2. Constitutive laws and basic equa

2. Constitutive laws and basic equations for simple shear
In the constitutive law (1), the elastic second Piola–Kirchhoff stress Pe under the integral is assumed hyperelastic, i.e. the
instantaneous response can be derived from an energy potential W (the strain energy function). The deformation gradient
tensor F is defined by
FðsÞ ¼
I; s 2 ð1; 0Þ;
@x
@XðsÞ; s 2 ½0; t;
8<
:
ð2Þ
with xðsÞ denoting the position of a generic particle P at time s 2 ½0; t, and X its position at the initial reference time. Note
that the start time of the motion, and any imposed tractions, will be taken as t ¼ 0. The quantity J ¼ det F, expressing the
local volume change, is a constant J ¼ 1 when the deformation is isochoric. Let us assume that the material is isotropic
and therefore from the deformation gradient tensor F we obtain the right Cauchy-Green tensor C ¼ FTF, and its principal
invariants
I1 ¼ trC; I2 ¼
1
2 ðtrCÞ2  trC2 h i
¼ ðdet CÞtrðC1Þ; I3 ¼ det C ¼ J2: ð3Þ
Given isotropy, the viscoelastic Cauchy stress is (referring to De Pascalis et al., 2014)
TðtÞ ¼ J1FðtÞ Pe
DðtÞ þ
Z t
0
D0ðt  sÞPe
DðsÞ ds
 
FT ðtÞ þ J1FðtÞ Pe
HðtÞ þ
Z t
0
H0ðt  sÞPe
HðsÞ ds
 
FT ðtÞ; ð4Þ

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. กฎหมายขึ้นและสมการพื้นฐานสำหรับแรงเฉือนแบบง่ายในขึ้นกฎหมาย (1), ความยืดหยุ่นสอง Piola – Kirchhoff เครียด Pe ภายใต้ทฤษฎีบูรณาการการสันนิษฐาน hyperelastic เช่นการตอบกำลังสามารถได้มาจากพลังงานมีศักยภาพ W (ต้องใช้พลังงานฟังก์ชัน) การไล่ระดับสีแมพtensor F จะถูกกำหนดโดยFðsÞ ¼ฉัน s 2 ð 1 0Þ@x; @XðsÞ s 2 ½0 t8 <:ð2Þมี xðsÞ กำหนดเรียกค่าตำแหน่งของอนุภาคทั่วไป P ที่เวลา s 2 ½0 t และ X ตำแหน่งอ้างอิงเริ่มต้นเวลาการ หมายเหตุที่เวลาเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว และ tractions ใดก็ตาม จะนำมาเป็น t ¼ 0 ปริมาณเจเดช¼ F แสดงการเปลี่ยนไดรฟ์ข้อมูลท้องถิ่น คือ เจคง¼ 1 เมื่อที่แมพ isochoric เราคิดว่า วัสดุเป็น isotropicและดังนั้น จากแมพ tensor ไล่ระดับ F เรารับ tensor ขวาเขียวอสมการโคชี C ¼ FTF และหลักการinvariantsI1 ¼ trC I2 ¼12 ðtrCÞ2 trC2 h ฉัน¼ ðdet CÞtrðC 1Þ I3 เดช¼¼ J2 C: ð3Þกำหนด isotropy, viscoelastic อสมการโคชีเครียดเป็นพวกกับ De Pascalis et al., 2014)Pe 1FðtÞ J TðtÞ ¼DðtÞ þZ t0D0ðt sÞPeDðsÞ ds Þ ðtÞ FT เจ 1FðtÞ PeHðtÞ þZ t0H0ðt sÞPeHðsÞ ds FT ðtÞ ð4Þ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2. กฎหมาย Constitutive
และสมการพื้นฐานสำหรับการเฉือนง่ายในกฎหมายส่วนประกอบ(1), ยืดหยุ่นสอง Piola-Kirchhoff ความเครียด Pe ภายใต้หนึ่งจะถือว่า hyperelastic
กล่าวคือตอบสนองที่รวดเร็วจะได้รับจากศักยภาพพลังงานวัตต์(ฟังก์ชั่นพลังงานความเครียด ) ลาดเสียรูปเมตริกซ์ F จะถูกกำหนดโดยFðsÞ¼ฉัน; s 2 ð 1; 0TH; @x @ XðsÞ; s 2 ½0; เสื้อ ?; 8 <: ð2ÞกับxðsÞแสดงถึงตำแหน่งของอนุภาค P ทั่วไปที่เวลา 2 ½0นั้น เสื้อ ?, X และตำแหน่งในเวลาอ้างอิงเริ่มต้น หมายเหตุที่เวลาเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวและ tractions กำหนดใด ๆ ที่จะนำมาเป็นเสื้อ¼ 0. ปริมาณ J ¼เดชอุดม F, การแสดงการเปลี่ยนแปลงปริมาณท้องถิ่นเป็นJ คง¼ 1 เมื่อเปลี่ยนรูปเป็น isochoric ให้เราสมมติว่าวัสดุที่เป็น isotropic จึงมาจากการเปลี่ยนรูปแบบการไล่ระดับสีเมตริกซ์ F เราได้รับสิทธิ Cauchy เขียวเมตริกซ์ C ¼ FTF และหลักคงI1 ¼ TRC; I2 ¼ 1 2 ðtrCÞ2? trC2 ไฮ¼ðdetCÞtrðC 1th; I3 ¼เดชอุดม C ¼ J2: ð3Þได้รับisotropy ความเครียด viscoelastic Cauchy เป็น (หมายถึง De Pascalis et al, 2014). TðtÞ¼ J 1FðtÞ Pe? DðtÞþ Z ที0 D0ðt? sÞPeDðsÞ ds? ? FT ðtÞþ J? 1FðtÞ Pe HðtÞþ Z ที0 H0ðt? sÞPeHðsÞ ds? ? FT ðtÞ; ð4Þ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . กฎหมายรธน. และสมการพื้นฐานสำหรับง่ายเฉือน
ในกฎหมายรธน. ( 1 ) ยางที่สองปิโอลา–เคอร์ชอฟฟ์ความเครียด PE ภายใต้หนึ่งจะถือว่า hyperelastic เช่น
การตอบสนองทันทีสามารถได้มาจากการศักยภาพพลังงาน W ( สายพันธุ์ของฟังก์ชันพลังงาน ) การไล่ระดับสี

F เมตริกซ์ F จะถูกกำหนดโดยð S Þ¼
i ; S 2 ð  1 ; 0 Þ ;
@ X
@ X ð S Þ ; 2 ½ 0 ; t  ;
8 <
:
ðÞ
2กับ X ð S Þแสดงถึงตำแหน่งของอนุภาคทั่วไป P ที่เวลา 2 ½ 0 ; t  และ x ตำแหน่งของเวลาอ้างอิงเบื้องต้น หมายเหตุ
ที่เวลาเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว และกำหนด tractions จะได้รับเป็น T ¼ 0 ปริมาณ J ¼ The F , การแสดง
เปลี่ยนระดับเสียงท้องถิ่นเป็นค่าคงที่ J ¼ 1 เมื่อเปลี่ยนรูปเป็น isochoric . ให้เราสมมติว่าเป็นวัสดุ isotropic
ดังนั้น จากการไล่ระดับเมตริกซ์ F เราได้รับสิทธิ Cauchy เมตริกซ์ C สีเขียว¼ ftf และครูใหญ่
ผลยืนยง
i1 ¼ TRC ; I2 ¼
1
2 ð TRC Þ 2  trc2 H ผม
¼ð The C Þ TR ð C  1 Þ ; I3 j2 c ¼¼เดช : ð 3 Þ
ให้ไอโซทรอปี , ยืดหยุ่น Cauchy เครียด ( หมายถึง เดอ pascalis et al . , 2014 )
T T Þð¼ J  1f ð T
T D Þ PE ðÞþ
z t
0
+ ð T  S Þ PE
D ð S Þ DS 

 ฟุตð T Þþ J  1f ð T
T H Þ PE ðÞþ
z t
0
H0 T
ð  S Þเปð H S Þ DS

  ฟุตð T Þ ; ð 4 Þ