What makes a good maths question? I

What makes a good maths question? If you are a student facing exams, you might (understandably) say that good means easy. But if you're doing maths for fun, or are a professional mathematician, your answer is going to be different. An easy question is boring, but you also wouldn't want to gnaw your teeth out at something that is completely inaccessible. What mathematicians like most are questions that lead to new insights, to new ways of looking at things, or pose a completely new type of problem. Asking "good" questions is an important part of doing maths. But where do these good questions come from?

Pythagorean triples
Pythagoras' theorem. Image: Wapkaplet.

Generalise

One source is generalisation. A great example of this is a question posed over 350 years ago by the French mathematician Pierre de Fermat, and has become known as Fermat’s last theorem. As we know from Pythagoras’ theorem, if $a$, $b$ and $c$ are the sides of a right-angled triangle, with $a$ and $b$ enclosing the right angle, then

$a^2+b^2=c^2.$

Fermat asked himself what happens if you make this equation more general: instead of squaring the numbers, you raise them to some other power $n$ with $n>2.$ Can you find three positive whole numbers $a$, $b$, and $c$ so that

$a^ n+b^ n = c^ n?$

Fermat's question seems pretty straight-forward, but it took mathematicians over 350 years to prove that the answer is no. In the process they developed a whole new area of mathematics; a new range of mathematical tools. In fact, it turns out that Fermat's last theorem is a special case of a much broader and deeper problem which involves a particular type of geometric curve that on the face of it has little to do with the original question. So Fermat's simple question turned out to be incredibly fruitful: it generated new mathematics, new insights and new ways of looking at things. Though hard, many mathematicians would regard this as a "good" question. (You can find out more about Fermat's last theorem here).

Simplify and vary

A question is also promising if it offers lots of room for variation. You then start on the simplest variant and see if you can proceed from there, hoping that something interesting will come along as you do so.

Gallery
How many guards do you need to supervise a gallery with this floor plan?

A nice example is the art gallery problem: how many security guards do you need to be sure that together they can oversee the whole interior of an art gallery?

This question is inviting because you can easily draw pictures of the floor plan of a gallery and guards stationed within it. To start with, you will probably think of art galleries that have a relatively simple shape. The first answer, given in 1978 five years after the problem was posed, worked for galleries whose floor plan has the shape of a simple polygon: a shape bounded by straight line pieces that do not cross. Guards were placed in the polygon's corners and were not allowed to move around. Using an ingenious line of attack, the mathematician S. Fisk proved that you never need more that n/3 guards, where n is the number of vertices (corners) of the polygon. (See this article for more.)

Now there are several ways of making the problem harder. What if the guards are not confined to the corners of the gallery? What if they are allowed to move around? What if there are obstacles in the middle of the gallery that you cannot see through? Or the walls are curved? And what if, instead of guarding a two-dimensional polygon, you are trying to guard a three-dimensional polyhedron? You could also consider a different set-up, not looking at guards inside a gallery, but guards outside a prison guarding its walls. Mathematicians have found answers to some of these questions (see here), though some proofs have turned out to be quite hard. But they are still working on others. Thirty years on, the problem is still going.

Look for new tools

Newton and Leibniz
Gottfried Leibniz (left) and Isaac Newton (right).

There are also questions that are being asked, not by individuals, but by a whole age, crying out for new mathematical tools. Their answers can spawn something of a revolution. A great example is the invention of calculus in the seventeenth century. The question then was, "how can we describe continuous change"? A (modern) example is the speed of a car. It's easy to work out the average speed you travelled at during a car journey: speed is the rate of change of distance per time, so you simply divide the distance you travelled by the time it took to travel it. But of course, you didn't travel at that average speed at every moment of your journey. At some times you will have been going slower and at some times faster, with the speed varying continuously. To work out your exact speed at a particular moment in time, you have to calculate the instantaneous rate of change of distance with respect to time.

The methods for doing this were invented primarily by Gottfried Leibniz and Isaac Newton, although many other people worked on the problem too. And since rates of change crop up all over the place — acceleration is the rate of change of speed with respect to time, growth is the rate of change of size with respect to time, cooling or warming is the rate of change of temperature with respect to time, etc — calculus turned out to be the most powerful tool in all of mathematics, and science, and engineering. (You can find out more about calculus in Making the grade and Making the grade, part II.

Take risks

Not all questions turn out to have interesting answers. Mathematicians simply have to accept the risk that a question they choose to work on may not be solved in their life time (see Fermat's last theorem above), or that it may turn out to have a boring answer. It's all part of the creative process.


A simple map coloured with four colours.

A famous example of the latter — a boring answer after a lot of work — is the four colour theorem, which says that four colours are enough to colour a map drawn on the plane so that no two neighbouring countries have the same colour (find out more here). The proof of this theorem, when it finally came in the 1970s after mathematicians had been wrestling with the theorem for over a century, was disappointing. It used a brute force approach involving a computer checking through a huge number of possibilities, making sure they did not provide a counter example to the theorem. The approach delivered no new insights at all.

But mathematicians don't like giving up. Just like a cat keeps toying with a mouse, so mathematicians often keep toying with a problem if they don't like the answer that has already been found. They turn it this way and that, looking at it in different light and from different angles. Often it's a new question, a new way of phrasing the problem, that leads to a satisfying answer and new directions in mathematics.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สิ่งที่ทำให้คำถามคณิตศาสตร์ดี ถ้าคุณเป็นนักเรียนหันหน้าไปทางสอบ คุณอาจพูดว่า วิธีที่ดีที่ง่าย (ความเข้าใจ) แต่ถ้าคุณกำลังทำคณิตศาสตร์เพื่อความสนุกสนาน หรือ นักคณิตศาสตร์มืออาชีพ คำตอบของคุณเป็นไปได้ต่าง ๆ คำถามที่กลายเป็นน่าเบื่อ แต่คุณยังไม่ต้องแทะฟันออกในสิ่งที่ไม่สมบูรณ์ได้ Mathematicians ใดเช่นมากที่สุดคือ คำถามที่นำไปสู่ความเข้าใจใหม่ ให้มองที่สิ่ง วิธีการใหม่ หรือชนิดใหม่ทั้งหมดของปัญหาที่ก่อให้เกิด ถามคำถาม "ดี" เป็นส่วนสำคัญของการทำคณิตศาสตร์ แต่ที่ถามดีเหล่านี้มาจากพีทาโกรัส triplesทฤษฎีบทของ Pythagoras รูปภาพ: WapkapletGeneraliseแหล่งหนึ่งเป็น generalisation ตัวอย่างที่ดีนี้เป็นคำถามที่อึ้งกว่า 350 ปีที่ผ่านมา โดยนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส Pierre เดอแฟร์มา และได้รู้จักกันในนามทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา เรารู้จากทฤษฎีบทของ Pythagoras ถ้า $a$, $b$ และ $c$ เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมวาด กับ $a$ และ$ $b ล้อมฉาก แล้ว$ตัว ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $แฟร์มาถามตัวเองเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณทำให้สมการนี้เติม: แทน squaring หมายเลข คุณเลี้ยงมันไว้บางอื่น ๆ อำนาจ $n$ ด้วย $n > 2 ได้$คุณสามารถค้นหาสามบวกเลข $a, $b$ และ$ $c$ เพื่อให้$a ^ n + b ^ n = c ^ n ? $คำถามของแฟร์มาดูเหมือนสวยตรงไป แต่มันใช้เวลา mathematicians กว่า 350 ปีเพื่อพิสูจน์ว่า คำตอบคือไม่ ในการ จะพัฒนาพื้นที่ใหม่ของคณิตศาสตร์ ช่วงใหม่ของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ ในความเป็นจริง มันเปิดออกว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาเป็นกรณีพิเศษของมากกว้าง และลึกปัญหาที่เกี่ยวข้องว่า ส่วนผสมมันมีเล็กน้อยกับคำถามเดิมโค้งทรงเรขาคณิตบางชนิด ของแฟร์มาดังนั้นคำถามง่าย ๆ ให้ประสบอย่างไม่น่าเชื่อ: สร้างใหม่คณิตศาสตร์ ความเข้าใจใหม่ และวิธีใหม่ในการมองสิ่งต่าง ๆ ว่ายาก mathematicians มากจะพิจารณานี้เป็นคำถามที่ "ดี" (คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับของแฟร์มาทฤษฎีบทสุดท้ายที่นี่)ลดความซับซ้อน และแตกต่างกันคำถามก็ว่าถ้ามันมีมากมายห้องพักสำหรับการเปลี่ยนแปลง คุณแล้วเริ่มต้นกับตัวแปรที่ง่ายที่สุด และดูถ้าคุณสามารถดำเนินต่อจาก หวังว่า สิ่งที่น่าสนใจจะมาพร้อมกับคุณแกลเลอรีรักษาหลายวิธีที่คุณต้องคุมเก็บกับชั้นนี้ตัวอย่างที่ดีเป็นปัญหาแกลเลอรี่ศิลปะ: การรักษาความปลอดภัยคุณต้องแน่ใจว่า กันพวกเขาสามารถดูแลภายในทั้งหมดของอาร์ตแกลเลอรี่คำถามนี้จะเชิญเนื่องจากคุณได้อย่างง่ายดายสามารถวาดภาพแผนผังของแกลเลอรี่และเจ้าหน้าที่ที่ประจำอยู่ภายใน จะเริ่มต้นด้วย คุณอาจจะคิดว่า ของศิลป์ที่มีรูปร่างค่อนข้างง่าย คำตอบแรก กำหนดให้อธิบดีทำงานห้าปีหลังจากที่เกิดปัญหา แกลเลอรี่ชั้นมีรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย: รูปที่ล้อมรอบ ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ข้าม เจ้าหน้าที่ถูกวางในมุมของรูปหลายเหลี่ยม และไม่ได้รับอนุญาตเพื่อย้ายไปรอบ ๆ โดยใช้สายแยบยลของการโจมตี นักคณิตศาสตร์ที่ S. Fisk พิสูจน์ว่า อย่าเพิ่มเติมว่าเจ้าหน้าที่ n/3 โดยที่ n คือ จำนวนของจุดยอดที่ (มุม) ของรูปหลายเหลี่ยม (ดูบทความนี้สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม)ตอนนี้มีอยู่หลายวิธีที่ทำให้ปัญหาหนักขึ้น ถ้ายามมีไม่จำกัดไปมุมของเก็บของหรือไม่ ถ้าพวกเขาได้รับอนุญาตให้ย้ายหรือไม่ ถ้ามีอุปสรรคกลางแกลเลอรีที่คุณไม่สามารถดูผ่านหรือไม่ หรือผนังเป็นโค้ง และถ้า แทนที่จะรักษารูปหลายเหลี่ยมสองมิติ คุณกำลังปกป้องทรงหลายหน้าสามมิติ คุณสามารถยังพิจารณาติดตั้งที่แตกต่างกัน ไม่มองเจ้าหน้าที่ภายในแกลเลอรี่ แต่ยามอยู่นอกคุกรักษากำแพง Mathematicians พบคำตอบของคำถามเหล่านี้ (ดูที่นี่), แม้ว่าหลักฐานบางอย่างได้เปิดออกจะค่อนข้างยาก แต่พวกเขายังได้ทำงานอื่น สามสิบปีบน ปัญหายังคงเป็นไปค้นหาเครื่องมือใหม่นิวตันและ LeibnizGottfried Leibniz (ซ้าย) และไอแซคนิวตัน (ขวา)นอกจากนี้ยังมีคำถามที่ถูกถาม ไม่ โดยบุคคล แต่ ตาม อายุทั้ง ร้องไห้ออกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ใหม่ คำตอบของพวกเขาสามารถวางไข่ที่สำคัญของการปฏิวัติ ตัวอย่างที่ดีเป็นการประดิษฐ์ของแคลคูลัสในศตวรรษ seventeenth คำถามแล้วถูก "วิธีสามารถเราอธิบายการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง" หรือไม่ ตัวอย่าง (สมัยใหม่) คือ ความเร็วของรถ ซึ่งง่ายต่อการทำงานจากความเร็วเฉลี่ยเดินทางในระหว่างการเดินทางรถยนต์: ความเร็วคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อเวลา เพื่อให้คุณแบ่งระยะห่างเพียง คุณเดินทาง ด้วยเวลาที่ใช้ในการเดินทางก็ แต่แน่นอน คุณไม่ได้เดินทางที่ความเร็วเฉลี่ยในทุกช่วงเวลาของการเดินทาง ในบางครั้งคุณจะได้รับจะช้าลง และ ในบางครั้งได้เร็วขึ้น ความเร็วที่แตกต่างกันไปอย่างต่อเนื่อง การทำงานจากความเร็วที่แน่นอนในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ ในเวลา คุณต้องคำนวณอัตรากำลังของการเปลี่ยนแปลงของระยะทางกับเวลาวิธีการทำเช่นนี้ถูกคิดค้น โดย Gottfried Leibniz และไอแซคนิวตัน หลักแม้ว่าคนอื่น ๆ ทำงานในปัญหามากเกินไป และเนื่อง จากราคาเปลี่ยนแปลงพืชทั่วตัวเร่งคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วกับเวลา เจริญเติบโตอัตราการเปลี่ยนแปลงของขนาดกับเวลา การทำความเย็น หรือร้อน อัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิกับเวลา ฯลฯ — กลายเป็นเครื่องมือมีประสิทธิภาพที่สุดในคณิตศาสตร์แคลคูลัสและวิทยาศาสตร์ และวิศวกรรม (คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับแคลคูลัสทำให้เกรด และทำเกรด ส่วนที่สองมีความเสี่ยงเปิดออกไม่ทุกคำถามมีคำตอบที่น่าสนใจ Mathematicians ก็จะต้องยอมรับความเสี่ยงที่ไม่อาจเป็นคำถามที่พวกเขาเลือกที่จะทำงาน แก้ไขในเวลาชีวิต (ดูของแฟร์มาทฤษฎีบทสุดท้ายข้างต้น), หรือว่า มันอาจเปิดออกจะมีคำตอบที่น่าเบื่อ มันเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการสร้างสรรค์แผนที่ง่ายสี มี 4 สีตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของหลัง — คำตอบที่น่าเบื่อจากการทำงานมาก — เป็นสี่สีทฤษฎีบท ซึ่งกล่าวว่า สี่สีพอสีแผนที่วาดบนเครื่องบินเพื่อให้ประเทศทั้งสองไม่มีสีเดียวกัน (ค้นหาเพิ่มเติมที่นี่) การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เมื่อสุดท้ายมาในทศวรรษ 1970 หลังจาก mathematicians มีมวยปล้ำกับทฤษฎีบทในกว่าศตวรรษ ย่อมได้ มันใช้วิธีแรงเดรัจฉานที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์ตรวจสอบผ่านไป ทำให้แน่ใจว่า พวกเขาไม่ได้ให้ตัวอย่างทฤษฎีบทนับจำนวนขนาดใหญ่ วิธีการส่งข้อมูลเชิงลึกไม่ใหม่เลยแต่ mathematicians ไม่ท้อถอย เหมือนแมวช่วย toying ด้วยเมาส์ ดังนั้น mathematicians มักให้ toying ปัญหาถ้าพวกเขาไม่ต้องการคำตอบที่ได้พบกัน พวกเขาเปิดด้วยวิธีนี้และที่ มองที่แสงแตกต่างกัน และ จากมุมที่แตกต่าง มักเป็นคำถามใหม่ แบบใหม่ของพระสิงห์ปัญหา ให้คำตอบความพึงพอใจและทิศทางใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สิ่งที่ทำให้คำถามดังดีหรือไม่? ถ้าคุณเป็นนักเรียนที่หันหน้าไปสอบคุณอาจ (เข้าใจ) กล่าวว่าที่ดีหมายถึงง่าย แต่ถ้าคุณทำคณิตศาสตร์เพื่อความสนุกสนานหรือคณิตศาสตร์มืออาชีพ, คำตอบของคุณเป็นไปได้ที่แตกต่างกัน คำถามง่ายเป็นที่น่าเบื่อ แต่คุณยังไม่ต้องการที่จะแทะฟันของคุณออกไปในสิ่งที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างสมบูรณ์ สิ่งที่นักคณิตศาสตร์เช่นส่วนใหญ่เป็นคำถามที่นำไปสู่ความเข้าใจใหม่ ๆ เพื่อให้วิธีการใหม่ ๆ ในการมองสิ่งต่าง ๆ หรือก่อให้เกิดรูปแบบใหม่อย่างสมบูรณ์ของปัญหา ถามคำถามที่ "ดี" เป็นส่วนหนึ่งที่สำคัญของการทำคณิตศาสตร์ แต่ที่ทำคำถามเหล่านี้ดีมาจากไหน? อเนกประสงค์ทาโกทฤษฎีบทพีทาโกรัส ภาพ:. Wapkaplet Generalise แหล่งหนึ่งคือลักษณะทั่วไป ตัวอย่างที่ดีของนี้เป็นคำถามที่เกิดในช่วง 350 ปีที่ผ่านมาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์เดอแฟร์มาต์และได้กลายเป็นที่รู้จักในฐานะทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในฐานะที่เรารู้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส 'ถ้า $ $ $ B $ และ $ c $ เป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกับ $ $ และ $ b $ ล้อมรอบมุมขวาแล้ว$ ^ 2 + B ^ 2 = c ^ 2 $ แฟร์มาต์ถามตัวเองว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณทำสมการนี้ทั่วไปมากขึ้นแทนที่จะ squaring ตัวเลขที่คุณยกพวกเขาบางส่วนพลังงานอื่น ๆ $ n $ กับ $ n> 2. $ คุณสามารถหาทั้งสามบวก ตัวเลข $ $, $ b $ และ $ c $ เพื่อให้$ ^ n + B ^ n = c ^ n? $ คำถามของแฟร์มาต์ดูเหมือนว่าสวยตรงไปตรงมา แต่เอาคณิตศาสตร์กว่า 350 ปีเพื่อพิสูจน์ว่าคำตอบคือ ไม่ ในการที่พวกเขาพัฒนาพื้นที่ใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์; ช่วงใหม่ของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ ในความเป็นจริงมันกลับกลายเป็นว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นกรณีพิเศษของปัญหาที่กว้างมากและลึกที่เกี่ยวข้องกับประเภทเฉพาะของเส้นโค้งรูปทรงเรขาคณิตที่บนใบหน้าของมันมีน้อยจะทำอย่างไรกับคำถามเดิม ดังนั้นคำถามง่ายๆของแฟร์มาต์เปิดออกมาจะมีผลอย่างไม่น่าเชื่อมันสร้างคณิตศาสตร์ใหม่ข้อมูลเชิงลึกใหม่และวิธีการใหม่ในการมองสิ่งต่างๆ แม้ว่าจะยากนักคณิตศาสตร์หลายคนจะเชื่อว่านี่เป็นคำถามที่ "ดี" (คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ที่นี่). ลดความซับซ้อนและแตกต่างกันคำถามคือยังสัญญาว่าถ้ามันมีจำนวนห้องพักสำหรับการเปลี่ยนแปลง จากนั้นคุณจะเริ่มต้นในตัวแปรที่ง่ายและดูว่าคุณสามารถดำเนินการต่อจากที่นั่นหวังว่าสิ่งที่น่าสนใจจะมาพร้อมกับที่คุณทำเช่นนั้น. แกลลอรี่วิธีการหลายยามที่คุณจำเป็นต้องดูแลแกลเลอรี่ที่มีแผนชั้นนี้หรือไม่? ตัวอย่างที่ดีเป็นศิลปะ ปัญหาแกลเลอรี่: วิธีการหลายยามรักษาความปลอดภัยที่คุณจำเป็นต้องให้แน่ใจว่าพวกเขาสามารถร่วมกันดูแลการตกแต่งภายในทั้งหมดของแกลเลอรี่ศิลปะ? คำถามนี้เชิญชวนเพราะคุณสามารถวาดภาพของแผนชั้นของแกลเลอรี่และยามประจำการอยู่ภายใน เริ่มต้นด้วยคุณอาจจะคิดว่าหอศิลป์ที่มีรูปร่างค่อนข้างง่าย คำตอบแรกที่ได้รับในปี 1978 ห้าปีหลังจากที่เกิดปัญหาถูกวาง, ทำงานให้กับแกลเลอรี่ที่มีแผนชั้นมีรูปทรงของรูปหลายเหลี่ยมง่าย: รูปร่างกระโดดจากชิ้นส่วนเส้นตรงที่ไม่ได้ข้าม ยามอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมมุมและไม่ได้รับอนุญาตที่จะย้ายไปรอบ ๆ ใช้สายแยบยลของการโจมตีคณิตศาสตร์ S. ปลาพิสูจน์ให้เห็นว่าคุณไม่จำเป็นต้องมากขึ้นว่า n / 3 ยามที่ n คือจำนวนของจุด (มุม) ของรูปหลายเหลี่ยม (ดูบทความนี้มานาน.) ขณะนี้มีหลายวิธีที่จะทำให้ปัญหาหนักขึ้น เกิดอะไรขึ้นถ้ายามไม่ จำกัด ไปยังมุมของแกลเลอรี่? เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกเขาได้รับอนุญาตให้ย้ายรอบ? เกิดอะไรขึ้นถ้ามีอุปสรรคในช่วงกลางของแกลเลอรี่ที่คุณไม่สามารถมองเห็นผ่าน? หรือผนังโค้ง? และสิ่งที่ถ้าแทนที่จะปกป้องรูปหลายเหลี่ยมสองมิติที่คุณกำลังพยายามที่จะรักษารูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติ? นอกจากนี้คุณยังสามารถพิจารณาการตั้งค่าที่แตกต่างกันไม่ได้มองที่ยามภายในแกลลอรี่ แต่ยามที่อยู่นอกคุกปกป้องผนัง คณิตศาสตร์ได้พบคำตอบของคำถามเหล่านี้ (ดูที่นี่) แต่พิสูจน์บางส่วนได้เปิดออกมาจะค่อนข้างยาก แต่พวกเขายังคงทำงานกับคนอื่น ๆ สามสิบปีที่ผ่านมาปัญหาที่เกิดขึ้นยังคงเป็นไป. มองหาเครื่องมือใหม่นิวตันและไลบ์นิซGottfried Leibniz (ซ้าย) และไอแซกนิวตัน (ขวา). นอกจากนี้ยังมีคำถามที่ถูกถามไม่ได้โดยบุคคล แต่อายุทั้งร้องไห้ออกมา สำหรับเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ใหม่ คำตอบของพวกเขาสามารถวางไข่บางสิ่งบางอย่างของการปฏิวัติ ตัวอย่างที่ดีเป็นสิ่งประดิษฐ์ของแคลคูลัสในศตวรรษที่สิบเจ็ด คำถามก็คือ "วิธีการที่เราสามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง"? (ปัจจุบัน) ตัวอย่างคือความเร็วของรถ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำงานออกความเร็วเฉลี่ยที่คุณเดินทางในระหว่างการเดินทางรถ: ความเร็วอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อเวลาเพื่อให้คุณเพียงแค่แบ่งระยะทางที่คุณเดินทางตามเวลาที่มันต้องใช้เวลาในการเดินทางมัน แต่แน่นอนคุณไม่ได้เดินทางที่ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาของการเดินทางของคุณทุก ในบางครั้งคุณจะได้รับจะช้าลงและบางครั้งได้เร็วขึ้นด้วยความเร็วที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง ในการทำงานจากความเร็วที่แน่นอนของคุณในช่วงเวลาโดยเฉพาะอย่างยิ่งในเวลาที่คุณมีในการคำนวณอัตราที่รวดเร็วของการเปลี่ยนแปลงของระยะทางที่เกี่ยวกับเวลา. วิธีการทำเช่นนี้ถูกคิดค้นหลักโดย Gottfried Leibniz และ Isaac Newton แม้ว่าจะมีหลายคนอื่น ๆ ที่ทำงานใน ปัญหาเกินไป และเนื่องจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของพืชขึ้นทั่วทุกสถานที่ - เร่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วที่เกี่ยวกับเวลาการเจริญเติบโตเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของขนาดที่เกี่ยวกับเวลาเย็นหรือร้อนเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิด้วยความเคารพ เวลา ฯลฯ - แคลคูลัสจะกลายเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในทั้งหมดของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม (คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับแคลคูลัสในการทำคะแนนและทำคะแนนส่วนครั้งที่สอง. จะรับความเสี่ยงไม่ได้ทุกคำถามเปิดออกเพื่อมีคำตอบที่น่าสนใจ. คณิตศาสตร์ก็ต้องยอมรับความเสี่ยงว่าคำถามที่พวกเขาเลือกที่จะทำงานในที่อาจจะไม่ได้ แก้ไขได้ในเวลาที่ชีวิตของพวกเขา (ดูทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ด้านบน) หรือว่ามันจะเปิดออกเพื่อมีคำตอบที่น่าเบื่อเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการสร้างสรรค์ทั้งหมด.. แผนที่ง่ายสีที่มีสี่สี. ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของหลัง - น่าเบื่อ คำตอบหลังจากที่ทำงานมาก - เป็นทฤษฎีบทสี่สีซึ่งบอกว่าสี่สีที่มีมากพอที่จะสีแผนที่วาดบนเครื่องบินเพื่อให้ไม่มีสองประเทศเพื่อนบ้านมีสีเดียวกัน (หาข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่นี่) พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้. เมื่อในที่สุดมันก็มาในปี 1970 หลังจากที่นักคณิตศาสตร์ที่ได้รับการต่อสู้กับทฤษฎีบทมานานกว่าศตวรรษที่เป็นที่น่าผิดหวัง. มันใช้วิธีการบังคับเดรัจฉานที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์ผ่านการตรวจสอบเป็นจำนวนมากเป็นไปได้ทำให้แน่ใจว่าพวกเขาไม่ได้ให้ตัวอย่างเคาน์เตอร์ ทฤษฎีบท วิธีการจัดส่งไม่มีข้อมูลเชิงลึกใหม่ที่ทุกคน. แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบให้ขึ้น เช่นเดียวกับแมวช่วย toying กับเมาส์เพื่อให้นักคณิตศาสตร์มักจะเก็บ toying กับปัญหาหากพวกเขาไม่ชอบคำตอบที่ได้รับแล้วพบว่า พวกเขาเปิดและวิธีที่ว่านี้กำลังมองหาที่มันอยู่ในแสงไฟที่แตกต่างกันและจากมุมที่แตกต่างกัน บ่อยครั้งที่มันเป็นคำถามใหม่วิธีใหม่ของการใช้ถ้อยคำปัญหาที่นำไปสู่คำตอบที่น่าพอใจและทิศทางใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อะไรทำให้เป็นคำถามที่ดี ถ้าคุณเป็นนักเรียนคุณอาจเผชิญกับการสอบ ( เข้าใจ ) ว่าดีหมายความว่าง่าย แต่ถ้าคุณทำคณิตศาสตร์เพื่อความสนุกสนาน หรือนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ คำตอบของคุณจะแตกต่างกัน คำถามง่ายๆ น่าเบื่อจะตาย แต่เธอยังไม่อยากแทะฟันของคุณออกจากสิ่งที่จะสมบูรณ์ไม่สามารถเข้าถึงได้สิ่งที่นักคณิตศาสตร์ชอบส่วนใหญ่เป็นคำถามที่นำไปสู่ข้อมูลใหม่ วิธีใหม่มองสิ่ง หรือท่าใหม่ทั้งหมด ชนิดของปัญหา ถามว่า " คำถามที่ดี " เป็นส่วนที่สำคัญของการทำคณิตศาสตร์ ว่าแต่ คำถามที่ดีเหล่านี้มาจากไหน

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส
พีทาโกรัสทฤษฎีบท ภาพ : wapkaplet .



แหล่งหนึ่งคือ generalisation กล่าวสรุป .ตัวอย่างที่ดีของนี้เป็นคำถามที่ posed กว่า 350 ปี โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ , และได้กลายเป็นที่รู้จักกันเป็นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ . ตามที่เราทราบจากพระเมาลี ถ้า $ A $ , $ B $ และ $ C $ เป็นด้านของสามเหลี่ยมที่มีมุมขวา , ด้วย $ $ และ $ b $ ล้อมมุมขวาแล้ว

$
2 b
2 = c
2 $

ถามตัวเองสิ่งที่แฟร์มาต์เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณสร้างสมการทั่วไปมากขึ้น :แทนตัวเลขยกกำลังสอง ยกระดับให้บางอื่น ๆ $ $ $ ด้วยพลัง N > 2 . $ คุณสามารถหาทั้งสามตัวเลขบวก $ $ $ B $ และ $ C $ ดังนั้น

$
N B
n = c
n ? $

Fermat คำถามดูเหมือนจะสวยตรงไปข้างหน้า แต่มันเอานักคณิตศาสตร์กว่า 350 ปี เพื่อพิสูจน์ว่า คำตอบคือ ไม่ ในกระบวนการที่พวกเขาพัฒนาพื้นที่ใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ ช่วงใหม่ของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในความเป็นจริง กลับกลายเป็นว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นกรณีพิเศษของ กว้าง และลึกมาก ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับประเภทเฉพาะของเส้นโค้งรูปทรงเรขาคณิตที่บนใบหน้าของมันได้น้อยจะทำอย่างไรกับปัญหาเดิม ดังนั้น คำถามง่ายๆ ของแฟร์มาต์กลับกลายเป็นชิ้นอันจะสร้างคณิตศาสตร์ใหม่ มุมมองใหม่และวิธีการใหม่ของการค้นหาสิ่งที่ แม้ยากนักคณิตศาสตร์หลายคนจะพิจารณานี้เป็นคำถามที่ดี " ( คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาค่ะ )

ลดความซับซ้อนและแตกต่างกัน

คำถามยังสัญญาว่าหากมันมีจำนวนมากของห้องเพื่อกระจาย คุณเริ่มบนตัวแปรที่ง่ายที่สุดและดูว่าคุณสามารถดำเนินการต่อจากที่นั่น หวังว่า สิ่งที่น่าสนใจจะตามมาอย่างที่คุณทำ แกลลอรี่

กี่ยามคุณต้องดูแลหอศิลป์กับแผนชั้นนี้

ตัวอย่างที่ดีคือหอศิลป์ปัญหา : วิธีการหลายการรักษาความปลอดภัยที่คุณต้องการให้แน่ใจว่าพวกเขาสามารถดูแลการตกแต่งภายในทั้งหมดของแกลเลอรี่ศิลปะ

คำถามนี้เชิญเพราะคุณสามารถวาดภาพแผนผังของแกลเลอรี่และองครักษ์ประจำอยู่ภายใน เริ่มต้นด้วยคุณอาจจะคิดว่าของหอศิลป์ที่มีรูปร่างที่ค่อนข้างง่าย คำตอบแรก ให้อธิบดี ห้าปีหลังจากที่ปัญหาได้ถูกวางงานแกลลอรี่ที่มีแผนชั้นมีรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย : รูปร่างสิ้นสุดโดยตรงบรรทัดชิ้นที่ไม่ข้าม ยามที่ถูกวางไว้ในมุมของรูปหลายเหลี่ยม และไม่ได้รับอนุญาตให้ย้ายไปรอบ ๆ ใช้สายที่แยบยลของการโจมตีนักคณิตศาสตร์ . ฟิกส์พิสูจน์ว่าเธอไม่ได้ต้องการเพิ่มเติมที่ N / 3 ยามเมื่อ n คือจำนวนของจุดยอด ( มุม ) ของรูปหลายเหลี่ยม ( ดูบทความนี้สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม )

แล้วมีหลายวิธีที่ทำให้ยาก ปัญหา ถ้าทหารไม่คับมุมแกลอรี่ ถ้าพวกเขาจะได้รับอนุญาตที่จะย้ายไปรอบ ๆถ้าเกิดมีอุปสรรคในกลางของแกลเลอรีที่คุณไม่สามารถมองเห็นผ่าน หรือกำแพงโค้ง ? แล้วถ้า แทนที่จะปกป้องรูปหลายเหลี่ยมสองมิติ , คุณกำลังพยายามที่จะรักษาทรงหลายหน้าสามมิติ ? นอกจากนี้คุณยังสามารถพิจารณาการตั้งค่าที่แตกต่างกัน ไม่ใช่มองยามภายในแกลลอรี่ แต่ยามเฝ้านอกคุก ผนังของนักคณิตศาสตร์ได้พบคำตอบของคำถามเหล่านี้ ( ดูที่นี่ ) , แต่บางหลักฐานก็เปิดออกจะค่อนข้างยาก แต่พวกเขายังคงทำงานให้กับคนอื่น สามสิบปี ปัญหายัง

หาเครื่องมือใหม่

นิวตันและไลบ์นิซ
กอทท์ฟรีดไลบ์นิซ ( ซ้าย ) และ ไอแซค นิวตัน ( ขวา )

ยังมีคำถามที่ถูกถามโดยบุคคล แต่ด้วยอายุทั้งหมดร้องไห้ออกมาสำหรับเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ใหม่ คำตอบของพวกเขาสามารถวางไข่บางอย่างของการปฏิวัติ ตัวอย่างที่ดีคือการประดิษฐ์แคลคูลัสในศตวรรษที่ 17 คำถามนั้นคือ " วิธีที่เราสามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง " ? ( สมัยใหม่ ) ตัวอย่างคือ ความเร็วของรถ มันง่ายที่จะทำงานออกคุณเดินทางที่ความเร็วเฉลี่ยในการเดินทาง รถความเร็วคืออัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อหน่วยเวลาดังนั้นคุณเพียงแค่แบ่งระยะทางที่คุณเดินทางโดยรถไฟใช้เวลาเดินทางค่ะ แต่แน่นอนคุณไม่ได้เดินทางที่ความเร็วเฉลี่ยที่ทุกช่วงเวลาของการเดินทางของคุณ ในบางครั้งคุณจะได้รับจะช้าลง และในบางครั้งได้เร็วขึ้นด้วยความเร็วที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง ทำงานที่ความเร็วที่แน่นอนของคุณในขณะนี้โดยเฉพาะในเวลาคุณต้องคำนวณอัตราการตรวจจับของเปลี่ยนระยะทางเทียบกับเวลา

วิธีการทำนี้ถูกคิดค้นเป็นหลักโดยวอลต์ดิสนีย์เวิลด์รีสอร์ต และ ไอแซค นิวตัน , แม้ว่า คน อื่น ๆทำงานในปัญหาที่เกิดขึ้นด้วย และเนื่องจากอัตราของการเปลี่ยนแปลงพืชที่ขึ้นได้ทั่วทุกสถานที่ - ความเร่ง คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วที่เกี่ยวกับเวลาการเจริญเติบโต อัตราการเปลี่ยนขนาดเทียบกับเวลาเย็นหรือร้อน คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิเทียบกับเวลา ฯลฯ - แคลคูลัส กลับกลายเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในทั้งหมดของคณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ และวิศวกรรม ( คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับแคลคูลัส ในการทำเกรดให้เกรด ส่วนที่ 2


รับความเสี่ยงคำถามทั้งหมดออกมาได้คำตอบที่น่าสนใจ นักคณิตศาสตร์ก็ต้องรับความเสี่ยงว่า คำถามที่พวกเขาเลือกที่จะทำงานไม่อาจจะแก้ไขได้ในเวลาชีวิตของพวกเขา ( ดูทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ข้างต้น ) , หรือมันอาจจะเปิดออกเพื่อจะเป็นคำตอบที่น่าเบื่อ มันเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการความคิดสร้างสรรค์ แผนที่ง่าย



สีด้วยสี่สีตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของหลัง - น่าเบื่อตอบหลังจากงานมาก - เป็นสี่สีทฤษฎีบทซึ่งกล่าวว่าสี่สีพอสีแผนที่ที่วาดบนเครื่องบินเพื่อให้สองประเทศเพื่อนบ้านที่มีสีเดียวกัน ( ดูเพิ่มเติมที่นี่ ) ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ เมื่อมันมาถึงในปี 1970 หลังจากที่นักคณิตศาสตร์ได้ต่อสู้กับทฤษฎีบทสำหรับกว่าศตวรรษมันน่าผิดหวังจริงๆ มันใช้เดียรัจฉานบังคับวิธีการที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์ตรวจสอบผ่านจำนวนมากของความเป็นไปได้ ทำให้แน่ใจว่า พวกเขาไม่ได้ให้เคาน์เตอร์ตัวอย่างกับทฤษฎีบท วิธีการจัดส่ง ไม่มีข้อมูลเชิงลึกใหม่เลย

แต่นักคณิตศาสตร์ ไม่ชอบยอมแพ้ เหมือนแมวคอยเล่นกับหนูดังนั้นนักคณิตศาสตร์มักจะให้เล่นกับปัญหา ถ้าพวกเขาไม่ชอบคำตอบที่ได้ถูกค้นพบ พวกเขาปิดมันด้วยวิธีนี้และมองมันต่างกัน แสงจากมุมที่แตกต่างกัน มักจะเป็นคำถามใหม่เป็นวิธีใหม่ของการใช้คำ ปัญหา ที่จะนำไปสู่คำตอบที่น่าพอใจและทิศทางใหม่ในคณิตศาสตร์