EULERS CONTRIBUTION TO NUMBER THEOR

EULERS CONTRIBUTION TO NUMBER THEORY 453
Euler's contribution to number theory
PETER SHIU
1. Introduction
Individuals who excel in mathematics have always enjoyed a well
deserved high reputation. Nevertheless, a few hundred years back, as an
honourable occupation with means to social advancement, such an individual
would need a patron in order to sustain the creative activities over a long
period. Leonhard Euler (1707-1783) had the fortune of being supported
successively by Peter the Great (1672-1725), Frederich the Great (1712-
1786) and the Great Empress Catherine (1729-1791), enabling him to
become the leading mathematician who dominated much of the eighteenth
century. In this note celebrating his tercentenary, I shall mention his work in
number theory which extended over some fiftyears. Although it makes up
only a small part of his immense scientific output (it occupies only four
volumes out of more than seventy of his complete work) it is mostly through
his research in number theory that he will be remembered as a
mathematician, and it is clear that arithmetic gave him the most satisfaction
and also much frustration. Gazette readers will be familiar with many of his
results which are very well explained in H. Davenport's famous text [1], and
those who want to know more about the historic background, together with
the rest of the subject matter itself, should consult A. Weil's definitive
scholarly work [2], on which much of what I write is based. Some of the
topics being mentioned here are also set out in Euler's own Introductio in
analysin infinitorum (1748), which has now been translated into English [3].
Number theory, as a branch of mathematics concerned with the
properties of whole numbers, can be said to date from the discoveries of
Fermât (1601-1665). There is little doubt that he had proofs for many of the
results discovered by him, but he did not publish them and was content with
private communications with other interested scientists. It was thus left to
Euler to set out the proofs for the mathematical community, and it will not
be out of place here to quote G. H. Hardy: 'In number theory, proof is
everything!' Euler took up Fermat's writing in 1730 and found many
interesting statements concerning primes and sums of squares. As Weil [2]
put it, 'He had discovered a topic which was to haunt him all his life.'
Besides admiration from Lagrange (1736-1813) and Goldbach (1690-1764),
there was not much enthusiasm for Euler's research in arithmetic among
fellow scientists. Even his old friend Daniel Bernoulli (1700-1782)
sometimes spoke disparagingly about such work - for example, when
replying to a letter from Nicolas Fuss (1755-1826) reporting on what Euler
had discovered, his less than enthusiastic reply might be paraphrased as 'So
what! Why does the great man pay so much attention to prime numbers?
Personally I value more your research into the strength of beams.'
In the following I shall, of course, make use of the congruence notation
introduced by Gauss (1777-1855). However, readers should remember that
This content downloaded from 110.164.170.1 on Sun, 17 May 2015 14:46:15 UTC
All use subject to JSTOR Terms and Conditions
454 THE MATHEMATICAL GAZETTE
this vital tool, which not only simplifies the arithmetic involved but also
leads at once to the abstract notion of congruence classes, was not available
to Euler. Again even the useful Legendre symbol for the quadratic character
of a number, which would have simplified and perhaps enhanced much of
his work, was introduced only towards the end of the period concerned.
Incidentally, on the notion of congruence classes, Davenport [1] wrote The
fact that there are only a finite number of essentially different numbers in
arithmetic to a modulus m means that there are algebraic relations which are
satisfied by every number in that arithmetic. There is nothing analogous to
these relations in ordinary arithmetic' and Weil [2] wrote 'Noteworthy is
Euler's increasing awareness that in such matters he is dealing, not with
individual integers, but with what we would call congruence classes.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ส่วน EULERS ทำให้ทฤษฎีจำนวน 453เงินสมทบของออยเลอร์ทฤษฎีจำนวนปีเตอร์ SHIU1. บทนำผู้ใช้ excel ในคณิตศาสตร์มีความสุขดีเสมอสมควรได้รับชื่อเสียงสูง อย่างไรก็ตาม ไม่กี่ร้อยปีหลัง เป็นการยกย่องอาชีพ ด้วยวิธีดังกล่าวบุคคล ความก้าวหน้าทางสังคมต้องการสมาชิกเพื่อรักษากิจกรรมที่สร้างสรรค์กว่ายาวรอบระยะเวลา ฟอร์จูนของสนับสนุนมี Leonhard ออยเลอร์ (1707-1783)ติด ๆ กัน โดยปีเตอร์มหาราช (1672 จน-1725), Frederich มหาราช (1712-1786) และดีจักรพรรดินีแคทเธอรี (1729-ค.ศ. 1791), เปิดใช้งานเขาเป็น นักคณิตศาสตร์ชั้นนำที่ครอบงำมากที่ราชเซ็นจูรี่ ในบันทึกนี้ฉลอง tercentenary ของเขา ฉันจะพูดถึงงานของเขาทฤษฎีจำนวนที่ขยายผ่านบาง fiftyears ถึงแม้ว่ามันทำให้ค่าเพียงส่วนเล็ก ๆ ของผลผลิตทางวิทยาศาสตร์ของเขาใหญ่ (จะใช้เพียงสี่ไดรฟ์ข้อมูลจากกว่า seventy ของงานของเขาเสร็จสมบูรณ์) ก็ถือเป็นส่วนใหญ่เขาวิจัยในทฤษฎีจำนวนที่เขาจะจดจำเป็นการนักคณิตศาสตร์ และมันเป็นที่ชัดเจนว่า เลขคณิตให้เขาพึงพอใจมากที่สุดและยังแห้วมาก อ่านประกาศจะคุ้นเคยกับเขามากผลลัพธ์ที่ดีได้อธิบายในข้อความมีชื่อเสียงของดาเวนพอร์ท H. [1], และผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นหลังทางประวัติศาสตร์ กันส่วนเหลือของเรื่องเอง ควรปรึกษาทั่วไปของ A. Weilscholarly งาน [2], มากสิ่งที่ผมเขียนจะขึ้นอยู่ บางหัวข้อที่กำลังกล่าวถึงนี่ยังกำหนดใน Introductio ของออยเลอร์ในanalysin infinitorum (1748), ซึ่งขณะนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษ [3]หมายเลขทฤษฎี เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคุณสมบัติของจำนวนเต็ม สามารถกล่าววันที่จากการค้นพบของFermât (1601-1665) มีข้อสงสัยเล็กน้อยที่เขามีหลักฐานมากมายผลการค้นพบ โดยเขา แต่เขาไม่ได้เผยแพร่ไป และมีเนื้อหาด้วยส่วนการสื่อสารกับนักวิทยาศาสตร์อื่น ๆ สนใจ มันจึงถูกทิ้งให้ออยเลอร์การกำหนดหลักฐานสำหรับชุมชนคณิตศาสตร์ และจะไม่ไม่อยู่นี่เพื่อเสนอ G. H. Hardy: ' ในทฤษฎีจำนวน เป็นหลักฐานทุกอย่าง!' เอาค่าของแฟร์มาเขียนใน 1730 ออยเลอร์ และพบมากคำสั่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับโรงแรมไพรม์และผลรวมของช่องสี่เหลี่ยม เป็น Weil [2]ใส่ 'เขาพบหัวข้อที่ถูกหลอกหลอนเขาตลอดชีวิตของเขา'นอกเหนือจากการชื่นชมจากโรงแรมลากรองจ์ (ค.ศ. 1736-1813) และโกลด์บาค (1690-1764),ไม่มีความกระตือรือร้นมากในงานวิจัยของออยเลอร์ในเลขคณิตระหว่างนักวิทยาศาสตร์เพื่อน แม้แต่เพื่อนของเขาเก่า Daniel Bernoulli (1700-1782)บางครั้งพูดหยามเกี่ยวกับเช่นทำงาน - ตัวอย่าง เมื่อตอบกลับจดหมายจาก Nicolas ยุ่งยาก (1755-1826) รายงานว่า ออยเลอร์ค้นพบ เขาน้อยกว่าอาจ paraphrased ตอบกระตือรือร้นเป็น ' ดังนั้นอะไรนะ! ทำไมไม่คนดีสนใจมากเฉพาะหมายเลขหรือไม่ตัวผมค่ามากการวิจัยเป็นความแข็งแรงของคาน 'ในต่อไปนี้ฉันจะ แน่นอน ทำให้ใช้เครื่องหมายที่ลงตัวแนะนำ โดยเกาส์ (1777-1855) อย่างไรก็ตาม ผู้อ่านควรจำไว้ว่าเนื้อหานี้ดาวน์โหลดจาก 110.164.170.1 เมื่ออาทิตย์ 17 2015 พฤษภาคม 14:46:15 UTCใช้ทั้งหมดภายใต้เงื่อนไข JSTOR454 คณิตศาสตร์ประกาศสำคัญเครื่องมือนี้ ซึ่งไม่เพียงแต่ ช่วยให้ง่ายเลขคณิตเกี่ยวข้องแต่ยังนำไปสู่แนวคิดนามธรรมของคลาสที่ลงตัว ในเวลาเดียวกันไม่มีกับออยเลอร์ อีกแม้ประโยชน์เลอฌ็องดร์สัญลักษณ์อักขระกำลังสองจำนวน ซึ่งจะมีภาษา และอาจจะเพิ่มขึ้นมากงานของเขา ถูกนำไปยังจุดสิ้นสุดของรอบระยะเวลาเกี่ยวข้องเท่านั้นบังเอิญ ในความคิดของชั้นเรียนลงตัว ดาเวนพอร์ท [1] เขียนความจริงที่ว่ามีเพียงจำนวนจำกัดเลขในหลักต่าง ๆเลขคณิตไปยังโมดูลัส m หมายความ ว่า มีความสัมพันธ์พีชคณิตซึ่งเป็นมีความสุข โดยทุกเลขที่นั่งในชั้นเรียน ไม่มีอะไรที่คล้ายคลึงกับความสัมพันธ์เหล่านี้ในทางคณิตศาสตร์ธรรมดา ' และเขียน Weil [2] ' เป็น Noteworthyออยเลอร์ของเพิ่มความตระหนักว่า ในเช่นเขาเป็นเรื่องซื้อขาย ไม่มีแต่ละจำนวนเต็ม แต่ว่าเราจะโทรเรียนลงตัว

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

EULERS เงินสมทบจำนวน 453 ทฤษฎี
ผลงานออยเลอร์กับทฤษฎีจำนวน
PETER Shiu
1 การแนะนำ
บุคคลที่เก่งในวิชาคณิตศาสตร์มีความสุขเสมอที่ดี
สมควรได้รับชื่อเสียงสูง แต่ไม่กี่ร้อยปีที่ผ่านมาเป็น
อาชีพที่มีเกียรติด้วยวิธีการเพื่อความก้าวหน้าทางสังคมดังกล่าวของแต่ละบุคคล
จะต้องมีพระคุณเพื่อรักษากิจกรรมที่สร้างสรรค์มากกว่ายาว
ระยะเวลา Leonhard ออยเลอร์ (1707-1783) มีโชคลาภจากการสนับสนุน
อย่างต่อเนื่องโดยปีเตอร์มหาราช (1672-1725), Frederich มหาราช (1712-
1786) และมหาจักรพรรดินีแคทเธอรี (1729-1791), ทำให้เขา
กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นนำ ที่โดดเด่นมากที่สิบแปด
ศตวรรษ ในบันทึกนี้ฉลอง tercentenary ของเขาผมจะพูดถึงการทำงานของเขาใน
ทฤษฎีจำนวนที่ยื่นออกไปในช่วง fiftyears บาง แม้ว่ามันจะทำให้ขึ้น
เพียงส่วนเล็ก ๆ ของการส่งออกอันยิ่งใหญ่ทางวิทยาศาสตร์ของเขา (มันมีเพียงสี่
เล่มจากกว่าเจ็ดสิบของการทำงานที่สมบูรณ์ของเขา) เป็นส่วนใหญ่ผ่าน
การวิจัยของเขาในทฤษฎีตัวเลขที่เขาจะถูกจดจำในฐานะ
นักคณิตศาสตร์และมันเป็น ชัดเจนว่าคณิตศาสตร์ทำให้เขาพึงพอใจมากที่สุด
และยังมีความยุ่งยากมาก ผู้อ่านราชกิจจานุเบกษาจะคุ้นเคยกับหลายของ
ผลที่มีการอธิบายอย่างดีในข้อความที่มีชื่อเสียงของเอชดาเวนพอร์ [1] และ
ผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นหลังทางประวัติศาสตร์ร่วมกับ
ส่วนที่เหลือของเรื่องที่ตัวเองควรปรึกษา . ไวล์ที่ชัดเจนของ
งานวิชาการ [2] ซึ่งมากในสิ่งที่ผมเขียนเป็นไปตาม บางส่วนของ
หัวข้อที่ถูกกล่าวถึงในที่นี้จะตั้งยังออกมาในตัวเองออยเลอร์ Introductio ใน
analysin infinitorum (1748) ซึ่งได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษในขณะนี้ [3].
ทฤษฎี Number ซึ่งเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ
คุณสมบัติของตัวเลขทั้งสามารถ กล่าวได้ว่าวันที่จากการค้นพบของ
แฟร์มาต์ (1601-1665) มีข้อสงสัยเล็กน้อยว่าเขามีหลักฐานหลายเป็น
ผลการค้นพบโดยเขา แต่เขาไม่ได้เผยแพร่และเป็นเนื้อหาที่มี
การติดต่อสื่อสารส่วนตัวกับนักวิทยาศาสตร์อื่น ๆ ที่สนใจ มันถูกทิ้งจึง
ออยเลอร์จะกำหนดบทพิสูจน์สำหรับชุมชนทางคณิตศาสตร์และมันจะไม่
ออกจากสถานที่ที่นี่เพื่อพูด GH Hardy: 'ในทฤษฎีจำนวนเป็นหลักฐาน
ทุกอย่าง! ออยเลอร์เอาขึ้นการเขียนของแฟร์มาต์ใน 1730 และพบว่าหลายคน
ที่น่าสนใจเกี่ยวกับงบเฉพาะและผลรวมของสี่เหลี่ยม ในฐานะที่เป็นไวล์ [2]
วาง 'เขาได้ค้นพบหัวข้อซึ่งจะหลอกหลอนเขาตลอดชีวิตของเขา.
นอกจากนี้ยังชื่นชมจากลากรองจ์ (1736-1813) และ Goldbach (1690-1764)
มีไม่กระตือรือร้นมากสำหรับการวิจัยของออยเลอร์ใน คณิตศาสตร์ในหมู่
เพื่อนนักวิทยาศาสตร์ แม้แต่เพื่อนเก่าของเขาแดเนียล Bernoulli (1700-1782)
บางครั้งพูดเหยียบย่ำเกี่ยวกับการทำงานดังกล่าว - ตัวอย่างเช่นเมื่อ
การตอบกลับจดหมายจากนิโคลัสเอะอะ (1755-1826) รายงานเกี่ยวกับสิ่งที่ออยเลอร์
ได้ค้นพบน้อยกว่าตอบกลับความกระตือรือร้นของเขาอาจจะมีการถอดความเป็น ดังนั้น
สิ่งที่! ทำไมคนที่ยิ่งใหญ่ให้ความสนใจมากเพื่อให้ตัวเลขที่สำคัญ?
โดยส่วนตัวผมให้ความสำคัญมากขึ้นวิจัยของคุณเป็นความแข็งแรงของคาน.
ในต่อไปนี้ฉันจะแน่นอนทำให้การใช้สัญกรณ์สอดคล้องกัน
นำโดยเกาส์ (1777-1855) แต่ผู้อ่านควรจำไว้ว่า
เนื้อหานี้ดาวน์โหลดได้จาก 110.164.170.1 on Sun, 17 พฤษภาคม 2015 14:46:15 UTC
เรื่องการใช้งานทั้งหมดจะ JSTOR ข้อตกลงและเงื่อนไข
454 คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา
นี้เครื่องมือที่สำคัญซึ่งไม่เพียง แต่ช่วยลดความยุ่งยากทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง แต่ยัง
นำไปสู่ในครั้งเดียวที่จะคิดนามธรรมของการเรียนสอดคล้องกัน, ไม่สามารถใช้ได้
ในการออยเลอร์ อีกครั้งแม้จะมีประโยชน์สัญลักษณ์ช็สำหรับตัวละครกำลังสอง
ของจำนวนซึ่งจะได้ง่ายและอาจจะเพิ่มขึ้นมากจาก
การทำงานของเขาเป็นที่รู้จักเฉพาะในช่วงสุดท้ายของรอบระยะเวลาบัญชีที่เกี่ยวข้อง.
อนึ่งในความคิดของการเรียนสอดคล้องกัน, ดาเวนพอร์ [1] เขียน
ความจริงที่ว่ามีเพียงจำนวน จำกัด ของตัวเลขหลักที่แตกต่างกันใน
ทางคณิตศาสตร์ในการโมดูลัมหมายความว่ามีความสัมพันธ์กับพีชคณิตซึ่งได้รับ
ความพึงพอใจจากจำนวนทุกที่ในการคำนวณ ไม่มีอะไรที่คล้ายกับเป็น
ความสัมพันธ์เหล่านี้ในการคำนวณสามัญและ Weil [2] เขียน 'สำคัญคือ
การเพิ่มความตระหนักออยเลอร์ว่าในเรื่องดังกล่าวเขาจะจัดการไม่ได้กับ
จำนวนเต็มแต่ละบุคคล แต่กับสิ่งที่เราจะเรียกความสอดคล้องกันในชั้นเรียน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

eulers สนับสนุนทฤษฎีจํานวน 453
) สร้างทฤษฎีจำนวน
ปีเตอร์ชิว
1 บทนำ
บุคคลที่เก่งคณิตศาสตร์มีความสุขเสมอดี
สมควรได้รับชื่อเสียงสูง อย่างไรก็ตาม ไม่กี่ร้อยปี กลับไปเป็นอาชีพมีเกียรติด้วย
หมายถึงความก้าวหน้าทางสังคม เช่นแต่ละ
ต้องการอุปถัมภ์เพื่อสนับสนุนกิจกรรมสร้างสรรค์กว่ายาว
ระยะเวลา เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ( 1707-1783 ) มีโชคลาภได้รับการสนับสนุนอย่างต่อเนื่องโดยปีเตอร์มาก
( 1672-1725 ) frederich มหา ( 1712 -
1 ) และมหาจักรพรรดินีแคทเธอรีน ( 1729-1791 ) ทำให้เขากลายเป็นนัก

ชั้นนำที่โดดเด่นมากของศตวรรษที่สิบแปด

ในบันทึกนี้ ร่วมฉลองครบรอบ 300 ปี ของเขา ผมจะพูดถึงผลงานของเขาใน