International Journal of Algebra, V

International Journal of Algebra, Vol. 7, 2013, no. 16, 749 - 753
HIKARI Ltd, www.m-hikari.com
http://dx.doi.org/10.12988/ija.2013.3984
A Note on Congruent Numbers
Umm¨ ¨ ug¨uls¨um O˘ ¨g¨ut and Refik Keskin
Sakarya University, Mathematics Department, Sakarya, Turkey
[e-mail], [e-mail]
Copyright c 2013 Umm¨ ¨ ug¨uls¨um O˘ ¨ g¨ut and Refik Keskin. This is an open access article
distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted
use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly
cited.
Abstract
In this study, by showing that the systems of simultaneous equations
a2 − b2 = x2
and
a2 + b2 = y2
have no solutions in positive integers, we proved that a congruent number
can not be a perfect square. Moreover we proved Fermat’s last
theorem for n = 4.
Keywords: Congruent number, primitive Pythagorean triple, Fermat’s
last theorem
1 Introduction
The problem of studying positive integers n which occur as areas of rational
right triangle was of interest to the Greeks. The congruent number problem
was first discussed systematically by Arab scholars of the tenth century.
By the way recall that a positive integer n is a congruent number if it equals
to the area of right triangle with rational sides.
Since tenth century, some well-known mathematicians have devoted considerable
energy of the congruent number problem. For example Euler showed
that n = 7 is a congruent number with sides of lenght 24
5 ,
35
12 and 337
60 . It is

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมุดรายวันระหว่างประเทศของพีชคณิต ปี 7, 2013 หมายเลข 16, 749-753Www.m-hikari.com Ltd ฮิคาริhttp://dx.doi.org/10.12988/ija.2013.3984หมายเหตุเลขแผงum¨ เลขจด ug¨uls¨um O˘ ¨g¨ut และ Refik KeskinSakarya มหาวิทยาลัย ภาควิชาคณิตศาสตร์ Sakarya ตุรกี[e-mail], [e-mail]ลิขสิทธิ์ 2013 um¨ เลขจด ug¨uls¨um O˘ เลขจด g¨ut และ Refik Keskin c เป็นบทความเปิดเข้ากระจายภายใต้การสร้างสรรค์คอมมอนส์แสดงลิขสิทธิ์ ซึ่งไม่จำกัดใบอนุญาตใช้ แจกจ่าย และการผลิตซ้ำในสื่อใด ๆ ให้ถูกงานต้นฉบับเริ่มแรกบทคัดย่อในการศึกษานี้ โดยแสดงที่ระบบของสมการพร้อมกันa2 − b2 = x 2และa2 + b2 = y2มีวิธีแก้ไขไม่ในจำนวนเต็มบวก เราได้ที่หมายเลขแผงไม่ได้เหลี่ยมสมบูรณ์ นอกจากนี้ เราพิสูจน์แฟร์มาของล่าสุดทฤษฎีบทสำหรับ n = 4คำสำคัญ: แผงหมายเลข ดั้งเดิมพีทาโกรัสทริปเปิ้ล แฟร์มาเป็นทฤษฎีบทสุดท้ายบทนำ 1ปัญหาของการศึกษา n เป็นจำนวนเต็มบวกที่เกิดขึ้นจริงของเหตุผลสามเหลี่ยมมุมฉากได้น่าสนใจกรีก ปัญหาหมายเลขแผงเป็นครั้งแรกกล่าวถึงระบบ โดยนักปราชญ์อาหรับศตวรรษสิบโดยวิธีการ เรียกคืนให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนแผงถ้ามันเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านเหตุผลตั้งแต่ศตวรรษที่สิบ mathematicians บางรู้จักได้ทุ่มเทมากพลังงานของปัญหาหมายเลขแผง ตัวอย่าง พบออยเลอร์ให้ n = 7 เป็นตัวเลขโดยแผง มีด้านความยาว 2453512 และ 33760 มันเป็น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วารสารนานาชาติพีชคณิตฉบับ 7, 2013 ที่ไม่มี 16, 749-753
HIKARI จำกัด www.m-hikari.com
http://dx.doi.org/10.12988/ija.2013.3984
หมายเหตุเกี่ยวกับตัวเลขสอดคล้อง
Umm ¨ug¨uls¨um O และลำไส้ Refik Keskin
Sakarya มหาวิทยาลัยภาควิชาคณิตศาสตร์, Sakarya, ตุรกี
[e-mail], [e-mail]
ลิขสิทธิ์ค 2013 Umm ¨¨ug¨uls¨um O ลำไส้และ Refik Keskin นี้เป็นบทความเปิด
เผยแพร่ภายใต้สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์ซึ่งอนุญาตให้ไม่ จำกัด
การใช้งาน, การกระจายและการทำสำเนาในสื่อใด ๆ ให้ทำงานเดิมอย่างถูกต้อง
อ้าง.
บทคัดย่อ
ในการศึกษานี้โดยแสดงให้เห็นว่าระบบสมการพร้อมกัน
a2 - b2 = x2
และ
a2 + b2 = y2
มีการแก้ปัญหาในจำนวนเต็มบวกที่เราได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนที่สอดคล้องกัน
ไม่สามารถเป็นตารางที่สมบูรณ์แบบ นอกจากนี้เรายังได้รับการพิสูจน์สุดท้ายของแฟร์มาต์
ทฤษฎีบทสำหรับ n = 4.
คำสำคัญ: จำนวนสอดคล้องดั้งเดิมพีทาโกรัสสามของแฟร์มาต์
ทฤษฎีบทสุดท้าย
1 บทนำ
ปัญหาของการศึกษาจำนวนเต็มบวก n ที่เกิดขึ้นกับพื้นที่ของเหตุผล
สามเหลี่ยมขวาเป็นที่สนใจของชาวกรีก ปัญหาจำนวนสอดคล้องกัน
ได้รับการกล่าวถึงเป็นครั้งแรกอย่างเป็นระบบโดยนักวิชาการอาหรับศตวรรษที่สิบ.
โดยการเรียกคืนวิธีการที่จำนวนเต็มบวก n เป็นจำนวนที่สอดคล้องกันถ้ามันเท่ากับ
ไปยังพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเหตุผล.
ตั้งแต่ศตวรรษที่สิบบางที่รู้จักกันดี นักคณิตศาสตร์ได้ทุ่มเทมาก
พลังงานของปัญหาจำนวนสอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่นออยเลอร์แสดงให้เห็น
ว่า n = 7 เป็นจำนวนสอดคล้องกับด้านข้างของความยาว 24
5
35
12 และ 337
60 มันเป็น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วารสารนานาชาติของพีชคณิต , ฉบับที่ 7 , 2013 , หมายเลข 16 , 749 - 753
ฮิคาริ จำกัด , www.m-hikari . com
http : / / DX ดอย . org / 10.12988 / ija . 2013.3984
ข้อความหลังตัวเลข
อืมตั้งตั้ง 2 uls ตั้งตั้งเอ่อ O ˘ตั้งตั้งแต่ refik keskin
G และ ยะยะ University , ภาควิชาคณิตศาสตร์ , ตุรกี [e-mail] rkeskin ยะ
, @ . edu . TR
ลิขสิทธิ์ C 2013 อืมตั้งตั้ง 2 uls ตั้งตั้งเอ่อ O ˘ตั้ง G และตั้งแต่ refik keskin .นี่คือการเปิดบทความเผยแพร่ภายใต้สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แสดงที่มา

ใช้สัญญาอนุญาตที่อนุญาตให้จำกัดขอบเขตการกระจาย และการสืบพันธุ์ในสื่อใด ๆ ให้ทำงานเดิมให้ดี


อ้าง . บทคัดย่อ ในการศึกษานี้ โดยแสดงให้เห็นว่าระบบสมการพร้อมกัน
A2 − 2 = x2

A2 B2 และ = Y2
ไม่มีโซลูชั่นในจํานวนเต็มบวก เราได้พิสูจน์ว่า
จำนวนเท่ากันไม่สามารถตารางที่สมบูรณ์แบบ นอกจากนี้ เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์
n = 4 .
คำสำคัญ : สอดคล้องหมายเลขดั้งเดิมสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์
,
1 บทนำ
ปัญหาการเรียนจำนวนเต็มบวก n ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากพื้นที่ของเหตุผล
สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นที่สนใจของพวกกรีก ความสอดคล้องจํานวนปัญหา
เป็นครั้งแรกที่กล่าวถึงอย่างเป็นระบบ โดยนักวิชาการของอาหรับศตวรรษที่ 10 .
ว่าแต่จำได้ว่าเป็นเลขจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องถ้ามันเท่ากับ
ไปยังพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านขวา เหตุผลคือ N .
ตั้งแต่ศตวรรษที่สิบ บาง ที่รู้จักกันดี นักคณิตศาสตร์ได้ทุ่มเทพลังงานมาก
ของปัญหาจำนวนที่สอดคล้องต้องกัน ตัวอย่างเช่น ออยเลอร์พบ
ที่ n = 7 เป็นหมายเลขที่สอดคล้องกับด้านยาว 24
5
3

12 วิทยาลัย 60 มันคือ