In general, a chemical model aimed

In general, a chemical model aimed at predicting the evolution of the concentration of certain chemical species with time
requires, as the first step, identifying the most relevant chemical reactions in which these species are involved. Depending on
the velocity at which the reactions proceed with respect to the time scale of the problem, two basic theories are available to
model them: finite rate chemical kinetics and equilibrium. When the velocity of the chemical reactions is fast in comparison
to the time scale of the problem, the system could be considered to reach equilibrium. However, reactions that proceed at
a rate that is similar to the selected time scale should be kinetically described (see [13]).
In this work, the theoretical fundamentals of both chemical theories will be recalled, thus setting up the basis of a
more complex set of problems in which both the slow and fast chemical reactions coexist. A new approach based on the
use of asymptotic techniques to obtain the limit of such chemical problems is considered. The underlying idea is that the
limit model constitutes a good approximation of the original one. In fact, the limit problem, that is formulated in terms
of Lagrange multipliers, allows for the calculation of the concentration of all the involved chemical species. However, it
is generally a stiff problem, specially when the velocities of the chemical reactions are very different in magnitude, being
the computational cost sometimes not affordable. Fortunately, model reduction techniques, such as the two that will be
considered in this paper, are useful to overcome this problem.
The proposed approach has proved to be effective in several simple tests as well as in the real case study involving the
water quality prediction of a future pit lake that was stated at the beginning of this introduction. Moreover, it constitutes
an alternative and sometimes an improvement with respect to the so-called Singular Perturbation Theory (see [19]), which
generalizes the classical Quasi Steady State Approximation (QSSA) or Pseudoequilibrium Approach (PE), because this method
always guarantees that the concentration of all the chemical species can be recovered at any time, what is not always
possible in the case of the Singular Perturbation Theory.
The outline of the paper is as follows. Section 2 will be devoted to review the basic theoretical concepts related to
chemical reaction modeling: chemical kinetics and equilibrium will be described from a mathematical point of view and
the analysis of the existence and uniqueness of solution of the chemical problem will be introduced. Chemical processes in
which slow and fast chemical reactions coexist will be treated in Section 3, with emphasis in the deduction of the limit
model. In Section 4 the details of the model reduction techniques will be provided, being Section 5 concerned with the
description of the methods that are suitable to solve numerically the stated chemical problem. This section includes as well
the application of all the considered theoretical aspects and the numerical resolution of a fictitious example for purposes of
illustration.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทั่วไป มุ่งคาดการณ์วิวัฒนาการของความเข้มข้นของบางชนิดสารเคมีกับเวลาแบบเคมีต้องการ ตาม ระบุปฏิกิริยาเคมีมากที่สุดซึ่งเกี่ยวข้องกับสายพันธุ์เหล่านี้ ขึ้นอยู่กับความเร็วที่ปฏิกิริยาการดำเนินเกี่ยวกับมาตราส่วนเวลาของปัญหา ทฤษฎีพื้นฐานสองพร้อมใช้งานรุ่นพวกเขา: จลนพลศาสตร์เคมีอัตราจำกัดและสมดุล เมื่อความเร็วของปฏิกิริยาเคมีได้อย่างรวดเร็วในการเปรียบเทียบขนาดเวลาของปัญหา ระบบอาจจะพิจารณาถึงสมดุล อย่างไรก็ตาม ปฏิกิริยาที่ต่อไปที่อัตราที่เหมือนกับเวลาเลือกขนาดควรจะ kinetically อธิบายไว้ (ดู [13])ในงานนี้ ทฤษฎีพื้นฐานของทฤษฎีทั้งสองทางเคมีจะถูกยกเลิก ดังนั้น การตั้งค่าพื้นฐานของการชุดที่ซับซ้อนของปัญหาซึ่งทั้งสองมีปฏิกิริยาเคมีได้อย่างรวดเร็ว และช้าอยู่ วิธีการแบบใหม่ตามใช้เทคนิค asymptotic รับข้อจำกัดของปัญหาสารเคมีดังกล่าวจะถือว่า ความคิดพื้นฐานคือการรุ่นจำกัดถือประมาณดีของเดิม ในความเป็นจริง ปัญหาจำกัด ที่เป็นสูตรในเงื่อนไขของโรงแรมลากรองจ์ multipliers ช่วยให้การคำนวณความเข้มข้นของชนิดสารเคมีที่เกี่ยวข้องทั้งหมด อย่างไรก็ตาม มันโดยทั่วไปจะมีปัญหาแข็ง พิเศษเมื่อตะกอนของปฏิกิริยาเคมีที่มีความแตกต่างในขนาด ถูกthe computational cost sometimes not affordable. Fortunately, model reduction techniques, such as the two that will beconsidered in this paper, are useful to overcome this problem.The proposed approach has proved to be effective in several simple tests as well as in the real case study involving thewater quality prediction of a future pit lake that was stated at the beginning of this introduction. Moreover, it constitutesan alternative and sometimes an improvement with respect to the so-called Singular Perturbation Theory (see [19]), whichgeneralizes the classical Quasi Steady State Approximation (QSSA) or Pseudoequilibrium Approach (PE), because this methodalways guarantees that the concentration of all the chemical species can be recovered at any time, what is not alwayspossible in the case of the Singular Perturbation Theory.The outline of the paper is as follows. Section 2 will be devoted to review the basic theoretical concepts related tochemical reaction modeling: chemical kinetics and equilibrium will be described from a mathematical point of view andthe analysis of the existence and uniqueness of solution of the chemical problem will be introduced. Chemical processes inwhich slow and fast chemical reactions coexist will be treated in Section 3, with emphasis in the deduction of the limitmodel. In Section 4 the details of the model reduction techniques will be provided, being Section 5 concerned with thedescription of the methods that are suitable to solve numerically the stated chemical problem. This section includes as well
the application of all the considered theoretical aspects and the numerical resolution of a fictitious example for purposes of
illustration.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดยทั่วไปรูปแบบทางเคมีที่มุ่งเป้าไปที่การทำนายวิวัฒนาการของความเข้มข้นของสารเคมีชนิดหนึ่งที่มีเวลาที่ต้องใช้เป็นขั้นตอนแรกระบุปฏิกิริยาทางเคมีที่เกี่ยวข้องมากที่สุดในการที่สายพันธุ์เหล่านี้มีส่วนร่วม ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความเร็วที่ปฏิกิริยาดำเนินการที่เกี่ยวกับระยะเวลาของปัญหาที่สองทฤษฎีพื้นฐานที่มีอยู่เพื่อสร้างแบบจำลองเขาจลนพลศาสตร์เคมีอัตราจำกัด และสมดุล เมื่อความเร็วของปฏิกิริยาเคมีที่เป็นไปอย่างรวดเร็วในการเปรียบเทียบขนาดเวลาของปัญหาระบบอาจจะพิจารณาไปถึงความสมดุล แต่ปฏิกิริยาที่ดำเนินการต่อไปในอัตราที่คล้ายกับช่วงเวลาที่เลือกควรจะอธิบาย kinetically (ดู [13]). ในงานนี้ปัจจัยพื้นฐานทางทฤษฎีของทฤษฎีเคมีทั้งสองจะถูกเรียกคืนจึงตั้งค่าพื้นฐานของการที่มากขึ้นชุดที่ซับซ้อนของปัญหาซึ่งทั้งสองปฏิกิริยาเคมีช้าและเร็วอยู่ร่วมกัน วิธีการใหม่บนพื้นฐานของการใช้เทคนิคเชิงที่จะได้รับขีด จำกัด ของปัญหาเคมีเช่นนั้นถือว่า ความคิดพื้นฐานที่รูปแบบถือว่าเป็นวงเงินประมาณที่ดีของเดิมอีกด้วย ในความเป็นจริงปัญหาขีด จำกัด ที่เป็นสูตรในแง่ของตัวคูณลากรองจ์จะช่วยให้การคำนวณความเข้มข้นของทุกชนิดที่เกี่ยวข้องกับสารเคมีที่ แต่ก็โดยทั่วไปเป็นปัญหาที่แข็งเป็นพิเศษเมื่อความเร็วของปฏิกิริยาทางเคมีที่แตกต่างกันอย่างมากในขนาดที่เป็นค่าใช้จ่ายในการคำนวณบางครั้งไม่แพง โชคดีที่เทคนิคการลดรูปแบบเช่นสองที่จะได้รับการพิจารณาในบทความนี้จะเป็นประโยชน์ที่จะเอาชนะปัญหานี้. วิธีการที่นำเสนอได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพในการทดสอบหลายอย่างง่ายเช่นเดียวกับในกรณีศึกษาจริงที่เกี่ยวข้องกับการทำนายคุณภาพน้ำของทะเลสาบหลุมในอนาคตที่ได้ระบุไว้ที่จุดเริ่มต้นของการแนะนำนี้ นอกจากนี้ยังถือว่าเป็นทางเลือกและบางครั้งการปรับปรุงเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่าเอกพจน์ก่อกวนทฤษฎี (ดู [19]) ซึ่ง generalizes คลาสสิกเสมือนมั่นคงของรัฐประมาณ (QSSA) หรือ Pseudoequilibrium วิธี (PE) เพราะวิธีนี้รับประกันเสมอว่ามีความเข้มข้นของทุกชนิดของสารเคมีที่สามารถกู้คืนได้ตลอดเวลาเป็นสิ่งที่ไม่เคยเป็นไปได้ในกรณีของเอกพจน์ก่อกวนทฤษฎี. ร่างของกระดาษเป็นดังนี้ ส่วนที่ 2 จะได้รับการทุ่มเทให้กับการทบทวนแนวคิดทฤษฎีพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองปฏิกิริยาทางเคมี: จลนพลศาสตร์เคมีและสมดุลจะได้รับการอธิบายจากจุดทางคณิตศาสตร์ของมุมมองและการวิเคราะห์ของการดำรงอยู่และเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหาของปัญหาสารเคมีที่จะได้รับการแนะนำ กระบวนการทางเคมีในที่เกิดปฏิกิริยาทางเคมีช้าและเร็วอยู่ร่วมกันจะได้รับการปฏิบัติในส่วนที่ 3 ที่มีความสำคัญในการหักของวงเงินที่รูปแบบ ในส่วนที่ 4 รายละเอียดของเทคนิคการลดรูปแบบจะมีการจัดเป็นหมวดที่ 5 ที่เกี่ยวข้องกับรายละเอียดของวิธีการที่มีความเหมาะสมในการแก้ปัญหาตัวเลขทางเคมีที่ระบุไว้ ในส่วนนี้เช่นกันรวมถึงแอพลิเคชันของทุกการพิจารณาด้านทฤษฎีและความละเอียดของตัวเลขของตัวอย่างที่สมมติขึ้นเพื่อวัตถุประสงค์ในภาพประกอบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยทั่วไปสารเคมีแบบมีวัตถุประสงค์เพื่อทำนายวิวัฒนาการของความเข้มข้นของสารเคมีบางชนิด กับ เวลาต้อง เป็นขั้นตอนแรกที่ระบุที่เกี่ยวข้องมากที่สุดในชนิดนี้เป็นปฏิกิริยาที่เกี่ยวข้อง ขึ้นอยู่กับความเร็วที่ได้ดำเนินการด้วยความเคารพเวลาขนาดของปัญหา มี 2 ทฤษฎีพื้นฐานรุ่น : จำกัดอัตราจลนศาสตร์เคมีและสมดุล เมื่อความเร็วของปฏิกิริยาที่รวดเร็วในการเปรียบเทียบถึงเวลาขนาดของปัญหา ระบบอาจจะพิจารณาถึงความสมดุลของร่างกาย อย่างไรก็ตาม ปฏิกิริยาที่ดำเนินการที่อัตราที่คล้ายคลึงกับการเลือกขนาดมาตราส่วนเวลาจะอธิบายจลนศาสตร์ ( ดู [ 13 ] )ในงานนี้ พื้นฐานทางทฤษฎีของทฤษฎีทางเคมีจะถูกเรียกคืน ดังนั้นการตั้งค่าพื้นฐานของที่ซับซ้อนมากขึ้นชุดของปัญหาที่ทั้งช้าและเร็ว ปฏิกิริยาเคมี อยู่ร่วมกัน . วิธีใหม่บนพื้นฐานของการใช้เทคนิคการหมุนเวียนเพื่อให้ได้ขอบเขตปัญหาสารเคมีดังกล่าว ถือว่า ภายใต้แนวคิดว่ารุ่น จำกัด ถือเป็นการดีของเดิมหนึ่ง ในความเป็นจริง ข้อจำกัด ปัญหา ที่เป็นยุทธศาสตร์ในแง่ของลากรองจ์คูณ ให้คำนวณความเข้มข้นของทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสารเคมีชนิด อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปปัญหาที่แข็งเป็นพิเศษ เมื่อความเร็วของปฏิกิริยาทางเคมีแตกต่างกันมากในขนาด ,ส่วนการคำนวณต้นทุนบางครั้งมากไม่ได้ โชคดีที่ เทคนิค ลด แบบ เช่น สอง ที่ จะการพิจารณาบทความนี้เป็นประโยชน์ในการเอาชนะปัญหานี้วิธีการที่เสนอได้พิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพในการสอบต่าง ๆรวมทั้งในการศึกษาที่เกี่ยวข้องกับคดีจริง ๆการพยากรณ์คุณภาพน้ำในบ่อทะเลสาบในอนาคตที่ระบุจุดเริ่มต้นของขั้นนี้ นอกจากนี้ยังถือว่าทางเลือกและบางครั้งการปรับปรุงส่วนที่เรียกว่าทฤษฎีความยุ่งเหยิงเอกพจน์ ( ดู [ 19 ] ) ซึ่งเช่นนี้ได้ขยายคลาสสิกกึ่ง steady state ประมาณ ( qssa ) หรือวิธีการ pseudoequilibrium ( PE ) เพราะวิธีนี้มักจะรับประกันว่า ความเข้มข้นของสารเคมีชนิดทั้งหมดสามารถกู้คืนได้ในเวลาใด ๆ สิ่งที่ไม่ได้เสมอเป็นไปได้ในกรณีของทฤษฎีความยุ่งเหยิงเอกพจน์ร่างของกระดาษมีดังนี้ ส่วนที่ 2 จะต้องอุทิศเพื่อทบทวนแนวคิดทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานแบบจำลองปฏิกิริยาเคมีจลนศาสตร์เคมีและสมดุลจะอธิบายจากมุมมองของคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์ตัวตนและเอกลักษณ์ของสารละลายของสารเคมี ปัญหาจะได้รู้จัก . กระบวนการทางเคมีในปฏิกิริยาทางเคมีซึ่งช้าและเร็ว อยู่ร่วมกันจะถือว่ามาตรา 3 โดยเน้นในการ จำกัดนางแบบ ในส่วนที่ 4 รายละเอียดของรูปแบบเทคนิคการกำจัดจะมี ให้ เป็น มาตรา 5 ที่เกี่ยวข้องกับรายละเอียดของวิธีการที่เหมาะสมที่จะแก้เลขระบุสารเคมีปัญหา ส่วนนี้ประกอบด้วยเช่นกันการประยุกต์ใช้ทฤษฎีทั้งหมดพิจารณาและการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของตัวอย่างที่สมมติขึ้นเพื่อวัตถุประสงค์ของภาพประกอบ