Proposition 2.2 (cf. [11], Theorem

Proposition 2.2 (cf. [11], Theorem 1 part 6). Let A ∈ Rn×n
+ . Then x ∈ DA is unique if and only if AC is
irreducible and NC (A) = N(A).
Proof. Proposition 2.1(i) implies that we have DA = CA = ∅ when μ(A) = 0, so we can assume
μ(A) > 0 and, further, μ(A) = 1. According to [28] Theorem 2.8,
V∗(A) = V(A∗) =
⎧
⎨
⎩

i∈M(A)
λigi ⊕ 
i∈/NC (A)
λjgj | λi, λj ∈ R+
⎫
⎬
⎭ . (5)
Here gi is the ith column of A∗. The subset M(A) ⊂ {1,..., n} is such that for each (maximal) irreducible
submatrix of AC there is a unique index of that submatrix in M(A). By the same theorem of [28],

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ข้อเสนอที่ 2.2 (มัทธิว [11] ทฤษฎีบท 1 ตอนที่ 6) ให้เป็น∈ Rn × n+ . แล้ว x ∈ดาเป็นเฉพาะถ้าและเฉพาะถ้า ACอย่างต่ำ และ NC (A) = N(A)หลักฐานการ 2.1(i) เสนอหมายถึงการที่เรามีดา = CA =∅เมื่อ μ(A) = 0 ดังนั้นเราสามารถสมมติΜ(A) > 0 และ เพิ่มเติม μ(A) = 1 ตามทฤษฎีบท [28] 2.8V∗(A) = V(A∗) =⎧⎨⎩i∈M(A)ดังนั้น λigiNC i∈ (A)Λjgj | Λi, λj ∈ R +⎫⎬⎭ . (5)นี่จิเป็นคอลัมน์ระยะของ A∗ ชุดย่อย M(A) ⊂ {1,..., n } เป็นเช่นว่าสำหรับแต่ละ (สูงสุด) อย่างต่ำsubmatrix ของ AC มีดัชนีที่ไม่ซ้ำของ submatrix ที่ใน M(A) ได้ โดยทฤษฎีบทเดียวกันของ [28],

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โจทย์ 2.2 (cf [11], ทฤษฎีบท 1 ส่วน 6) ให้ A ∈ Rn ×
n + แล้ว x ∈ DA จะไม่ซ้ำกันและถ้าหากเป็น AC
ลดลงและอร์ทแคโรไลนา (A) = N (A).
หลักฐาน โจทย์ 2.1 (i) แสดงให้เห็นว่าเรามี DA = CA = ∅เมื่อμ (A) = 0
ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้μ (A)> 0 และเพิ่มเติมμ (A) = 1 ตามที่ [28] ทฤษฎีบท 2.8 ,
* V (A) = V (A *) = ⎧⎨⎩? i∈M (A)? λigi⊕i∈ / NC (A) λjgj | λi, λj∈ R + ⎫⎬⎭ (5) นี่คือกูเกิลเป็นคอลัมน์ ith A * เซต M (A) ⊂ {1, ... , n} เป็นเช่นนั้นสำหรับแต่ละ (สูงสุด) ลดลงsubmatrix ของ AC มีดัชนีที่ไม่ซ้ำกันของ submatrix ว่าใน M (A) โดยทฤษฎีบทเดียวกัน [28],

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ข้อเสนอ 2.2 ( CF . [ 11 ] ทฤษฎีบท 1 ส่วนที่ 6 ) ให้∈ Rn × N

แล้ว X ∈ดาเป็นเอกลักษณ์ ถ้าและเพียงถ้า AC
ลดและ NC ( ) = n ( A )
พิสูจน์ ข้อเสนอ 2.1 ( ฉัน ) แสดงว่าเรามีดา = CA = ∅เมื่อμ ( ) = 0 ดังนั้นเราสามารถสมมติ
μ ( ) > 0 และ เพิ่มเติม μ ( A ) = 1 ตาม [ 28 ] ทฤษฎีบท 2.8
v ∗ ( ) = V ( ∗ ) =
⎧



ผม⎨⎩  ∈ M ( A )
λ IGI ⊕ 
ฉัน∈ / NC ( A )
λ jgj | λผมλ J ∈ R

⎬⎫
⎭ . ( 5 )
นี่กีเป็น ith คอลัมน์ของ∗ . ที่ย่อย m ( ) ⊂ { 1 , . . . , n } เป็นเช่นนั้นสำหรับแต่ละ ( สูงสุด ) ลด
submatrix ของ AC มีดัชนีที่ไม่ซ้ำของ submatrix ใน M ( A ) โดยทฤษฎีบทเดียวกัน [ 28 ]