Lemma 2. Let G' be a graph which is

Lemma 2. Let G' be a graph which is k-choosable but not free k-choosable, v* a bad
vertex of G' and ~ := { f l , f 2 ..... fk-1} an arbitrary set of k- 1 colours. There
exists a list assignment Lv.,.~ ([L(v) I = k Vv E V(G)) so that qY(v*) E J~ is satisfied
for every Lv*, ~-list colouring (p'.
Proof. Let v* be a bad vertex. We use the known list assignment L' with
qg(v*) E U(v*) {f'} (for all U-list colourings of G) and rename the colours in
a suitable way: Let { f l , f 2 ..... fn} :: Uvev(c,)L'(v) be the set of colours appearing
in the list assignment L'. Define an injection ~k : { f l , f 2 , . . . , f n } ~ N assigning
L' (v*) { f ' ) to ~ and (for example) qJ(fi):= i+ma x ( { f l , f 2 ..... f , ) U~~, ) for all
fiq~L'(v*) {f'}. []
Lemmas 1 and 2 show that there is an important difference between the concepts 'kchoosability'
and 'free k-choosability'. Therefore, it seems that the conjecture 'Every
planar graph is free 5-choosable' is stronger than 'Every planar graph is 5-choosable'.
Nevertheless, we will prove that they are equivalent.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พ 2 ให้ G เป็นกราฟซึ่งเป็น k-choosable แต่ไม่ k-choosable ฟรี , V * จุดยอดแย่
G ' ~ : = { F L , F 2 . . . . . fk-1 } เป็นหนึ่งชุดของ K - 1 สี มี
มีอยู่รายการงาน LV . , ~ ( [ L ( v ) = k ข้อ E V ( G ) ) เพื่อให้ qy ( V * ) E j ~ สะใจ
ทุกเลเวล * ~ - รายการสี ( P '
พิสูจน์ ให้ v * เป็นยอดแย่ เราใช้งาน L ' กับ
รู้จักรายการqg ( V * ) E u ( V * ) { f ' } ( สำหรับ u-list colourings G ) และเปลี่ยนสีในทางที่เหมาะสมกัน
: { f L , F 2 . . . . . FN } : : uvev ( C ) L ' ( V ) เป็นชุดของสีที่ปรากฏในรายการงาน L '
. กำหนดฉีด ~ K : { F L , f 2 , . . . . . . . . , F - } N ให้
( v * L ' f ' { ) ) ~ ( ตัวอย่าง ) QJ ( FI ) = ฉันมา x ( { 2 F L , F . . . F ) u ~ ~ ) เลย
fiq ~ L ' ( V * ) { f ' } [ ]
lemmas 1 และ 2 แสดงให้เห็นว่ามีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างแนวคิด ' ' และ ' ' kchoosability
k-choosability ฟรี ดังนั้นดูเหมือนว่าการคาดเดาทุก
กราฟเชิงระนาบเป็น 5-choosable ฟรี ' แข็งแกร่งกว่าทุกกราฟเชิงระนาบเป็น 5-choosable ' .
แต่เราจะพิสูจน์ว่าพวกเขามีค่าเท่ากัน