The pressure depends on both the frequency of collisions with the walls and the
force of each collision. Both the frequency of the collisions and their force are
reduced by the attractive interactions, which act with a strength proportional to
the molar concentration, n/V, of molecules in the sample. Therefore, because both
the frequency and the force of the collisions are reduced by the attractive interactions,
the pressure is reduced in proportion to the square of this concentration.
If the reduction of pressure is written as −a(n/V)2, where a is a positive constant
characteristic of each gas, the combined effect of the repulsive and attractive forces
is the van der Waals equation of state as expressed in eqn 1.21.
In this Justification we have built the van der Waals equation using vague arguments
about the volumes of molecules and the effects of forces. The equation can be
derived in other ways, but the present method has the advantage that it shows how
to derive the form of an equation from general ideas. The derivation also has the
advantage of keeping imprecise the significance of the coefficients a and b: they
are much better regarded as empirical parameters that represent attractions and
repulsions, respectively, rather than as precisely defined molecular properties.
Example 1.4 Using the van der Waals equation to estimate a molar volume
Estimate the molar volume of CO2 at 500 K and 100 atm by treating it as a van der
Waals gas.
Method We need to find an expression for the molar volume by solving the van
der Waals equation, eqn 1.21b. To do so, we multiply both sides of the equation by
(Vm − b)V2m
, to obtain
(Vm − b)V2m
p = RTV2m
− (Vm − b)a
Then, after division by p, collect powers of Vm to obtain
V3m
− b + V2m
+ Vm− =0
Although closed expressions for the roots of a cubic equation can be given, they
are very complicated. Unless analytical solutions are essential, it is usually more
expedient to solve such equations with commercial software; graphing calculators
can also be used to help identify the acceptable root.
Answer According to Table 1.6, a = 3.610 dm6 atm mol−2 and b = 4.29 × 10−2 dm3
mol−1. Under the stated conditions, RT/p = 0.410 dm3 mol−1. The coefficients in
the equation for Vm are therefore
b + RT/p = 0.453 dm3 mol−1
a/p = 3.61 × 10−2 (dm3 mol−1)2
ab/p = 1.55 × 10−3 (dm3 mol−1)3
Therefore, on writing x = Vm/(dm3 mol−1), the equation to solve is
x3 − 0.453x2 + (3.61 × 10−2)x − (1.55 × 10−3) = 0
The acceptable root is x = 0.366 (Fig. 1.18), which implies that Vm = 0.366 dm3 mol−1.
For a perfect gas under these conditions, the molar volume is 0.410 dm3 mol−1.
Self-test 1.5 Calculate the molar volume of argon at 100°C and 100 atm on the
assumption that it is a van der Waals gas. [0.298 dm3 mol−1]
ความดันขึ้นอยู่กับความถี่ของการชนกับผนังและ
บังคับของแต่ละชน . ทั้งความถี่ของการชนและแรงของพวกเขา
ลดลงปฏิสัมพันธ์มีเสน่ห์ซึ่งแสดงด้วยพลังสัดส่วน
กรามสมาธิ , N / V , โมเลกุลในตัวอย่าง ดังนั้น เพราะทั้งคู่
ความถี่และความแรงของการชนลดลงปฏิสัมพันธ์มีเสน่ห์ ,
ความดันจะลดลงตามสัดส่วนของสี่เหลี่ยมของความเข้มข้นนี้ .
ถ้าลดความดันเป็นเขียนเป็น− ( N / V ) 2 ที่เป็นลักษณะคงที่
บวกของแต่ละผลรวมของแก๊ส กองกำลังมีเสน่ห์น่ารังเกียจและ
เป็นแรงแวนเดอร์วาลส์สมการของรัฐตามที่แสดงใน eqn 121 .
ในเหตุผลนี้เราได้สร้างสมการแวนเดอร์วาลส์ใช้คลุมเครือเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์
ปริมาณของโมเลกุล และผลของแรงที่ สมการสามารถ
ได้มาวิธีอื่น แต่วิธีการนำเสนอที่มีประโยชน์ที่แสดงให้เห็นว่า
เพื่อสืบทอดรูปแบบของสมการจากความคิดทั่วไป มาก็มี
ประโยชน์ของการรักษาไม่แน่ชัด ความสำคัญของสัมประสิทธิ์ a และ b :
ได้ดีมาก ถือเป็นการศึกษาพารามิเตอร์ที่แสดงแหล่งท่องเที่ยวและ
repulsions ตามลำดับ แทนที่จะเป็นอย่างแม่นยำกำหนดโมเลกุลคุณสมบัติ .
ตัวอย่าง 1.4 ใช้แวนเดอวาลส์สมการเพื่อประมาณค่า
กรามกรามของ CO2 ที่ 500 K และ 100 ตู้ โดยถือว่าเป็น แวน เดอร์
วาลส์แก๊ส
วิธีเราจำเป็นต้องหาการแสดงออกที่กราม โดยการแก้สมการแวนเดอร์วาลส์ eqn
, 1.21b โดยให้เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย
( VM − 2 ) v2m ขอรับ
( VM − 2 ) v2m
p
− ( rtv2m VM − B )
จากนั้นหารด้วย p , รวบรวมพลังของ VM เพื่อขอรับ
b v3m −− = 0 =
v2m VM ถึงแม้ว่าการแสดงออกปิดรากของสมการลูกบาศก์สามารถให้พวกเขา
จะซับซ้อนมาก นอกจากการแก้ปัญหาวิเคราะห์เป็นสิ่งจำเป็น มันมักจะมากกว่า
สมควรแก้สมการเช่นกับซอฟต์แวร์เชิงพาณิชย์ ; กราฟเครื่องคิดเลข
ยังสามารถใช้เพื่อช่วยระบุรากที่ยอมรับ .
ตอบตามตาราง 1.6 = 3.610 dm6 ATM mol − 2 และ B = 4.29 × 10 − 2 dm3
mol − 1 ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุไว้ , RT / p = 0.410 dm3 mol − 1 ค่าสัมประสิทธิ์ใน
สมการสำหรับ VM จึง
b RT / p = ) dm3 mol − 1
/ P = 3.61 × 10 − 2 ( dm3 mol − 1 ) 2
AB / p = 1.55 × 10 − 3 ( dm3 mol − 1 ) 3
ดังนั้นในการเขียน x = VM / ( dm3 mol − 1 ) , สมการแก้ไขเป็น
3 − 0.453x2 ( 3.61 × 10 − ( − 2 ) x 1.55 × 10 − 1 ) = 0 =
รากที่ยอมรับได้คือ x = 0.366 ( รูปที่ 4 ) ซึ่งแสดงให้เห็นว่า VM = 0.366 dm3 mol − 1 .
สำหรับก๊าซสมบูรณ์แบบภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ปริมาณกรามคือ 0.410 dm3 mol − 1 .
ทดสอบตนเอง 1.5 คำนวณปริมาตรโมลาร์ของอาร์กอนที่ 100 องศา C และ 100 ตู้บน
สมมติฐานที่ว่ามันเป็นแรงแวนเดอร์วาลส์ก๊าซ [ 0.298 dm3 mol − 1 ]
การแปล กรุณารอสักครู่..
![](//thimg.ilovetranslation.com/pic/loading_3.gif?v=b9814dd30c1d7c59_8619)