whose pivot is situated at the coor

whose pivot is situated at the coordinate ðx0; y0Þ, assuming a rectangular coordinate system. The coordinates of the bob
in a fixed frame of reference are given by ðx; yÞ¼ðx0 þ lsin h; y0 þ l cos hÞ. The equation of momenta of the forces with
respect to the position of the bob is given by
Fxl cos h  Fy lsin h ¼ 0; ð1Þ
where Fx and Fy are the components of the force acting on the pivot. The simple application of Newton
s law gives
m€x ¼ Fx;
m€y ¼ Fy þ mg; ð2Þ
and introducing the coordinates of the bob with respect to the origin into the last equation, we obtain
€x ¼ €x0  l _
h2 sin h þ l€h cos h;
€y ¼ €y0  l _
h2 cos h  l€h sin h: ð3Þ
Now, substituting Eq. (3) into Eq. (2), and then into Eq. (1), we get the following general equation of motion for the
simple pendulum
l€h þ g sin h þ €x0 cos h  €y0 sin h ¼ 0; ð4Þ
where it is assumed that the functions €x0ðtÞ and €y0ðtÞ are known (as a matter of fact they represent the equations of
motion of the supporting point) and the coordinate h is defined, as usual, in the interval p 6 h 6 p. This equation can
be also obtained using Lagrangian methods by simply considering the Lagrange function
L ¼ 1
2
mðx_
2 þ y_
2
Þ þ mgy ¼ 1
2
mðx_
2
0 þ y_
2
0 Þ þ ml _
hðx_ 0 cos h  y_0 sin hÞ þ 1
2
ml2 _
h2 þ mgy0 þ mgl cos h: ð5Þ

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มีสาระสำคัญอยู่ที่ ðx0 ประสานงาน y0Þ สมมติว่าระบบพิกัดเหลี่ยม พิกัดของบ๊อบในกรอบอ้างอิงที่ถาวรได้โดย ðx yÞ¼ðx0 þ lsin h y0 þ l cos hÞ สมการของ momenta ของกองทัพด้วยกับตำแหน่งของบ๊อบถูกกำหนดโดยFxl cos h h lsin ไตร¼ 0 ð1Þที่เอฟเอ็กซ์และไตรเป็นส่วนประกอบของแรงที่กระทำการในสาระสำคัญ การประยุกต์นิวตัน s กฎหมายให้ง่ายm€ ¼ x Fxm€ y ¼ไตรþมก. ð2Þและแนะนำพิกัดของบ๊อบกับจุดเริ่มต้นในรูปของสมการสุดท้าย เราได้รับ€ €x ¼ x 0 l _h2 บาป h þ l€ h cos h€y €¼ y0 l _h2 cos h l€ h บาป h: ð3Þในตอนนี้ แทน Eq. (3) เป็น Eq. (2), และจากนั้น เข้า Eq. (1), เราได้สมการทั่วไปดังต่อไปนี้ของการเคลื่อนไหวในการลูกตุ้มอย่างง่ายl€ ทำบาป g h þþ h €0 x cos h €y0 บาป h ¼ 0 ð4Þซึ่งมีสมมติว่า ฟังก์ชัน €x0ðtÞ และ €y0ðtÞ เป็นที่รู้จัก (เป็นเรื่องของความจริงที่พวกเขาแสดงสมการของการเคลื่อนที่ของจุดสนับสนุน) และ h ประสานงานกำหนด เป็น ปกติ ในช่วง p h 6 p 6 สมการนี้สามารถนอกจากนี้ยังได้ใช้วิธี Lagrangian โดยเพียงพิจารณาฟังก์ชันโรงแรมลากรองจ์L ¼ 12mðx_2 þ y_2Þþ mgy ¼ 12mðx_20 þ y_20 Þþ ml _hðx_ 0 cos h y_0 บาป hÞ þ 12ml2 _โรง mgy0 h2 þþ mgl cos h: ð5Þ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่มีสาระสำคัญตั้งอยู่ที่พิกัดðx0; y0Þสมมติว่าระบบพิกัดฉาก พิกัดของบ๊อบอยู่ในกรอบของการอ้างอิงคงที่จะได้รับจาก DX;
yÞ¼ðx0þ lsin เอช; y0 þลิตร cos HTH
สมการของสักครู่ของกองกำลังที่มีความเคารพในตำแหน่งของบ๊อบที่จะได้รับจาก
Fxl cos ชั่วโมง? Fy lsin ชั่วโมง¼ 0; ð1Þที่ Fx และ Fy เป็นส่วนประกอบของแรงที่กระทำต่อเดือย
?
แอพลิเคชันที่เรียบง่ายของนิวตันของกฎหมายให้ม. x ¼€ Fx;
ม€ Y ¼ Fy þมิลลิกรัม; ð2Þและแนะนำพิกัดของบ๊อบที่เกี่ยวกับการกำเนิดเป็นสมการที่ผ่านมาเราได้รับ€ x ¼€ x0? ลิตร _ h2 บาปชั่วโมงþ€ลิตรเอชเอช cos; € Y ¼ y0 €? ลิตร _ h2 ชั่วโมง cos? €ลิตรเอชเอชบาป: ð3Þตอนนี้แทนสมการ (3) ลงในสมการ (2) และจากนั้นเข้าไปในสมการ (1) เราได้รับต่อไปนี้สมการทั่วไปของการเคลื่อนไหวสำหรับลูกตุ้มง่ายลิตร€ชั่วโมงþกรัมบาปชั่วโมงþ€ x0 cos ชั่วโมง? € y0 บาปชั่วโมง¼ 0; ð4Þที่มันจะสันนิษฐานว่าฟังก์ชั่น€x0ðtÞและ€y0ðtÞเป็นที่รู้จักกัน(เป็นเรื่องของความเป็นจริงพวกเขาเป็นตัวแทนสมการของการเคลื่อนที่ของจุดสนับสนุน) และประสานงานเอชที่กำหนดไว้ตามปกติในช่วงเวลา? พี 6 ชั่วโมง 6 พี สมการนี้สามารถจะยังได้รับการใช้วิธีการลากรองจ์โดยเพียงแค่พิจารณาฟังก์ชัน Lagrange L ¼ 1 2 mðx_ 2 þ Y_ 2 ไทยไทย mGy ¼ 1 2 mðx_ 2 0 þ Y_ 2 0 ไทยไทยมล _ hðx_ 0 cos ชั่วโมง? y_0 บาป HTH þ 1 2 ML2 _ h2 þ mgy0 þ MGL ชั่วโมง cos: ð5Þ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่มีเดือยตั้งอยู่ที่พิกัดð x0 ; y0 Þสมมติว่าระบบพิกัดแบบสี่เหลี่ยม พิกัดของบ๊อบ
ในการแก้ไขกรอบของการอ้างอิงจะได้รับโดยð X ; Y Þ¼ð x0 þ lsin H ; L " H y0 þÞ . สมการของ Momenta ของทัพ
เคารพตำแหน่งของบ๊อบให้
fxl เพราะ H  ทำ lsin H ¼ 0 ; ð 1 Þ
ที่ FX และทำ เป็นองค์ประกอบของแรงที่กระทําต่อเดือยการใช้ง่ายของนิวตัน
S
M ด้านกฎหมายให้¼ FX X ;
M Y ¼ด้านของþมิลลิกรัม ; ð 2 Þ
และแนะนำพิกัดของบ๊อบด้วยความเคารพที่มาในสมการสุดท้ายเราขอรับ
x ¼ด้านด้าน x0  ผม _
H2 H þ L ด้านบาป H เพราะ H ;
Y ¼ด้านด้าน y0  ผม _
H2 H L เพราะ  ด้าน H บาป H : ð 3 Þ
ตอนนี้แทนอีคิว ( 3 ) อีคิว ( 2 ) , และจากนั้น ในอีคิว ( 1 ) เราได้รับโดยทั่วไปสมการของการเคลื่อนไหวสำหรับ
ต่อไปนี้ง่ายลูกตุ้ม
L H G H þด้านþบาปด้าน x0 เพราะ H  ด้าน y0 บาป¼ 0 H ; ð 4 Þ
เป็นที่ยอมรับได้ว่า การทำงานด้าน x0 ð T Þด้าน y0 และð T Þเป็นที่รู้จักกัน ( อันที่จริงพวกเขาแสดงสมการของการเคลื่อนไหวของการสนับสนุน
จุด ) และประสานงาน ( กำหนดตามปกติในช่วง  P 6 H 6 โมงเย็น สมการนี้สามารถ
จะยังได้รับโดยใช้วิธีระบบโดยเพียงแค่พิจารณา Lagrange function
ผม¼ 1
2
m
2 ð x_ þ y_
2
Þþ mGy ¼ 1
2
M ð x_
2
0 þ y_
2
0 Þþ ml _
h ð x_ 0 เพราะ H  y_0 บาป H Þþ 1
2

ml2 _ H2 þ mgy0 þ cos H : ðÞ 5 มิลลิกรัมต่อลิตร