ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง[แก้]กำห

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง[แก้]
กำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า: lim_{x o p}f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุกๆ x ∈M และ dM(x, p) < δ แล้ว, dN(f(x), L) < ε

ฟังก์ชันค่าจริง[แก้]
เซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริง โดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี d(x, y) := |x-y|. เช่นเดียวกับ เส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม +∞ และ -∞ เข้าไปด้วย) ก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี d(x, y) := |arctan(x)-arctan(y)|

ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง[แก้]
ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้วเราจะเขียน lim_{x o p}f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, |f(x)-L| < ε

ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.

หรือเราจะเขียน lim_{x o p}f(x) = infty ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) > R;

หรือจะเขียนว่า lim_{x o p}f(x) = -infty ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.

ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย : lim_{x o p^+} และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย : lim_{x o p^-}

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

[แก้] ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางกำหนดให้ f: (M, dM) -> (N, dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทางสองปริภูมิ และกำหนดให้ ∈N และ L ∈M p เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f p คือ L" และเขียนว่า: lim_ { x o p}f(x) = L ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของε > 0 จะมีδ > 0 สำหรับทุก ๆ x ∈M และ dM (x, p) < δแล้ว dN(f(x), L) < ε[แก้] ฟังก์ชันค่าจริงเซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริงโดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้โดยมี d (x, y): = |x-y| เช่นเดียวกับเส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม + ∞และ - ∞เข้าไปด้วย) ก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้โดยมี d (x, y): = |arctan (x) -arctan (y) |[แก้] ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่งให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริงแล้วเราจะเขียน lim_ { x o p}f(x) = L ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของε > 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมีδ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าสำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x 0 < |x-p| < δ |f (x) -L| < εซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริงและ d(x,y) = |x-y|หรือเราจะเขียน lim_ { x o p}f(x) = infty ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมีδ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าสำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x 0 < |x-p| < δ f(x) > Rหรือจะเขียนว่า lim_ { x o p}f(x) = - infty ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมีδ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าสำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x 0 < |x-p| < δ f(x) < อาร์ถ้าในนิยามเราใช้ x p แทน |x-p| เราก็จะได้ลิมิตขวาเขียนแทนโดย: lim_ { x o p ^ + } และถ้าใช้ p-x แทนก็จะได้ลิมิตซ้ายเขียนแทนโดย: lim_ { x o p ^ -}

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

f: (M, dM) -> (ยังไม่มี, dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทางสองปริภูมิ, และกำหนดให้ P ∈Mและ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิต ของ F ที่ P คือ L "และเขียนว่า: lim_ {XOP} f (x) = L ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของε> 0 จะมีδ> 0 ที่สำหรับทุกๆ x ∈Mและ dM (x, P) < δแล้ว, dN (f (x), L) < โดยมีง (x, y) = | XY | เช่นเดียวกับเส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม + ∞และ-∞เข้าไปด้วย) โดยมีง (x, y) = ฉเป็นฟังก์ชันค่าจริงแล้วเราจะเขียน lim_ {XOP} f (x) = L ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของε> 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมีδ> 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าที่สำหรับทุกค่า ของจำนวนจริง x ที่ 0 <| XP | <δ, | f (x) -L | < ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริงและ D (x, y) = | XY |. หรือเราจะเขียน lim_ {XOP} f (x) = infty ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ R> 0 (ไม่ว่า จะใหญ่เท่าใด) จะต้องมีδ> 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าที่สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 <| XP | <δ, f (x)> R; หรือจะเขียนว่า lim_ {XOP} f (x) = -infty ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ R <0 จะต้องมีδ> 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าที่สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 <| XP | <δ, f (x) <อาร์ถ้าในนิยาม เราใช้ XP แทน | XP | เราก็จะได้ลิมิตขวาเขียนแทนโดย: lim_ {XOP ^ +} และถ้าใช้ px แทนก็จะได้ลิมิตซ้ายเขียนแทนโดย: lim_ {XOP ^ -}

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง [ แก้ ]
กำหนดให้ F ( M , DM ) - > ( DN ( , ) เป็นการส่งค่าระหว่างเป็นฟังก์ชันที่นิยามบน ) ปริภูมิอิงระยะทางสองปริภูมิและกำหนดให้∈ M L , P และ∈ N , เราจะกล่าวว่า " ลิมิตของ F ที่ p ความ L " และเขียนว่า :lim_ { x o p } f ( x ) = L ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของε > 0 จะมีδ > 0 ที่สำหรับทุกๆ x ∈ M และ DM ( X , p < δแล้ว DN ( , f ( x ) L ) < ε

[ ]
ฟังก์ชันค่าจริงแก้เซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริงมีบทบาทช่วยโดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ d ( x , y ) : = | x-y | .เช่นเดียวกับเส้นจำนวนจริงขยาย ( เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม∞และ - ∞เข้าไปด้วย ) มีบทบาทช่วยก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ d ( x , y ) = | arctan ( x ) - arctan ( Y ) |

[ ]
ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่งแก้ให้ F เป็นฟังก์ชันค่าจริงแล้วเราจะเขียน lim_ { x o p } f ( x ) = L ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของε > 0 ( ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด ) จะต้องมีδ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าที่สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < | x-p | < δ | , f ( x ) - L | < ε

ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริงและ d ( x , y ) = | x-y | .

หรือเราจะเขียน lim_ { x o p } f ( x ) = infty ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ r > 0 ( ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด ) จะต้องมีδ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าที่สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < | x-p | < δ , f ( x )

> Rหรือจะเขียนว่า lim_ { x o p } f ( x ) = - infty ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าของ r < 0 จะต้องมีδ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่าที่สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < | x-p | < δ , f ( x ) < R .

ถ้าในนิยามเราใช้ x-p แทน | x-p | เราก็จะได้ลิมิตขวาเขียนแทนโดย : lim_ { X P
o} และถ้าใช้ p-x แทนก็จะได้ลิมิตซ้ายเขียนแทนโดย : lim_ { x o P
- }