชัน ปัญหาการเรียกสำหรับความสามารถในการตัดสินใจว่า เป็นลำดับๆไปให้เวกเตอร์ เวกเตอร์ นี้ได้ โดยการพิจารณาเวกเตอร์ช่องว่างด้วยโครงสร้างที่เพิ่มขึ้น ส่วนใหญ่เป็น endowed กับโครงสร้างที่เหมาะสม จึงให้พิจารณาจากความใกล้ชิด และปัญหาอื่นๆเหล่านี้ทอพอโลยีปริภูมิเวกเตอร์ ในเป็นนาคที่เฉพาะเจาะจงและฮิลเบิร์ตเป็น มีทฤษฎียิ่งขึ้น

ประวัติศาสตร์ ก่อนความคิดที่นำไปสู่พื้นที่เวกเตอร์สามารถ traced กลับเท่าที่ศตวรรษที่ 17 ของเรขาคณิตวิเคราะห์ เมทริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้นและเวกเตอร์พลาด . การรักษาที่ทันสมัยนามธรรมมากขึ้น สูตรแรกโดยจูเซปเปเปอาโนในระดับนานาชาติครอบคลุมวัตถุทั่วไปมากกว่า ใช้พื้นที่ แต่มากของทฤษฎีสามารถมองเห็นเป็นส่วนขยายของแนวความคิดทางเรขาคณิตคลาสสิก เช่น เส้น ระนาบ และของพวกเขาที่มีขนาดสูง

วันนี้เป็นเวกเตอร์จะใช้ตลอดทั้งคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ พวกเขาเหมาะสมเชิงเส้นพีชคณิตความคิดที่จะจัดการกับระบบสมการเชิงเส้นเสนอกรอบแนวคิดสำหรับฟูเรียร์ขยายตัว ซึ่งใช้ในการปฏิบัติการบีบอัดภาพ หรือมีสภาพแวดล้อมที่สามารถใช้เทคนิคโซลูชั่นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน นอกจากนี้ เป็นเวกเตอร์ตกแต่งนามธรรมประสานงานฟรีวิธีจัดการกับวัตถุทางเรขาคณิตและทางกายภาพ เช่น สั่ง .นี้ในการเปิดจะช่วยให้การตรวจสอบท้องถิ่น คุณสมบัติของท่อโดยเทคนิคเชิงเส้น . เป็นเวกเตอร์อาจทั่วไปหลายประการ ที่นำไปสู่ความคิดขั้นสูงเพิ่มเติมในเรขาคณิตและพีชคณิตนามธรรม