1 Introduction and preliminariesSol

1 Introduction and preliminaries
Solving the nonlinear equation
f(x) = 0, (1.1)
where f : D ⊂ R → R is a scalar function and an open interval D, is one of
the oldest problems in numerical analysis.
The classical Newton’s method for solving (1.1) is written as
xn+1 = xn −
f (xn)
f
0
(xn)
, f0
(xn) 6= 0.
This is an important and basic method which converges quadratically. Newton’s
method provides the approximate solution of a nonlinear equation in one
variable using its derivative and function evaluations.
In 1984, Potra and Pt´ak [6] developed the following third order iterative
method:
xn+1 = xn −
f(xn) + f
0
(xn −
f(xn)
f
0(xn)
)
f(xn)
. (1.2)
During the last few years, different variations of Newton’s method with
higher order of convergence depending upon the function and its derivative
evaluations have been studied by various authors [1, 2, 3, 8] by considering
different quadrature formulae for the computation of the integral arising from
Newton’s theorem,
f(x) = f(xn) + Z x
xn
f
0
(t)dt. (1.3)
Weerakoon and Fernando [8] rederived the classical Newton’s method by
rectangular rule to compute the integral (1.3) and by the trapezoidal approximation,
they arrived at an implicit scheme:
xn+1 = xn −
2f (xn)
f
0
(xn+1) + f
0
(xn)
, (1.4)
A new Newton’s type method for nonlinear equations 153
which requires the iterate xn+1 to calculate itself. They overcome this draw
back by making use of Newton’s iterative step to compute xn+1. So, a modified
Newton’s method with cubic convergence is obtained
xn+1 = xn −
2f (xn)
f
0
(yn) + f
0
(xn)
, (1.5)
where yn = xn −
f(xn)
f
0(xn)
and f
0
(xn) 6= 0.
In [2], Homeier obtained the following mid-point method:
xn+1 = xn −
f (xn)
f
0
(
1
2
(xn + yn)). (1.6)
In [5], Ozban derived a cubically convergent Newton’s type method as ¨
xn+1 = xn −
f (xn)
2

1
f
0
(xn)
+
1
f
0
(yn)

. (1.7)
The following iterative method with convergence order 1 + √
2 has recently
been developed by McDougall and Wotherspoon [4] and needs two evaluations
for each iteration:
x
∗
0 = x0,
x1 = x0 −
f(x0)
f
0
(x0)
,
x
∗
k = xk −
f(xk)
f
0
(
xk−1+x
∗
k−1
2
)
,
xk+1 = xk −
f(xk)
f
0
(
xk+x
∗
k
2
)
, k ≥ 1.
(1.8)
Also the predictor-corrector method which is the generalization of the Newton’s
method can be found in the book of Traub [7]:
xn+1 = yn −
f (yn)
f
0
(xn)
,
yn = xn −
f (xn)
f
0
(xn)
, f0
(xn) 6= 0.
(1.9)
In this paper, following the approach of McDougall and Wotherspoon [4]
and using (1.9) we propose a simple and rapid convergent variation of standard
154 Shin Min Kang et al.
Newton’s method as follows:
x
∗
0 = x0,
x1 = x0 −
f(x0)
f
0
(x0)
,
x
∗
k = x
∗
k−1 −
f(x
∗
k−1
)
f
0
(xk)
,
xk+1 = x
∗
k −
f(x
∗
k
)
f
0
(xk)
, k ≥ 1.
(1.10)
The proposed method requires only two evaluations and has convergence
order 2 but it is comparable with the method of McDougall and Wotherspoon
[4] with convergence order 1 + √
2

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แนะนำที่ 1 และขั้นการแก้สมการไม่เชิงเส้นf (x) = 0, (1.1)ที่ f: D ⊂ R → R เป็นฟังก์ชันสเกลาและช่วงเปิด D เป็นหนึ่งปัญหาเก่าแก่ที่สุดในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขวิธีการของนิวตันคลาสสิกสำหรับแก้ (1.1) ถูกเขียนเป็นxn + 1 = xn −f (xn)f0(xn), f0(xn) 6 = 0นี้เป็นวิธีสำคัญ และพื้นฐานที่แร็ค quadratically ของนิวตันวิธีให้การแก้ปัญหาโดยประมาณของสมการไม่เชิงเส้นทางหนึ่งตัวแปรที่ใช้ประเมินฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันในปี 1984, Potra และ Pt´ak [6] ได้พัฒนาลำดับที่สามต่อไปซ้ำวิธี:xn + 1 = xn −f(xn) + f0(xn −f(xn)f0(xn))f(xn). (1.2)ในช่วงไม่กี่ปี หลากหลายวิธีของนิวตันด้วยขั้นสูงขึ้นอยู่กับฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันบรรจบกันมีการศึกษามาเขียนบทความต่าง ๆ [1, 2, 3, 8] การประเมิน โดยพิจารณาลภาคต่าง ๆ สูตรการคำนวณที่สำคัญที่เกิดขึ้นจากทฤษฎีบทของนิวตันf (x) = f(xn) + Z xxnf0(t) dt (1.3)Weerakoon และเฟอร์นันโด [8] วิธีของนิวตันคลาสสิกโดย rederivedกฎสี่เหลี่ยมในการคำนวณในระบบเมตริก (1.3) และ โดย ประมาณเกลียวตาเปซพวกเขามาถึงแบบแผนการ implicit:xn + 1 = xn −ชั้น 2 (xn)f0(xn + 1) + f0(xn), (1.4)วิธีชนิดของนิวตันใหม่สำหรับสมการไม่เชิงเส้น 153ซึ่งต้องการ iterate xn + 1 เพื่อคำนวณเอง พวกเขาเอาชนะวาดนี้กลับ โดยการใช้ของขั้นตอนซ้ำของนิวตัน xn + 1 ดังนั้น แก้ไขวิธีของนิวตันกับลูกบาศก์บรรจบกันได้xn + 1 = xn −ชั้น 2 (xn)f0(yn) + f0(xn), (1.5)ที่ yn = xn −f(xn)f0(xn)และ f0(xn) 6 = 0ใน [2], Homeier รับจุดกลางวิธีต่อไปนี้:xn + 1 = xn −f (xn)f0(12(xn + yn)) (1.6)ใน [5], Ozban มาวิธีชนิดของนิวตันองค์กร cubically เป็นจดหมายxn + 1 = xn −f (xn)21f0(xn)+1f0(yn). (1.7)วิธีซ้ำการต่อบรรจบกันสั่ง 1 +√2 ได้เร็ว ๆ นี้รับการพัฒนา โดย McDougall และ Wotherspoon [4] และการประเมินความต้องการทั้งสองสำหรับการเกิดซ้ำแต่ละ:x∗0 = x0x1 = x0 −f(x0)f0(x0),x∗k = xk −f(xk)f0(xk−1 + x∗k−12),xk + 1 = xk −f(xk)f0(xk + x∗k2), k ≥ 1(1.8)นอกจากนี้วิธีการ predictor กลางบอกซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของของนิวตันวิธีที่สามารถพบได้ในหนังสือของแทรมป์ [7]:xn + 1 = yn −f (yn)f0(xn),yn = xn −f (xn)f0(xn), f0(xn) 6 = 0(1.9)ในกระดาษนี้ ตามแนวทางของ McDougall และ Wotherspoon [4]และเราใช้ (1.9) เสนอรูปแบบองค์กรที่ง่าย และรวดเร็วของมาตรฐาน154 ชินนาที Kang et alวิธีการของนิวตันดังนี้:x∗0 = x0x1 = x0 −f(x0)f0(x0),x∗k = x∗k−1 −f (x∗k−1)f0(xk),xk + 1 = x∗k −f (x∗k)f0(xk), k ≥ 1(1.10)วิธีการนำเสนอต้องประเมินสองเท่า และมีการบรรจบกันลำดับ 2 แต่มันก็เปรียบได้กับวิธีการ McDougall และ Wotherspoon[4] พร้อมสั่งบรรจบกัน 1 + √2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1 บทนำและรอบคัดเลือกโซน
แก้ไม่เชิงเส้นสมการ
f (x) = 0 (1.1)
ที่ F: D ⊂ R → R เป็นฟังก์ชั่นสเกลาร์และเปิดช่วง D เป็นหนึ่ง
. ปัญหาที่เก่าแก่ที่สุดในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข
วิธีคลาสสิกของนิวตัน สำหรับการแก้ปัญหา (1.1) เขียนเป็น
xn + 1 = xn -
f (xn)
F
0
(xn)
, F0
(xn) 6 = 0
นี่คือวิธีการที่สำคัญและพื้นฐานที่ลู่ quadratically ของนิวตัน
วิธีการให้ทางออกโดยประมาณของสมการไม่เชิงเส้นในหนึ่ง
. ตัวแปรโดยใช้การประเมินผลอนุพันธ์และฟังก์ชั่น
ในปี 1984 และ Potra Pt'ak [6] การพัฒนาต่อไปนี้เพื่อย้ำสาม
วิธี:
xn + 1 = xn -
f (xn) + F
0
(xn -
f (xn)
F
0 (xn)
)
f
(xn) (1.2)
ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมารูปแบบที่แตกต่างกันของวิธีการของนิวตันที่มี
การสั่งซื้อที่สูงขึ้นของการบรรจบกันขึ้นอยู่กับการทำงานและอนุพันธ์ของ
การประเมินผลการได้รับการศึกษาโดยนักเขียนต่าง ๆ [1, 2, 3, 8] โดยพิจารณา
สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตกต่างกันสำหรับการคำนวณ ของหนึ่งที่เกิดขึ้นจาก
ทฤษฎีบทของนิวตัน,
f (x) = f (xn) + Z x
xn
F
0
(t) dt (1.3)
Weerakoon และเฟอร์นันโด [8] rederived วิธีคลาสสิกของนิวตันโดย
กฎสี่เหลี่ยมเพื่อคำนวณหนึ่ง (1.3) และประมาณสี่เหลี่ยมคางหมูที่
พวกเขามาถึงโครงการนัย:
xn + 1 = xn -
2F (xn)
F
0
( xn + 1) + F
0
(xn)
(1.4)
วิธีชนิดใหม่ของนิวตันสำหรับสมการไม่เชิงเส้น 153
ซึ่งจะต้องมี xn ย้ำ + 1 เพื่อคำนวณตัวเอง พวกเขาเอาชนะนี้วาด
กลับโดยการใช้ขั้นตอนซ้ำของนิวตันในการคำนวณ xn + 1 ดังนั้นการปรับเปลี่ยน
วิธีการของนิวตันกับลูกบาศก์ลู่จะได้รับ
xn + 1 = xn -
2F (xn)
F
0
(yn) + F
0
(xn)
(1.5)
ที่ yn = xn -
f (xn)
F
0 (xn)
และ F
0
(xn) 6 = 0
ใน [2], Homeier ได้ดังต่อไปนี้วิธีการจุดกลาง:
xn + 1 = xn -
f (xn)
F
0
(
1
2
(xn + yn)) (1.6)
ใน [5], Ozban มาวิธีการประเภทบรรจบ cubically ของนิวตันเป็น¨
xn + 1 = xn -
f (xn)
2
?
1
F
0
(xn)
+
1
F
0
(yn) ? (1.7) วิธีการซ้ำแล้วซ้ำอีกต่อไปกับการสั่งซื้อลู่ 1 + √ 2 เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้รับการพัฒนาโดย McDougall และ Wotherspoon [4] และความต้องการที่สองการประเมินผลสำหรับแต่ละซ้ำ: x * 0 = X0, X1 = x0 - f (x0) F 0 ( x0) , ​​x * K = XK - f (XK) F 0 ( XK-1 + x * K-1 2 ) , XK + 1 = XK - f (XK) F 0 ( XK + x * k 2 ) , K ≥ 1 (1.8) นอกจากนี้ยังมีวิธีการทำนาย-Corrector ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของนิวตันวิธีการที่สามารถพบได้ในหนังสือของทร็อบม [7]: xn + 1 = yn - f (yn) F 0 (xn) , yn = xn - f (xn) F 0 (xn) , F0 (xn) 6 = 0 (1.9) ในงานวิจัยนี้ต่อไปนี้วิธีการของ McDougall และ Wotherspoon ม [4] และการใช้ (1.9) เรานำเสนอรูปแบบที่มาบรรจบกันที่ง่ายและรวดเร็ว มาตรฐาน. 154 ชินมินคัง et al, วิธีการของนิวตันเป็นดังนี้: x * 0 = x0, X1 = x0 - f (x0) F 0 (x0) , ​​x * K = x * K-1 - f (x * K- 1 ) F 0 (XK) , XK + 1 = x * k - f (x * k ) F 0 (XK) , k ≥ 1 (1.10) วิธีที่เสนอต้องมีเพียงสองการประเมินผลและมีการบรรจบกันเพื่อที่ 2 แต่มันก็เป็น เปรียบได้กับวิธีการของ McDougall และ Wotherspoon [4] กับการสั่งซื้อลู่ 1 + √ 2