3. Statistical Properties and Desig

3. Statistical Properties and Design Strategies
Skewness is a measure of the degree of asymmetry for a distribution. A distribution is symmetric if the median
divides the left side and the right side into two identical regions. The sample skewness is measured with the
following equation (Kenney and Keeping 1962):
Skewness =
3
=1
3
( )
( -1)
n
i i X - X
n S
 , (13)
where n is the sample size and S is the sample standard deviation. The skewness for a symmetric distribution has a
value of zero. Left tail is longer relative to the right tail, indicating a negative skewed; while right tail is longer
relative to the left tail, indicating a positive skewed.
The Weibull and gamma distributions are considered in this work because these distributions are very flexible. By
appropriately selecting the parameters, they can represent a wide variety of shapes, ranging from nearly symmetric
to highly skewed. For convenience, a scale parameter of one is selected for both the Weibull and gamma
distributions. It is worth noting that the skewness is independent from the parameters of these distributions.
For a Weibull distribution, with a location parameter zero and scale parameter one, its cumulative distribution
function (cdf) is given by Johnson at al. (1995) as
( ) = 1- -( ) F y e ωy β , for y  0, (14)
where  >0 is the scale parameter and  >0 is the shape parameter. Note that when  = 1, the Weibull
distribution reduces to the exponential distribution with mean  . Letting  = 1 and ( ) Y P = Pr Y  μ , where  is
the target mean value of Y, we have
1- 1+ 1 0
β
Y P = exp - Γ , for y
β
          
    
. (15)
For a gamma distribution with a location parameter zero and scale parameter one, its cdf is given as (Johnson and
Kotz 1970)
( ) ( ) 0, 0
( )
Y F y = Γ α , for y α ,
Γ α
  (16)
where -1
0
( ) y α -m
Y Γ α =  m e dm and -1
0
Γ(α)= mα e-m dm   . Then, for this case
( ) Y P =F α (17)
since μ = α . Here, α denotes the shape parameter of the gamma distribution. Similar to the Weibull distribution,
when α = 1, the gamma distribution reduces to the exponential distribution with mean 1.
For the sake of comparison, besides the Weibull and gamma distributions, the normal distribution is also considered.
Note that the skewness coefficient, γ , is unique for a given value of  or α . The shape parameters,  for the
Weibull distribution and α for the gamma distribution, are determined so that the skewness coefficient, γ  {0.5,
1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0}. A skewness coefficient of zero indicates symmetry. The skewness coefficient, γ = 0.5 and 1.0
represent low levels of skewness; γ = 1.5 and 2.0 represent moderate levels of skewness; and γ = 2.5 and 3.0
represent high levels of skewness. A shift in the mean is represented by Y ,1 Y ,0 Y ,0 μ = μ +δσ , where δ > 0 is the
1084
magnitude of a shift, in terms of the number of standard deviation units; while Y ,0 μ and Y ,0 σ represent the in-control
mean and in-control standard deviation, respectively. Note that we only consider the in-control process, i.e., when δ
= 0. For a random variable, Y, from the Weibull and gamma distributions, their in-control means are
,0
1+ 1 Y μ = Γ
β
 
 
 
, (18)
and
Y ,0 μ = α , (19)
respectively; while their in-control standard deviations are
2
,0
= 1+ 2 - 1+ 1 Y σ Γ Γ
β β
    
    
    
, (20)
and
Y ,0 σ = α , (21)
respectively (Khoo et al. 2008).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3. สถิติคุณสมบัติและออกแบบกลยุทธ์ความเบ้เป็นตัวชี้วัดสำหรับการกระจายความ การกระจายเป็นแบบสมมาตรถ้ามัธยฐานแบ่งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นสองภูมิภาคเหมือนกัน จะวัดความเบ้ตัวอย่างสมการ (Kenney และรักษา 1962) ต่อไปนี้:ความเบ้ =3= 13( )( -1)nผมผม X - Xn S, (13)ที่ n คือ ขนาดตัวอย่าง และ S คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง มีความเบ้สำหรับการกระจายสมมาตรค่าศูนย์ หางซ้ายมีความยาวสัมพันธ์กับหางขวา ระบุในแง่ลบเบ้ ในขณะที่หางด้านขวาที่มีความยาวสัมพันธ์กับหางซ้าย บวกบ่งชี้บิดเบือนไปการกระจายแบบเวย์บูลและแกมมาจะพิจารณาในงานนี้เนื่องจากการกระจายเหล่านี้ที่มีความยืดหยุ่นมาก โดยเลือกพารามิเตอร์เหมาะสม สามารถแสดงความหลากหลายของรูปร่าง ตั้งแต่เกือบสมมาตรการบิดเบือนสูง เพื่ออำนวยความสะดวก พารามิเตอร์ขนาดอย่างใดอย่างหนึ่งเลือกทั้งแบบเวย์บูลและแกมมาการกระจาย มันเป็นมูลค่า noting ว่า skewness ที่เป็นอิสระจากพารามิเตอร์ของการกระจายเหล่านี้สำหรับการกระจายแบบเวย์บูล พารามิเตอร์ตั้งศูนย์และระดับพารามิเตอร์หนึ่ง การจำหน่ายของสะสมฟังก์ชัน (cdf) ถูกกำหนด โดยจอห์นสันที่ al. (1995) เป็น() = 1 - -() F y e ωy β สำหรับ y  0, (14)ที่ > 0 เป็นระดับพารามิเตอร์และ > 0 เป็นพารามิเตอร์รูปร่าง หมายเหตุว่า เมื่อ = 1, Weibullการกระจายลดการแจกเนนกับหมายถึง ให้ = 1 และ() Y P = Y ประชาสัมพันธ์μ อยู่เรามีเป้าหมายหมายถึงค่า Y1 - 1 + 1 0ΒY P = exp - Γ สำหรับ yΒ. (15)สำหรับการแจกแจงแกมมาด้วยพารามิเตอร์ตั้งศูนย์และพารามิเตอร์ระดับหนึ่ง cdf ของถูกกำหนดเป็น (จอห์นสัน และKotz 1970)( ) ( ) 0, 0( )Y Y F =αΓ สำหรับ y αΓΑ (16)-10() y α -mY Γα = m e dm และ -10Γ(α) = dm e-m mα สำหรับกรณีนี้แล้วP (Y) = F Α (17)ตั้งแต่μ =α ที่นี่ αหมายถึงรูปร่างพารามิเตอร์ของการแจกแจงแกมมา คล้ายกับการแจกแจงแบบเวย์บูลเมื่อα = 1 ลดการแจกแจงแกมมาการแจกเนนด้วยหมายถึง 1เพื่อประโยชน์ในการเปรียบเทียบ นอกเหนือจากการกระจายแบบเวย์บูลและแกมมา ได้มีพิจารณาการแจกแจงปกติโปรดสังเกตว่า ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ γ ไม่ซ้ำกันสำหรับกำหนดค่าหรือα พารามิเตอร์รูปร่าง สำหรับการกำหนดฟังก์ชัน weibull จะกระจายและαสำหรับการแจกแจงแกมมา เพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ γ {0.51.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0 } สัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นศูนย์บ่งชี้ว่า สมมาตร ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ γ = 0.5 และ 1.0แทนระดับต่ำของความเบ้ Γ = 1.5 และ 2.0 เป็นตัวแทนของระดับปานกลางความเบ้ และγ = 2.5 และ 3.0เป็นตัวแทนระดับสูงของความเบ้ Shift หมายถึงอะไรถูกแทน ด้วย Y, 1 Y, Y, 0 μ 0 =μ + δσ ที่δ > 0 คือการ1084ขนาดของการเปลี่ยนแปลง ในแง่ของจำนวนของหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในขณะที่ Y, 0 μ และ Y, 0 σแสดงในตัวควบคุมความหมาย และในการควบคุมส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตามลำดับ หมายเหตุว่า เราพิจารณากระบวนการในการควบคุม เช่น เมื่อδ= 0 สำหรับตัวแปรสุ่ม Y จากการกระจายแบบเวย์บูลและแกมมา เป็นวิธีการในการควบคุม, 0Μ Y 1 + 1 =ΓΒ, (18และY, 0 Μ =Α, (19)ตามลำดับ ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในการควบคุมของพวกเขา2, 0= 1 + 2 - 1 + 1 Y ΣΓΓΒΒ, (20และY, 0 Σ =Α, (21)ตามลำดับ (เสียใจ et al. 2008)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3. คุณสมบัติทางสถิติและการออกแบบกลยุทธ์
Skewness เป็นตัวชี้วัดระดับของความไม่สมดุลสำหรับการจัดจำหน่ายที่ กระจายสมมาตรถ้าค่ามัธยฐาน
แบ่งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นสองภูมิภาคที่เหมือนกัน เบ้ตัวอย่างเป็นวัดที่มี
สมการต่อไป (เคนนีย์และการรักษา 1962):
Skewness =
3
= 1
3
()
(-1)
n
I I X - X
n S
, (13)
โดยที่ n คือขนาดของกลุ่มตัวอย่างและ S เป็น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง เบ้สำหรับการกระจายสมมาตรมี
ค่าเป็นศูนย์ หางซ้ายอีกต่อไปเมื่อเทียบกับหางที่เหมาะสมชี้เบ้ลบ; ในขณะที่หางมีความยาวที่เหมาะสม
เมื่อเทียบกับหางซ้ายแสดงให้เห็นเป็นบวกเบ้.
Weibull และการแจกแจงแกมมาได้รับการพิจารณาในการทำงานนี้เพราะการกระจายเหล่านี้จะมีความยืดหยุ่นมาก ตาม
ความเหมาะสมการเลือกพารามิเตอร์การที่พวกเขาสามารถเป็นตัวแทนของความหลากหลายของรูปทรงตั้งแต่เกือบสมมาตร
เพื่อเบ้สูง เพื่อความสะดวกของพารามิเตอร์ระดับหนึ่งถูกเลือกทั้งแบบ Weibull และแกมมา
กระจาย มันเป็นที่น่าสังเกตว่าเบ้มีความเป็นอิสระจากค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงเหล่านี้.
สำหรับการกระจาย Weibull กับพารามิเตอร์ที่ตั้งของศูนย์และพารามิเตอร์ระดับหนึ่งแจกแจงสะสมของ
ฟังก์ชั่น (CDF) จะได้รับโดยจอห์นสันอัล (1995) เป็น
() = 1 - () βเจ้า F ωyสำหรับ Y  0, (14)
ที่> 0 เป็นพารามิเตอร์ขนาดและ> 0 เป็นพารามิเตอร์รูปร่าง ทราบว่าเมื่อ = 1, Weibull
กระจายช่วยลดการกระจายชี้แจงที่มีค่าเฉลี่ย Letting  = 1 และ () YP = Pr Y μที่เป็น
เป้าหมายหมายถึงค่าของ Y เรามี
1- 1+ 1 0
β
Y P = ประสบการณ์ - Γสำหรับ Y
β
  

(15)
สำหรับการแจกแจงแกมมากับพารามิเตอร์ที่ตั้งของศูนย์และพารามิเตอร์ระดับหนึ่ง CDF ของตนจะได้รับเป็น (จอห์นสันและ
Kotz 1970)
() () 0, 0
()
YF y = Γαสำหรับ Y α,
Γα
  (16)
ที่ -1
0
() Y α m-
Y Γα = ฉัน DM และ -1
0
Γ (α) = mα em DM  แล้วสำหรับกรณีนี้
() YP = F α (17)
ตั้งแต่μ = α นี่หมายถึงαพารามิเตอร์รูปร่างของการกระจายแกมมา คล้ายกับการกระจาย Weibull,
เมื่อα = 1 แจกแจงแกมมาช่วยลดการกระจายชี้แจงที่มีค่าเฉลี่ย 1.
เพื่อประโยชน์ของการเปรียบเทียบนอกจาก Weibull และแกมมาแจกแจงการกระจายปกติถือว่ายัง.
โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้, γ เป็นที่ไม่ซ้ำกันสำหรับค่ากำหนดของหรือα พารามิเตอร์รูปร่างสำหรับ
การกระจาย Weibull และαสำหรับการกระจายรังสีแกมมาที่มีความมุ่งมั่นเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้, γ {0.5,
1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0} สัมประสิทธิ์ความเบ้ศูนย์บ่งชี้สมมาตร ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้, γ = 0.5 และ 1.0
เป็นตัวแทนระดับต่ำของเบ้; γ = 1.5 และ 2.0 เป็นตัวแทนระดับปานกลางของเบ้; และγ = 2.5 และ 3.0
แทนระดับสูงของเบ้ การเปลี่ยนแปลงในค่าเฉลี่ยเป็นตัวแทนจาก Y 1 Y, 0 Y, 0 = μμ + δσที่δ> 0 เป็น
1084
ความสำคัญของการเปลี่ยนแปลงในแง่ของจำนวนหน่วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน; ในขณะที่ Y, 0 μและ Y, 0 σแทนในการควบคุม
ค่าเฉลี่ยและในการควบคุมค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตามลำดับ โปรดทราบว่าเราจะพิจารณากระบวนการในการควบคุมคือเมื่อδ
= 0 สำหรับตัวแปรสุ่ม, Y, จาก Weibull และแกมมาแจกแจงวิธีการในการควบคุมของพวกเขา
, 0
1+ 1 Y μ = แกมมา
บีตา



, (18)
และ
Y, 0 μ = α, (19)
ตามลำดับ ขณะที่อยู่ในการควบคุมค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของพวกเขา
2
, 0
= 1 + 2 - 1 + 1 Y แกมมาแกมมาσ
บีตาบีตา



, (20)
และ
Y, 0 σ = α, (21)
ตามลำดับ (Khoo et al. 2008)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . คุณสมบัติทางสถิติและกลยุทธ์การออกแบบความเบ้ คือ การวัดระดับของความไม่สมดุลในการกระจายสินค้า การจะสมมาตรถ้ามัธยฐานแบ่งฝั่งซ้าย และฝั่งขวาเป็นสองภูมิภาคที่เหมือนกัน กลุ่มตัวอย่าง เป็นวัดที่มีความเบ้สมการต่อไปนี้ ( และทำให้เคนนี่ 1962 )เบ้ =3 .= 13 .( )( - 1 )nฉันฉัน X - xN S ( 13 )โดยที่ n คือขนาดตัวอย่างและตัวอย่างของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน การกระจายสมมาตรมีความสำหรับค่าศูนย์ หางซ้ายยาวกว่าเมื่อเทียบกับหางด้านขวา แสดงว่าลบเบ้ขวา ในขณะที่หางอีกต่อไปเทียบกับหางซ้ายชี้บวกเอียงที่ไวและการแจกแจงแกมมาถือว่าในงานนี้เนื่องจากการกระจายนี้จะมีความยืดหยุ่นมาก โดยการเลือกพารามิเตอร์ที่เหมาะสม พวกเขาสามารถแสดงความหลากหลายของรูปร่าง ตั้งแต่เกือบจะสมมาตรสูงเอียง เพื่อความสะดวก ขนาดค่าหนึ่งจะเลือกทั้งแบบแกมม่าการแจกแจง . เป็นมูลค่า noting ว่าความเป็นอิสระ จากค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงเหล่านี้สำหรับการแจกแจงแบบไวบูลล์ , กับพารามิเตอร์แสดงตำแหน่งศูนย์และระดับหนึ่งพารามิเตอร์ของการแจกแจงสะสมฟังก์ชัน ( CDF ) ให้จอห์นสันที่อัล ( 1995 ) เป็น( ) = 1 - ( E ) F Y Y Y บีตาω , 0 , ( 14 )ที่ > 0 คือขนาดพารามิเตอร์และ > 0 คือรูปร่างพารามิเตอร์ ทราบว่าเมื่อ = 1 , แบบทดสอบการลดการกระจายชี้แจงกับหมายถึง . ให้ = 1 และ ( Y Y ) P = PR μที่คือเป้าหมาย หมายถึง ค่าของ y , เรามี1 - 1 + 1 0บีตาY = EXP - Γ , Yบีตา. ( 15 )สำหรับการแจกแจงแกมมากับพารามิเตอร์แสดงตำแหน่งศูนย์และระดับหนึ่งพารามิเตอร์ของ CDF ให้ ( จอห์นสันและkotz 2513 )( ) ( ) 0 , 0( )Y F Y Y αΓα = , ,Γα ( 16 )ที่ - 10แอลฟา ( M ) YY Γα =  M e DM และ - 10Γ ( α ) = m α e-m DM  . แล้ว สำหรับคดีนี้( Y ) P = F α ( 17 )ตั้งแต่μ = α . ที่นี่ αแสดงรูปร่างของพารามิเตอร์ของการแจกแจงแกมมา . คล้ายกับแบบกระจายเมื่อα = 1 , การแจกแจงแกมมาลดการกระจายชี้แจงกับหมายถึง 1 .เพื่อประโยชน์ในการเปรียบเทียบ นอกจากแบบและแกมมาการแจกแจงการแจกแจงปกติ ก็ยังถือว่าโปรดทราบว่าความเบ้เท่ากับγเป็นเอกลักษณ์เพื่อให้คุณค่าของหรือα . รูปร่างสำหรับพารามิเตอร์แบบไวบูลล์ และαสำหรับการแจกแจงแกมมาที่มุ่งมั่นเพื่อให้ความเบ้เท่ากับγ { 0.5 ,1.0 , 1.5 , 2.0 , 2.5 , 3.0 } เป็นสัมประสิทธิ์ของศูนย์แสดงความสมมาตร มีความเบ้เท่ากับγ = 0.5 และ 1.0แสดงระดับความเบ้ ; γ = 1.5 และ 2.0 แทนปานกลาง ระดับความเบ้ และγ = 2.5 และ 3.0แสดงระดับความเบ้ . การเปลี่ยนแปลงในค่าเฉลี่ย แทนด้วย Y Y Y 1 0 0 μ = μ + δσที่δ > 0 คือ.ขนาดของการเปลี่ยนแปลงในแง่ของจำนวนหน่วย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วน Y , 0 μและ Y , 0 σเป็นตัวแทนในการควบคุมค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในการควบคุม ตามลำดับ โปรดทราบว่าเราจะพิจารณาในกระบวนการควบคุม เช่น เมื่อδ= 0 สำหรับตัวแปรสุ่ม และจากแบบ และแกมมาการแจกแจงของพวกเขาในวิธีการควบคุมคือ01 + 1 = Γμ Yบีตา( 18 )และY = 0 μα ( 19 )ตามลำดับ ขณะที่ในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานควบคุม20= 1 + 1 - 1 + 1 Y σΓΓบีตาบีตา( 20 )และY = 0 σα ( 21 )ตามลำดับ ( คู et al . 2008 )