and so on. Substituting u(x) and it

and so on. Substituting u(x) and its derivatives in the given differential equa-
tion, and equating coefficients of like powers of x gives a recurrence relation
that can be solved to determine the coefficients an , n 0. Substituting the
obtained values of an , n 0 in the series assumption (1.82) gives the series
solution. As stated before, the series may converge to the exact solution. Oth-
erwise, the obtained series can be truncated to any finite number of terms to
be used for numerical calculations. The more terms we use will enhance the
level of accuracy of the numerical approximation.
It is interesting to point out that the series solution method can be used
for homogeneous and inhomogeneous equations as well when x = 0 is an
ordinary point. However, if x = 0 is a regular singular point of an ODE, then
solution can be obtained by Frobenius method that will not be reviewed in
this text. Moreover, the Taylor series of any elementary function involved in
the differential equation should be used for equating the coefficients.
The series solution method will be illustrated by examining the following
ordinary differential equations where x = 0 is an ordinary point. Some ex-
amples will give exact solutions, whereas others will provide series solutions
that can be used for numerical purposes.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เป็นต้น แทน U (x) และอนุพันธ์ในความแตกต่างให้สม-
tion และเท่าสัมประสิทธิ์ของผู้มีอำนาจเหมือน x
ให้ความสัมพันธ์กลับมาอีกว่าจะสามารถแก้ไขได้ในการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์, n 0 แทนค่าที่ได้รับจาก
, n 0 ในสมมติฐานชุด (1.82) ให้ชุดโซลูชั่น
ตามที่ระบุไว้ก่อนที่ชุดอาจจะเพ่งความสนใจไปแก้ปัญหาที่แน่นอน Oth-
erwise, ซีรีส์ที่ได้รับสามารถตัดทอนใด ๆ ที่ จำกัด จำนวนของข้อตกลงไป
จะใช้สำหรับการคำนวณตัวเลข เงื่อนไขการใช้บริการอื่น ๆ ที่เราใช้จะช่วยเพิ่มระดับ
ของความถูกต้องของการประมาณตัวเลข
เป็นที่น่าสนใจจะชี้ให้เห็นว่าวิธีการแก้ปัญหาชุดที่สามารถนำมาใช้
สมเนื้อและเนื้อเดียวกันเช่นกันเมื่อ x = 0 คือจุดสามัญ
อย่างไรก็ตามถ้า x = 0 เ​​ป็นจุดเอกพจน์ปกติของบทกวีแล้ว
แก้ปัญหาได้โดยวิธีการ Frobenius ที่จะไม่ได้รับการทบทวนใน
ข้อความนี้ ยิ่งไปกว่านั้นชุดเทย์เลอร์ของฟังก์ชันประถมศึกษาใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการ
สมการเชิงอนุพันธ์ควรจะใช้สำหรับเท่าสัมประสิทธิ์
วิธีการแก้ปัญหาที่ชุดจะถูกแสดงโดยการตรวจสอบดังต่อไปนี้
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ x = 0 เ​​ป็นจุดสามัญ บางอดีต-
amples จะให้การแก้ปัญหาที่ถูกต้องในขณะที่คนอื่นจะให้บริการโซลูชั่นชุด
ที่สามารถใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในเชิงตัวเลข

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

และอื่น ๆ การแทนที่ u(x) และอนุพันธ์ในกำหนด differential equa
สเตรชัน และ equating coefficients ของเช่นอำนาจของ x ให้ความสัมพันธ์เกิดขึ้น
ที่สามารถแก้ไขการกำหนด coefficients n, 0 แทน
รับค่าของให้ n 0 ในอัสสัมชัญชุด (1.82) ชุด
โซลูชัน ตามที่ระบุไว้ก่อน ชุดอาจมาบรรจบกันเพื่อแก้ปัญหาแน่นอน อื่น ๆ -
erwise สามารถตัดชุดได้รับจำนวน finite เงื่อนไข
ใช้สำหรับการคำนวณตัวเลขได้ เงื่อนไขเพิ่มเติมที่เราใช้จะเพิ่ม
ระดับความแม่นยำของการประมาณตัวเลข
เป็นที่น่าสนใจชี้ว่า สามารถใช้วิธีการแก้ปัญหาชุด
สำหรับสมการเป็นเนื้อเดียวกัน และใช้งานเป็นอย่างดีเมื่อ x = 0 เป็นการ
จุดธรรมดา อย่างไรก็ตาม ถ้า x = 0 เป็นจุด singular ปกติของ ODE แล้ว
แก้ปัญหาได้ โดยวิธีโฟรเบนีอุสที่จะไม่ตรวจทานใน
ข้อความนี้ได้ นอกจากนี้ ชุดเทย์เลอร์ของฟังก์ชันมูลฐานใด ๆ ที่เกี่ยวข้องใน
ควรใช้สมการ differential สำหรับ equating coefficients
ชุดโซลูชันวิธีที่จะแสดง ด้วยการตรวจสอบต่อไปนี้
สมการ differential ปกติที่ x = 0 มีจุดผิดปกติ อดีตบาง -
amples จะให้โซลูชั่นแน่นอน ในขณะที่ผู้อื่นจะให้โซลูชั่นชุด
ที่สามารถใช้สำหรับวัตถุประสงค์ในการเป็นตัวเลขได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

และที่จะเป็นไปได้ ตามปกติแทนส่วนประกอบชิ้น U ( X )และสัญญาซื้อขายล่วงหน้าใน coefficients ทำงานเท่าและ differential equa -
การให้อำนาจของ X จะช่วยให้ความสัมพันธ์การเกิดซ้ำที่
ที่สามารถแก้ไขได้ในการกำหนด coefficients ที่ N 0 แทนที่
ได้รับคุณค่าของที่ N 0 ในที่ตั้งสมมุติฐาน Series ( 1.82 )จะให้โซลูชันที่ N Series ตามที่ระบุไว้ก่อน Series ที่อาจจะมาบรรจบกันไปเป็นโซลูชันที่แน่นอน oth -
erwise Series ได้รับสามารถตัดให้สั้นลงเป็นจำนวน finite ใดของข้อกำหนดในการ
ถูกใช้สำหรับการคำนวณตัวเลข เงื่อนไขเพิ่มเติมที่เราใช้จะเพิ่ม
ระดับของความถูกต้องของประมาณตัวเลข
มันเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะชี้ให้เห็นว่าวิธีที่โซลูชัน series สามารถใช้
สำหรับสมเป็นเนื้อเดียวกันและ inhomogeneous เป็นอย่างดีเมื่อ X = 0 คือจุดธรรมดา
แต่ถึงอย่างไรก็ตามหาก X = 0 คือจุดหนึ่งเป็นประจำในโคลง
โซลูชันที่สามารถรับได้โดยใช้วิธีการ frobenius ว่าจะไม่ได้รับการตรวจสอบใน
ข้อความนี้ ยิ่งไปกว่านั้นยัง Series ลล่าเทเลอร์ที่มีฟังก์ชันพื้นฐานที่มีส่วนเกี่ยวข้องในการ differential
ควรจะใช้สำหรับทำงานเท่า coefficients ได้
วิธีการโซลูชันชุดนี้จะเป็น ภาพ ประกอบด้วยการตรวจสอบต่อไปนี้:
differential สามัญและสถานที่ซึ่ง X = 0 คือจุดธรรมดา amples ex -
บางอย่างจะให้โซลูชันที่แน่นอนในขณะที่คนอื่นจะทำให้โซลูชัน Series
ที่สามารถใช้สำหรับการใช้งานที่เป็นตัวเลข