In mathematics, the convolution the

In mathematics, the convolution theorem states that under suitable conditions the Fourier transform of a convolution is the pointwise product of Fourier transforms. In other words, convolution in one domain (e.g., time domain) equals point-wise multiplication in the other domain (e.g., frequency domain). Versions of the convolution theorem are true for various Fourier-related transforms. Let {displaystyle f} f and {displaystyle g} g be two functions with convolution {displaystyle f*g} f*g . (Note that the asterisk denotes convolution in this context, and not multiplication. The tensor product symbol {displaystyle otimes } otimes is sometimes used instead.) Let {displaystyle {mathcal {F}}} mathcal{F} denote the Fourier transform operator, so {displaystyle {mathcal {F}}{f}} mathcal{F}{f} and {displaystyle {mathcal {F}}{g}} mathcal{F}{g} are the Fourier transforms of {displaystyle f} f and {displaystyle g} g, respectively

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพัฒนาระบุว่า ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมฟูริเยร์การแปลงมีการพัฒนาเป็นผลิตภัณฑ์ pointwise ของฟูริเยร์แปลง ในคำอื่น ๆ การพัฒนาในโดเมนหนึ่ง (เช่น โดเมนเวลา) เท่ากับคูณ point-wise ในโดเมนอื่น (เช่น โดเมนความถี่) รุ่นพัฒนาทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับการแปลงฟูริเยร์ที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ให้ { displaystyle f } f และ { displaystyle g } g เป็นฟังก์ชันสองกับบิด { displaystyle f * g } f * g (สังเกตว่า เครื่องหมายดอกจันหมายถึงการพัฒนาในบริบทนี้ และไม่คูณ Tensor ผลิตภัณฑ์สัญลักษณ์ {displaystyle otimes } otimes บางครั้งใช้แทน) ให้ { displaystyle {mathcal {F } } } mathcal{F } แสดงตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์ ดังนั้น { displaystyle {mathcal {F } } {f } } mathcal{F}{f } และ { displaystyle {mathcal {F } } {g } } mathcal{F}{g } มีฟูริเยร์การแปลงของ { displaystyle f } f และ { displaystyle g } g ตามลำดับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทบิดระบุว่าภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมของแปลงฟูริเยบิดเป็นสินค้า pointwise ของการแปลงฟูริเยร์ ในคำอื่น ๆ บิดในโดเมนหนึ่ง (เช่นโดเมนเวลา) เท่ากับคูณจุดที่ชาญฉลาดในโดเมนอื่น ๆ (เช่นโดเมนความถี่) รุ่นของทฤษฎีบทบิดเป็นจริงสำหรับการแปลงฟูริเยร์ต่างๆที่เกี่ยวข้องกับ Let { displaystyle F} F และ { displaystyle g} กรัมจะมีสองฟังก์ชั่นที่มีการบิด { displaystyle F * g} F * G (โปรดทราบว่าเครื่องหมายดอกจันหมายถึงบิดในบริบทนี้และไม่คูณ. สัญลักษณ์เมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ { displaystyle otimes} otimes บางครั้งใช้แทน.) ให้ { displaystyle { mathcal {F}}} mathcal { F} แสดงว่าฟูเรียร์ผู้ประกอบการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คณิตศาสตร์ , ทฤษฎีบทสังวัตนา ระบุว่า ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมในการแปลงฟูรีเยของขดเป็นผลิตภัณฑ์การจัดการของ Fourier transform . ในคำอื่น ๆที่ซับซ้อนมากในหนึ่งโดเมน ( เช่น เวลาโดเมน ) มีค่าเท่ากับจุดปัญญาการคูณในโดเมนอื่น ๆ ( เช่น โดเมนความถี่ ) รุ่นของทฤษฎีบทสังวัตนาการต่างๆที่เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเยมีจริง . ให้ displaystyle F } { f { displaystyle G } g เป็นฟังก์ชันที่สองกับขด { displaystyle f * g } F * G . ( หมายเหตุที่เครื่องหมายดอกจันหมายถึงรอยหยักของสมองในบริบทนี้และไม่คูณ จากเมตริกซ์ผลิตภัณฑ์สัญลักษณ์ otimes } { displaystyle otimes บางครั้งใช้แทน ) ให้ { displaystyle { mathcal { F } } } mathcal { F } แสดงการแปลงผู้ประกอบการ ดังนั้น displaystyle mathcal { { { f } } { F } } mathcal { F } { F } { F } } { { mathcal displaystyle { G } } { F } { G } mathcal เป็น Fourier transform { F } { displaystyle displaystyle F และ G } ก. ตามลำดับ