Up to the early years of the 20th c

Up to the early years of the 20th century there were few, if any, generally applicable techniques that might be successfully employed for this purpose. The study seemed to be little more than a grab bag of mathematical tricks that might or (more likely) might not be useful in solving a particular equation. This situation has changed profoundly during the last half-century, and there are now a number of very deep and powerful methods that can be employed to solve a wide variety of Diophantine equations.9 However, it must be emphasized that it is a mathematical fact that there cannot exist any general algorithm which can be used for solving all Diophantine equations.10

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ชั่วโมง ถ้ามี โดยทั่วไปใช้เทคนิคที่อาจนำมาใช้สำหรับวัตถุประสงค์นี้สำเร็จได้จนถึงช่วงปีแรกของศตวรรษที่ 20 การศึกษาดูเหมือนจะมากกว่าวงจรของเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่อาจ หรือ (แนวโน้ม) อาจไม่มีประโยชน์ในการแก้สมการที่มีเฉพาะ สถานการณ์นี้มีการเปลี่ยนแปลงอย่างลึกซึ้งระหว่างช่วงครึ่งศตวรรษ และขณะนี้มีหลายวิธีที่ลึกมาก และมีประสิทธิภาพที่จะใช้เพื่อแก้ปัญหาที่หลากหลายของ Diophantine equations.9 อย่างไรก็ตาม มันต้องเน้นย้ำว่า มันเป็นความจริงทางคณิตศาสตร์ที่ว่า ไม่มีอัลกอริทึมใด ๆ ทั่วไปซึ่งสามารถใช้สำหรับการแก้ทั้งหมด Diophantine equations.10

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ขึ้นไปในช่วงปีแรกของศตวรรษที่ 20 มีไม่กี่ถ้ามีเทคนิคทั่วไปบังคับที่อาจจะมีการจ้างงานที่ประสบความสำเร็จสำหรับวัตถุประสงค์นี้ การศึกษาดูเหมือนจะน้อยกว่าถุงคว้าของเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่อาจหรือ (จะขึ้น) อาจจะไม่เป็นประโยชน์ในการแก้สมการโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สถานการณ์นี้มีการเปลี่ยนแปลงอย่างลึกซึ้งในช่วงครึ่งศตวรรษที่ผ่านมาและขณะนี้มีจำนวนของวิธีการที่ลึกมากและมีประสิทธิภาพที่สามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาที่หลากหลายของ Diophantine equations.9 แต่ก็จะต้องเน้นย้ำว่ามันเป็นความจริงทางคณิตศาสตร์ ว่าไม่สามารถอยู่ขั้นตอนวิธีการทั่วไปใด ๆ ที่สามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาทั้งหมด equations.10 Diophantine