φ(v) =(c(Iv), 0) if Iv is a cl

φ(v) =


(c(Iv), 0) if Iv is a closed interval,
(c(Iv), p(Iv) · h) if Iv is an open interval,
(c(Iv) − d, p(Iv) · h) if Iv is a closed–open interval, and
(c(Iv) + d, p(Iv) · h) if Iv is an open–closed interval.
Let u and v be two vertices of G. We assume, without loss of generality, that ℓ(Iu) ≤ ℓ(Iv). We have the following three
cases:
1. the intervals have no intersection; that is, r(Iu) < ℓ(Iv),
2. the intervals are overlapping; that is, r(Iu) > ℓ(Iv),
3. the intervals are touching; that is, r(Iu) = ℓ(Iv).
Case 1: r(Iu) < ℓ(Iv). In this case, u and v are not adjacent. The distance distφ(u, v) is minimized when φ(u) = (c(Iu) +
d, h) and φ(v) = (c(Iv) − d, h). Therefore,
distφ(u, v) ≥ (c(Iv) − d) − (c(Iu) + d) ≥ 1 + s − 2d > 1.
Case 2: r(Iu) > ℓ(Iv). In this case, u and v are adjacent. The distance distφ(u, v) is maximized when φ(u) = (c(Iu)−d,−h)
and φ(v) = (c(Iv) + d, h). Therefore,
distφ(u, v) ≤

((c(Iv) + d) − (c(Iu) − d))2 + (h + h)2
≤

(1 − t + 2d)2 + 4h2
≤

(1 − 4d + 2d)2 + 4(d − d2) = 1.
Case 3: r(Iu) = ℓ(Iv). In this case, u and v are adjacent if and only if both the right end of Iu and the left end of Iv are
closed. Note that c(Iv) = c(Iu)+1 and p(Iv) = −p(Iu). Without loss of generality, we assume that p(Iu) = 1 and p(Iv) = −1.
We first assume that both the right end of Iu and the left end of Iv are closed. Now we have
φ(u) ∈ {(c(Iu), 0), (c(Iu) + d, h)},
φ(v) ∈ {(c(Iu) + 1, 0), (c(Iu) + 1 − d,−h)}.
Since ∥(c(Iu) + d, h), (c(Iu) + 1 − d,−h)∥ = 1, the four points form a rectangle of diagonal length 1. Thus distφ(u, v) ≤ 1.
Next we assume the other case. By symmetry, we may assume that the right end of Iu is open. Then we have
φ(u) ∈ {(c(Iu) − d, h), (c(Iu), h)},
φ(v) ∈ {(c(Iu) + 1, 0), (c(Iu) + 1,−h), (c(Iu) + 1 ± d,−h)}.
Clearly, (c(Iu)−d, h) has distance more than 1 from every candidate for φ(v). Also, it is obvious that (c(Iu), h) has distance
more than 1 from the candidates for φ(v) other than (c(Iu)+1−d,−h). Using the fact 0 < d < 2/3, we can show that the
distance
√
1 + 2d − 3d2 between (c(Iu), h) and (c(Iu) + 1 − d,−h) is also more than 1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Φ(v) =(c(Iv), 0) ถ้า ช่วงปิด Iv(c(Iv), p(Iv) · h) ถ้า ช่วงเปิด Iv(c(Iv) − d, p(Iv) · h) ถ้า ช่วงที่ปิด – เปิด Iv และ(c(Iv) + d, p(Iv) · h) ถ้า Iv เป็นช่วงเวลาเปิด – ปิดให้ u และ v เป็นจุดยอดทั้งสองของกรัม เราสมมติ โดยไม่สูญเสีย generality, ℓ(Iv) ≤ที่ ℓ(Iu) เรามีสามต่อไปนี้กรณี:1. ช่วงมีไม่แยก นั่นคือ r(Iu) < ℓ(Iv)2. ช่วงเวลาทับซ้อน นั่นคือ r(Iu) > ℓ(Iv)3.ช่วงสัมผัส นั่นคือ r(Iu) = ℓ(Iv)กรณีที่ 1: r(Iu) < ℓ(Iv) ในกรณีนี้ และ v ไม่ติด Distφ พัก (u, v) ถูกย่อเล็กสุดเมื่อ φ(u) = (c(Iu) +d, h) และ φ(v) = (c(Iv) − d, h) ดังนั้นdistφ (u, v) ≥ (c(Iv) − d) − (c(Iu) + d) ≥ 1 + s − 2d > 1กรณีที่ 2: r(Iu) > ℓ(Iv) ในกรณีนี้ และ v อยู่ติดกัน Distφ พัก (u, v) ถูกขยายเมื่อ φ(u) = (c(Iu)−d,−h)และ φ(v) = (c(Iv) + d, h) ดังนั้นdistφ (u, v) ≤((c(Iv) + d) (c(Iu) − d) −) 2 (h + h) 2≤(T 1 − + 2d) 2 + 4 h 2≤(1 − 4d + 2d) 2 + 4(d − d2) = 1กรณีที่ 3: r(Iu) = ℓ(Iv) ในกรณีนี้ u และ v เป็นติดถ้าและเดียวของ Iu และซ้ายสุดของ Ivปิด หมายเหตุที่ c(Iv) = c (Iu) + 1 และ p(Iv) = −p(Iu) โดยไม่สูญเสีย generality เราสมมติว่า p(Iu) = 1 และ p(Iv) = −1เราต้องสมมติว่า ของ Iu และซ้ายสุดของ Iv ถูกปิด ขณะนี้ เรามีΦ(u) ∈ { (c(Iu), 0), (c(Iu) + d, h) },Φ(v) ∈ { (c(Iu) + 1, 0), (c(Iu) + 1 − d, −h) }ตั้งแต่ ∥(c(Iu) + d, h), (c(Iu) + 1 − d, −h) ∥ = 1 แบบสี่จุดสี่เหลี่ยมความยาวเส้นทแยงมุม 1 ดังนั้น distφ (u, v) ≤ 1ต่อไป เราถือว่ากรณีอื่น ๆ โดยสมมาตร เราอาจคิดว่าของ Iu เปิด แล้ว เรามีΦ(u) ∈ { (c(Iu) − d, h), (c(Iu), h) },Φ(v) ∈ { (c(Iu) + 1, 0), (c(Iu) + 1, −h), (c(Iu) + 1 ± d, −h) }ชัดเจน, (c (Iu) −d, h) ได้เที่ยวมากกว่า 1 จากผู้สมัครทุกสำหรับ φ(v) ยัง เป็นที่ชัดเจนว่า (c(Iu), h) มีระยะห่างมากกว่า 1 จากผู้สมัครสำหรับ φ(v) อื่น ๆ (c(Iu)+1−d,−h) ใช้จริง 0 < d < 2/3 เราสามารถแสดงว่าการห่างจากที่พัก√1 + 2d − 3d 2 ระหว่าง (c(Iu), h) และ (c(Iu) + 1 − d, −h) นอกจากนี้ยังมีมากกว่า 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

φ (V) =


(ค (iv), 0) Iv ถ้าเป็นช่วงเวลาปิด
(ค (iv) พี (iv) ·เอช) ถ้า Iv เป็นช่วงเปิด
(ค (iv) - d พี (iv) ·เอช) ถ้า Iv เป็นช่วงเวลาปิดเปิดและ
(ค (iv) + d พี (iv) ·เอช) ถ้า Iv เป็นช่วงเวลาเปิดปิด.
ให้ u และ v เป็นสอง จุดของกรัมเราคิดโดยไม่สูญเสียทั่วไปที่ℓ (Iu) ≤ℓ (iv) เรามีดังต่อไปนี้
กรณี
ที่ 1 ช่วงเวลาที่มีจุดตัดไม่มี; นั่นคืออาร์ (Iu) <ℓ (iv)
2 ช่วงเวลาที่มีการทับซ้อนกัน; นั่นคืออาร์ (Iu)> ℓ (iv)
3 ช่วงเวลาที่มีการสัมผัส; ว่ามีอา (Iu) = ℓ (iv).
กรณีที่ 1: อาร์ (Iu) <ℓ (iv) ในกรณีนี้ u และ v ไม่ได้อยู่ติดกัน distφระยะทาง (ยูวี) จะลดลงเมื่อφ (มึง) = (c (Iu) +
d, เอช) และφ (V) = (c (iv) - D, เอช) ดังนั้น
distφ (ยูวี) ≥ (ค (iv) - ง) - (ค (Iu) + D) ≥ 1 + s - 2d> 1.
กรณีที่ 2: อาร์ (Iu)> ℓ (iv) ในกรณีนี้ u และ v เป็นที่อยู่ติดกัน distφระยะทาง (ยูวี) เป็น maximized เมื่อφ (มึง) = (c (Iu) -d, -h)
และφ (V) = (c (iv) + d, เอช) ดังนั้น
distφ (ยูวี) ≤

((ค (iv) + D) - (ค (Iu) - ง)) 2 + (h + เอช) 2
≤

(1 - เสื้อ + 2d) 2 + 4h2
≤

(1 - 4d + 2d) 2 + 4 (ง - d2) = 1.
กรณีที่ 3: อาร์ (Iu) = ℓ (iv) ในกรณีนี้ u และ v เป็นที่อยู่ติดกันและถ้าหากทั้งสองขวาสุดของ Iu และปลายด้านซ้ายของ Iv จะ
ปิด โปรดทราบว่าค (iv) = c (Iu) 1 p และ (iv) = -p (Iu) โดยไม่สูญเสียทั่วไปเราคิดว่าพี (Iu) = 1 และพี (iv) = -1.
ก่อนอื่นเราคิดว่าทั้งสองขวาสุดของ Iu และปลายด้านซ้ายของ Iv ปิด ตอนนี้เรามี
φ (มึง) ∈ {(ค (Iu), 0), (c (Iu) + d, เอช)}
φ (V) ∈ {(ค (Iu) + 1, 0), (c ( iu) + 1 - D, -h)}.
ตั้งแต่∥ (ค (Iu) + d, เอช) (ค (Iu) + 1 - D, -h) ∥ = 1 สี่จุดในรูปแบบของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวทแยง 1. ระยะเวลาดังนั้นdistφ (ยูวี) ≤ 1
ต่อไปเราถือว่ากรณีอื่น ๆ ตามสัดส่วนที่เราอาจคิดว่าขวาสุดของ Iu เปิด แล้วเรามี
φ (มึง) ∈ {(ค (Iu) - D, เอช) (ค (Iu), เอช)}
φ (V) ∈ {(ค (Iu) + 1, 0), (c ( iu) + 1 -h), (ค (Iu) + 1 ± d, -h)}.
เห็นได้ชัด (ค (Iu) -d, เอช) มีระยะทางกว่า 1 ผู้สมัครจากทุกφ (V) นอกจากนี้ก็เป็นที่ชัดเจนว่า (ค (Iu), เอช) มีระยะทาง
กว่า 1 จากผู้สมัครสำหรับφ (V) ที่นอกเหนือจาก (ค (Iu) + 1-D, -h) การใช้ความเป็นจริง 0 <d <2/3 เราสามารถแสดงให้เห็นว่า
ระยะ
√
1 + 2d - 3d2 ระหว่าง (ค (Iu), เอช) และ (ค (Iu) + 1 - D, -h) นอกจากนี้ยังเป็นมากกว่า 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

φ ( V ) =


( C ( 4 , 0 ) ถ้า IV เป็นช่วงปิด
( C ( , 4 ) , P ( IV ) ด้วย H ) ถ้า 4 คือช่วงเปิด
( C ( IV ) − D , P ( IV ) ด้วย 4 H ) ถ้า คือปิด–เปิดช่วงเวลาและ
( C ( i ) D , P ( IV ) ด้วย H ) ถ้า IV เป็น–เปิดปิด ช่วง ให้ u และ v
2 จุดของ เราถือว่าไม่มีการสูญเสียโดยทั่วไป ที่ℓ ( IU ) ≤ℓ ( IV ) เรามีสาม

ในกรณีต่อไปนี้ : 1 . ช่วงไม่มีแยก ;นั่นคือ R ( IU ) < ℓ ( IV )
2 ช่วงเวลาจะซ้อนกัน นั่นก็คือ R ( IU ) > ℓ ( IV ) ,
3 ช่วงเวลาที่สัมผัส คือ R ( IU ) = ℓ ( IV ) .
กรณีที่ 1 : R ( IU ) < ℓ ( IV ) ในกรณีนี้ , U และ V จะไม่ติดกัน ระยะทาง Dist φ ( u , v ) จะลดลงเมื่อφ ( U ) = ( c ( IU )
d , H ) และφ ( V ) = ( c ( IV ) − d , H ) ดังนั้น
Dist φ ( u , v ) ≥ ( C ( IV ) −− ( D ) C ( IU ) D ) ≥ 1 − 2 > 1 .
2 กรณี : R ( IU ) > ℓ ( IV )ในกรณีนี้ , U และ V ที่อยู่ติดกัน ระยะทาง Dist φ ( u , v ) เป็น maximized เมื่อφ ( U ) = ( c ( IU ) −−และ D , H )
φ ( V ) = ( c ( i ) d , H ) ดังนั้น
Dist φ ( U , V ) ≤

( C ( i ) D ) − ( − C ( IU ) D ) 2 ( H H ) 2


( ≤ 1 − 2 4h2
2 T )

( ≤ 1 − 4D 2D ) 2 4 ( D − D2 ) = 1 .
กรณีที่ 3 R ( IU ) = ℓ ( IV ) ในกรณีนี้ , U และ V จะอยู่ติดกัน ถ้าและเพียงถ้าทั้งขวาสุดและซ้ายสุดของไอยู
4 คือปิด ทราบว่า C ( 4 ) = C ( IU ) และ P ( 4 ) = − P ( IU ) โดยไม่สูญเสียโดยทั่วไปเราสมมติว่า P ( IU ) = 1 และ P ( 4 ) = − 1 .
เราคิดว่าทั้งขวาสุดและซ้ายสุดของไอยู 4 ถูกปิด ตอนนี้เราได้
φ ( U ) ∈ { ( c ( IU ) , 0 ) , ( C ( IU ) d , H ) } ,
φ ( V ) ∈ { ( c ( IU ) 1 , 0 ) , ( C ( IU ) −− 1 D , H ) } .
ตั้งแต่∥ ( C ( IU ) d , h ) , ( C ( IU ) −− 1 D , H ) ∥ = 1สี่จุดรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความยาวของเส้นทแยงมุม 1 ดังนั้น Dist φ ( u , v ) ≤ 1 .
ต่อไป เราถือว่า กรณีอื่น ๆ โดยสมมาตร เราอาจสันนิษฐานว่า ขวาสุดของ IU จะเปิด แล้วเราได้
φ ( U ) ∈ { ( c ( IU ) − D , h ) , ( C ( IU ) , H ) } ,
φ ( V ) ∈ { ( c ( IU ) 1 , 0 ) , ( C ( IU ) 1 , − H ) ( C ( IU ) 1 ± D − H ) } .
อย่างชัดเจน ( C ( IU ) − d , H ) มีระยะทางมากกว่า 1 จากผู้สมัครทุกφ ( V ) นอกจากนี้มันเป็นที่ชัดเจนว่า ( C ( IU ) H ) มีระยะทาง
มากกว่า 1 จากผู้สมัครφ ( V ) นอกเหนือจาก ( C ( IU ) −− 1 D , H ) การใช้ความจริง 0 < D < 2 / 3 , เราสามารถแสดงได้ว่า ระยะทาง√


1 − 2 3d2 ( ระหว่าง C ( IU ) H ) และ ( C ( IU ) −− 1 D , H ) เป็นมากกว่า 1