The answer to the modified question

The answer to the modified question turned out to be positive and in fact the following, more
general, theorem holds.
Theorem 1.1. Let π be a set of primes. Let x ∈ G and suppose that Inda,x(x) is a π-number for any a ∈ G.
Then IndG(x) is a π-number.
The proof of the above theorem is very short and elementary. It is interesting to note that if
IndG(x) is a π-number IndH(x) is not necessarily a π-number for each subgroup H. Let M be the
elementary group of order 8 and A the non-abelian group of order 21. Let A act on M in such
a manner that the subgroup of order 7 permutes the involutions in M transitively. Let G be the
extension of M by A. Choose x to be an involution in M. Then IndG(x) = 7 but there is a non-abelian
subgroup, H of order 24 such that IndH(x) = 3.
Another result obtained in the paper is the following theorem.
Theorem 1.2. Suppose that Inda,b,x(x) is a prime-power for any a, b ∈ G. Then IndG(x) is a prime-power.
The proof of Theorem 1.2 is no longer elementary. In particular it uses the well-known result of
Aschbacher and Guralnick [1] that every non-abelian simple group is 2-generated. This depends on
the classification of finite simple groups. Another important tool used in the proof of Theorem 1.2 is
Flavell’s theorem [3] that x ∈ F2(G) if and only if x ∈ F2(a, x) for any a ∈ G.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตอบคำถามถูกปรับเปลี่ยนกลายเป็นบวก และ ในความเป็นจริงต่อไปนี้ เพิ่มเติมทั่วไป ถือทฤษฎีบททฤษฎีบทที่ 1.1 ให้เป็นชุดของโรงแรมไพรม์π ให้ x ∈ G และสมมติว่า ที่ Ind ได้ x (x) เป็นค่าπใด ๆ ∈กรัมแล้ว IndG(x) เป็นค่า πหลักฐานของทฤษฎีบทข้างต้นคือระยะสั้น และระดับประถมศึกษา เป็นที่สังเกตว่า ถ้าน่าสนใจIndG(x) คือ IndH(x) πเลขไม่จำเป็นต้องหมายเลข πสำหรับแต่ละกลุ่มย่อย H. ให้ M เป็นการกลุ่มประถมศึกษาลำดับที่ 8 และ A ไม่ใช่กลุ่มอาบีเลียนสั่ง 21 ให้กระทำบน M ดังกล่าวลักษณะที่ว่า กลุ่มย่อยของใบสั่ง 7 permutes involutions ที่ใน M transitively ให้ G เป็นการส่วนขยายของ M โดยเลือก A. x จะ เป็นอาวัตนาการใน M แล้ว IndG(x) = 7 แต่มีที่ไม่ใช่อาบีเลียนกลุ่มย่อย H สั่ง 24 ดังกล่าวนั้น IndH(x) = 3ผลที่ได้รับในกระดาษอื่นเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบท 1.2 สมมติที่ Ind a, b, x (x) เป็นนายกพลังงานใด ๆ a, b ∈กรัม แล้ว IndG(x) เป็นนายกพลังงานหลักฐานของทฤษฎีบท 1.2 ระดับประถมไม่ได้ โดยเฉพาะ ใช้รู้จักผลAschbacher และ Guralnick [1] กลุ่มทุกอย่างไม่ใช่อาบีเลียนว่าสร้าง 2 ขึ้นอยู่กับการจัดประเภทของกลุ่มอย่างแน่นอน เป็นเครื่องมือสำคัญอื่นที่ใช้ในหลักฐานของทฤษฎีบท 1.2ทฤษฎีบทของ Flavell [3] ที่ x ∈ F2(G) ถ้าและเฉพาะถ้า x ∈ F2 (a, x) ใด ๆ ∈กรัม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำตอบของคำถามที่แก้ไขเปิดออกมาเป็นบวกและในความเป็นจริงต่อไปนี้มากขึ้น
โดยทั่วไปถือทฤษฎีบท.
ทฤษฎีบท 1.1 ให้πเป็นชุดของช่วงเวลา ให้ x ∈ G และคิดว่าตัวบ่งชี้?, x (x) เป็นπหมายเลขสำหรับ∈กรัมใด ๆ
แล้ว IndG (x) เป็นจำนวนπ.
พิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นเป็นระยะสั้นมากและประถมศึกษา เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าถ้า
IndG (x) เป็น IndH πหมายเลข (x) ไม่จำเป็นต้องเป็นπหมายเลขสำหรับแต่ละกลุ่มย่อยเอชเอ็มให้เป็น
กลุ่มของการสั่งซื้อประถมศึกษา 8 และกลุ่มที่ไม่แสวงหาศาสนาคริสต์ของการสั่งซื้อ 21. ขอให้ดำเนินการกับเอ็มใน
ลักษณะที่กลุ่มย่อยของการสั่งซื้อ 7 permutes involutions ในเอ็มสกรรมกริยา ให้ G เป็น
ส่วนขยายของ M โดย A. x เลือกที่จะร่วมในเอ็มแล้ว IndG (x) = 7 แต่มีที่ไม่ใช่ศาสนาคริสต์
กลุ่มย่อย, H 24 ของคำสั่งดังกล่าวที่ IndH (x) = 3.
ผลอีก ที่ได้รับในกระดาษเป็นทฤษฎีบทต่อไป.
ทฤษฎีบท 1.2 สมมติว่า Ind? b, x (x) เป็นพลังงานที่สำคัญสำหรับการใด ๆ ข∈กรัมจากนั้น IndG (x) เป็นพลังงานที่สำคัญ.
หลักฐานการทฤษฎีบท 1.2 ไม่อยู่ประถม โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะใช้ผลที่รู้จักกันดีของ
ASCHBACHER และ Guralnick [1] ว่าทุกศาสนาคริสต์ที่ไม่ใช่กลุ่มที่ง่ายคือ 2 สร้าง นี้ขึ้นอยู่กับ
การจัดหมวดหมู่ของกลุ่มง่ายๆแน่นอน อีกเครื่องมือสำคัญที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.2 เป็น
ทฤษฎีบทของ Flavell [3] ที่ x ∈ F2 (G) และถ้าหาก x ∈ F2 (?, x?) สำหรับ∈กรัมใด ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คำตอบที่แก้ไขคำถามกลับกลายเป็นบวก และในความเป็นจริงต่อไปนี้เพิ่มเติม
ทั่วไป ทฤษฎีถือ
ทฤษฎีบท 1.1 . ให้πเป็นชุดของไพร์ม ให้ x ∈ G และสมมติว่า IND  A , x  ( x ) เป็นπ - สำหรับหมายเลขใด ๆ∈ G .
แล้ว indg ( x ) เป็นπ - หมายเลข
พิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวจะสั้นมาก และระดับประถม เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าถ้า
indg ( x ) เป็นπ - เบอร์ indh ( x ) ไม่จําเป็นต้องπ - หมายเลขสำหรับแต่ละกลุ่มย่อย เอช ให้ m เป็น
กลุ่มเบื้องต้น สั่ง 8 และไม่ใช่กลุ่มศาสนาคริสต์เพื่อ 21 ให้ทำอยู่เช่น
ลักษณะที่กลุ่มย่อยที่ 7 permutes เพื่อที่ involutions ใน M ด้วยสกรรมกริยา ให้ g เป็นส่วนขยายของ M
โดย เลือก X เป็น การมีส่วนร่วมใน ม. แล้ว indg ( ( X ) = 7 แต่ก็ไม่ใช่ศาสนาคริสต์
กลุ่มย่อยคำสั่งเช่นว่า indh 24 H ( x ) = 3
ผลอื่นได้ในกระดาษเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้ .
ทฤษฎีบท 1.2 สมมติว่า IND  A , B , X  ( x ) เป็นอำนาจของนายกรัฐมนตรีเพื่อใด ๆ A , B ∈กรัม แล้ว indg ( x ) เป็นอำนาจของนายกรัฐมนตรี
พิสูจน์ทฤษฎีบท 1.2 ไม่มีประถม โดยเฉพาะการใช้ที่รู้จักกันดีและผล
aschbacher guralnick [ 1 ] ทุกศาสนาคริสต์กลุ่ม 2-generated ง่ายไม่ .นี้ขึ้นอยู่กับ
หมวดหมู่ของกลุ่มง่าย ๆแน่นอน . อื่นที่สำคัญ เครื่องมือที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.2 เป็น
Flavell ทฤษฎีบทของ [ 3 ] x ∈ F2 ( G ) ถ้าและเพียงถ้า x ∈ F2 (  A , x  ) ใด ๆ ∈กรัม