The pressure depends on both the fr

The pressure depends on both the frequency of collisions with the walls and the
force of each collision. Both the frequency of the collisions and their force are
reduced by the attractive interactions, which act with a strength proportional to
the molar concentration, n/V, of molecules in the sample. Therefore, because both
the frequency and the force of the collisions are reduced by the attractive interactions,
the pressure is reduced in proportion to the square of this concentration.
If the reduction of pressure is written as −a(n/V)2, where a is a positive constant
characteristic of each gas, the combined effect of the repulsive and attractive forces
is the van der Waals equation of state as expressed in eqn 1.21.
In this Justification we have built the van der Waals equation using vague arguments
about the volumes of molecules and the effects of forces. The equation can be
derived in other ways, but the present method has the advantage that it shows how
to derive the form of an equation from general ideas. The derivation also has the
advantage of keeping imprecise the significance of the coefficients a and b: they
are much better regarded as empirical parameters that represent attractions and
repulsions, respectively, rather than as precisely defined molecular properties.
Example 1.4 Using the van der Waals equation to estimate a molar volume
Estimate the molar volume of CO2 at 500 K and 100 atm by treating it as a van der
Waals gas.
Method We need to find an expression for the molar volume by solving the van
der Waals equation, eqn 1.21b. To do so, we multiply both sides of the equation by
(Vm − b)V2m
, to obtain
(Vm − b)V2m
p = RTV2m
− (Vm − b)a
Then, after division by p, collect powers of Vm to obtain
V3m
− b + V2m
+ Vm− =0
Although closed expressions for the roots of a cubic equation can be given, they
are very complicated. Unless analytical solutions are essential, it is usually more
expedient to solve such equations with commercial software; graphing calculators
can also be used to help identify the acceptable root.
Answer According to Table 1.6, a = 3.610 dm6 atm mol−2 and b = 4.29 × 10−2 dm3
mol−1. Under the stated conditions, RT/p = 0.410 dm3 mol−1. The coefficients in
the equation for Vm are therefore
b + RT/p = 0.453 dm3 mol−1
a/p = 3.61 × 10−2 (dm3 mol−1)2
ab/p = 1.55 × 10−3 (dm3 mol−1)3
Therefore, on writing x = Vm/(dm3 mol−1), the equation to solve is
x3 − 0.453x2 + (3.61 × 10−2)x − (1.55 × 10−3) = 0
The acceptable root is x = 0.366 (Fig. 1.18), which implies that Vm = 0.366 dm3 mol−1.
For a perfect gas under these conditions, the molar volume is 0.410 dm3 mol−1.
Self-test 1.5 Calculate the molar volume of argon at 100°C and 100 atm on the
assumption that it is a van der Waals gas. [0.298 dm3 mol−1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความดันขึ้นอยู่กับความถี่ทั้งของไม่เกิดการชนกับผนังและกองทัพของชนแต่ละ มีทั้งความถี่ที่ไม่เกิดการชนและกองทัพของพวกเขาลดลงน่าโต้ตอบ ซึ่งดำเนินการ ด้วยความแข็งแรงเป็นสัดส่วนกับสบความเข้มข้น n/V ของโมเลกุลในตัวอย่าง ดังนั้น เนื่องจากทั้งสองความถี่และแรงตามที่จะลดลงตามการโต้ตอบที่น่าสนใจความดันจะลดลงสัดกำลังสองของความเข้มข้นนี้ถ้าลดความดันเขียนเป็น −a(n/V) 2 ที่เป็นค่าคงเป็นค่าบวกลักษณะของแต่ละแก๊ส บังคับผลรวมของ repulsive และน่าสนใจเป็นสมการของ van der Waals รัฐ ตาม eqn 1.21ในเหตุผลนี้ เราได้สร้างสมการ van der Waals ใช้อาร์กิวเมนต์ที่คลุมเครือเกี่ยวกับปริมาณของโมเลกุลและลักษณะพิเศษของกองทัพ สมการเป็นมาในรูปแบบอื่น ๆ แต่วิธีการนำเสนอมีประโยชน์ที่จะแสดงอย่างไรสามารถรับแบบฟอร์มของสมการจากความคิดทั่วไป มีที่มาประโยชน์ของการรักษา imprecise นัยสำคัญของสัมประสิทธิ์การ b:และพวกเขามีมากดีกว่าถือเป็นพารามิเตอร์ประจักษ์ที่แสดงถึงสถานที่ท่องเที่ยว และrepulsions ตามลำดับ แทนที่แม่นยำกำหนดคุณสมบัติของโมเลกุลตัวอย่าง 1.4 ใช้สมการของ van der Waals เพื่อประเมินปริมาตรสบประเมินสบปริมาณ CO2 ที่ 500 K และ 100 atm โดยรักษาเป็น der แวนWaals ก๊าซวิธีเราต้องค้นหานิพจน์สำหรับไดรฟ์ข้อมูลที่สบแก้รถสมการ der Waals, 1.21b eqn ให้ทำเช่นนั้น เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย(Vm − b) V2mได้รับ(Vm − b) V2mp = RTV2m− (Vm − b) เป็นจากนั้น หลังจากหารด้วย p รวบรวมอำนาจของ Vm จะได้รับV3m− b + V2m+ Vm− = 0แม้ว่าจะได้รับการปิดนิพจน์สำหรับรากของสมการลูกบาศก์ พวกเขามีความซับซ้อนมาก นอกจากวิธีวิเคราะห์จำเป็น เป็นมากกว่าปกติสะดวกในการแก้สมการดังกล่าวกับซอฟแวร์เชิงพาณิชย์ สร้างกราฟเครื่องคิดเลขยังสามารถใช้เพื่อช่วยระบุรากเป็นที่ยอมรับตอบตามตาราง 1.6 มี = 3.610 dm6 atm mol−2 และ b = 4.29 × 10−2 dm3mol−1 ภายใต้เงื่อนไขระบุไว้ RT/p = 0.410 dm3 mol−1 ค่าสัมประสิทธิ์ในดังสมการของ Vmb + RT/p = 0.453 dm3 mol−1แบบ / p = 3.61 × 10−2 (dm3 mol−1) 2ab/p = 1.55 × 10−3 (dm3 mol−1) 3ดังนั้น ในการเขียน x = Vm (dm3 mol−1), สมการแก้เป็นx 3 − 0.453x2 + (3.61 × 10−2) x − (1.55 × 10−3) = 0ยอมรับราก x = 0.366 (Fig. 1.18), ซึ่งหมายถึงการที่ Vm = 0.366 dm3 mol−1สำหรับแก๊สสมบูรณ์แบบภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ เสียงสบเป็น 0.410 dm3 mol−11.5 ทดสอบคำนวณปริมาตรสบของอาร์กอนที่ 100 ° C และ 100 atm ในการอัสสัมชัญเป็นแก๊ส van der Waals [0.298 dm3 mol−1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความดันขึ้นอยู่กับความถี่ของการชนกับผนังและที่มีผลบังคับใช้ของแต่ละชน
ทั้งความถี่ของการชนและแรงของพวกเขาจะถูกลดลงโดยการมีปฏิสัมพันธ์ที่น่าสนใจซึ่งทำหน้าที่ด้วยความแข็งแรงได้สัดส่วนกับความเข้มข้นของฟันกราม, n / V ของโมเลกุลในตัวอย่าง ดังนั้นเนื่องจากทั้งสองความถี่และแรงของการชนที่มีการลดลงโดยการมีปฏิสัมพันธ์ที่น่าสนใจ, ความดันจะลดลงในสัดส่วนที่ตารางของความเข้มข้นนี้. ถ้าการลดลงของความดันเขียนเป็น -a (n / V) ที่ 2 ซึ่ง เป็นบวกอย่างต่อเนื่องลักษณะของก๊าซแต่ละผลรวมของกองกำลังที่น่ารังเกียจและน่าสนใจเป็นฟานเดอสมWaals ของรัฐที่แสดงในสมการ 1.21. ในเหตุผลนี้เราได้สร้างสมแวนเดอร์ Waals โดยใช้ข้อโต้แย้งที่คลุมเครือเกี่ยวกับปริมาณ ของโมเลกุลและผลกระทบของกองกำลัง สมการที่สามารถมาในรูปแบบอื่น ๆ แต่วิธีการในปัจจุบันมีความได้เปรียบที่จะแสดงให้เห็นถึงวิธีการที่จะได้รับรูปแบบของสมการจากความคิดทั่วไปที่ มานอกจากนี้ยังมีประโยชน์ในการรักษาไม่แน่ชัดความสำคัญของค่าสัมประสิทธิ์ a และ b: พวกเขามีการยกย่องว่าดีมากเป็นพารามิเตอร์เชิงประจักษ์ที่เป็นตัวแทนของสถานที่ท่องเที่ยวและrepulsions ตามลำดับมากกว่าที่จะเป็นกำหนดไว้อย่างแม่นยำคุณสมบัติโมเลกุล. ตัวอย่าง 1.4 การใช้แวนเดอสม Waals เพื่อประเมินปริมาณกรามประมาณการปริมาณโมลของCO2 ที่ 500 และ 100 K ตู้เอทีเอ็มโดยการรักษาเป็นแวนเดอร์ก๊าซWaals. วิธีเราจะต้องพบการแสดงออกสำหรับปริมาณกรามโดยการแก้รถตู้der Waals สมการ, สม 1.21b ต้องการทำเช่นนั้นเราคูณทั้งสองข้างของสมการโดย(Vm - ข) V2m ที่จะได้รับ(Vm - ข) V2m p = RTV2m - (Vm - ข) จากนั้นหลังจากที่หารด้วยพีเก็บอำนาจของ Vm ที่จะได้รับV3m - B + V2m + Vm- = 0 ถึงแม้ว่าการแสดงออกที่ปิดสนิทสำหรับรากของสมลูกบาศก์สามารถให้พวกเขามีความซับซ้อนมาก ยกเว้นกรณีที่โซลูชั่นการวิเคราะห์ที่มีความจำเป็นมันเป็นเรื่องปกติมากขึ้นสมควรในการแก้สมการดังกล่าวกับซอฟต์แวร์เชิงพาณิชย์; เครื่องคิดเลขกราฟนอกจากนี้ยังสามารถนำมาใช้เพื่อช่วยในการระบุรากที่ยอมรับ. คำตอบตามตารางที่ 1.6 a = 3.610 DM6 ตู้เอทีเอ็ม mol-2 และ B = 4.29 × 10-2 dm3 mol-1 ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุไว้, RT / p = 0.410 dm3 mol-1 ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการ Vm จึงมีข+ RT / p = 0.453 dm3 mol-1 A / p = 3.61 × 10-2 (dm3 mol-1) 2 AB / p = 1.55 × 10-3 (dm3 mol-1 ) 3 ดังนั้นการเขียน x = Vm / (dm3 mol-1), สมการที่จะแก้ปัญหาคือx3 - 0.453x2 + (3.61 × 10-2) x - (1.55 × 10-3) = 0 รากที่ยอมรับได้คือ x = 0.366 (รูป. 1.18) ซึ่งแสดงให้เห็นว่า Vm = 0.366 dm3 mol-1. สำหรับก๊าซที่สมบูรณ์แบบภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ปริมาณกรามเป็น 0.410 dm3 mol-1. การทดสอบตัวเอง 1.5 การคำนวณปริมาณโมลของอาร์กอนที่ 100 ° C และ 100 ตู้เอทีเอ็มบนสมมติฐานที่ว่ามันเป็นก๊าซแวนเดอร์Waals [0.298 dm3 mol-1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความดันขึ้นอยู่กับความถี่ของการชนกับผนังและ
บังคับของแต่ละชน . ทั้งความถี่ของการชนและแรงของพวกเขา
ลดลงปฏิสัมพันธ์มีเสน่ห์ซึ่งแสดงด้วยพลังสัดส่วน
กรามสมาธิ , N / V , โมเลกุลในตัวอย่าง ดังนั้น เพราะทั้งคู่
ความถี่และความแรงของการชนลดลงปฏิสัมพันธ์มีเสน่ห์ ,
ความดันจะลดลงตามสัดส่วนของสี่เหลี่ยมของความเข้มข้นนี้ .
ถ้าลดความดันเป็นเขียนเป็น− ( N / V ) 2 ที่เป็นลักษณะคงที่
บวกของแต่ละผลรวมของแก๊ส กองกำลังมีเสน่ห์น่ารังเกียจและ
เป็นแรงแวนเดอร์วาลส์สมการของรัฐตามที่แสดงใน eqn 121 .
ในเหตุผลนี้เราได้สร้างสมการแวนเดอร์วาลส์ใช้คลุมเครือเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์
ปริมาณของโมเลกุล และผลของแรงที่ สมการสามารถ
ได้มาวิธีอื่น แต่วิธีการนำเสนอที่มีประโยชน์ที่แสดงให้เห็นว่า
เพื่อสืบทอดรูปแบบของสมการจากความคิดทั่วไป มาก็มี
ประโยชน์ของการรักษาไม่แน่ชัด ความสำคัญของสัมประสิทธิ์ a และ b :
ได้ดีมาก ถือเป็นการศึกษาพารามิเตอร์ที่แสดงแหล่งท่องเที่ยวและ
repulsions ตามลำดับ แทนที่จะเป็นอย่างแม่นยำกำหนดโมเลกุลคุณสมบัติ .
ตัวอย่าง 1.4 ใช้แวนเดอวาลส์สมการเพื่อประมาณค่า
กรามกรามของ CO2 ที่ 500 K และ 100 ตู้ โดยถือว่าเป็น แวน เดอร์
วาลส์แก๊ส
วิธีเราจำเป็นต้องหาการแสดงออกที่กราม โดยการแก้สมการแวนเดอร์วาลส์ eqn
, 1.21b โดยให้เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย
( VM − 2 ) v2m ขอรับ

( VM − 2 ) v2m
p
− ( rtv2m VM − B )
จากนั้นหารด้วย p , รวบรวมพลังของ VM เพื่อขอรับ

b v3m −− = 0 =

v2m VM ถึงแม้ว่าการแสดงออกปิดรากของสมการลูกบาศก์สามารถให้พวกเขา
จะซับซ้อนมาก นอกจากการแก้ปัญหาวิเคราะห์เป็นสิ่งจำเป็น มันมักจะมากกว่า
สมควรแก้สมการเช่นกับซอฟต์แวร์เชิงพาณิชย์ ; กราฟเครื่องคิดเลข
ยังสามารถใช้เพื่อช่วยระบุรากที่ยอมรับ .
ตอบตามตาราง 1.6 = 3.610 dm6 ATM mol − 2 และ B = 4.29 × 10 − 2 dm3
mol − 1 ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุไว้ , RT / p = 0.410 dm3 mol − 1 ค่าสัมประสิทธิ์ใน
สมการสำหรับ VM จึง
b RT / p = ) dm3 mol − 1
/ P = 3.61 × 10 − 2 ( dm3 mol − 1 ) 2
AB / p = 1.55 × 10 − 3 ( dm3 mol − 1 ) 3
ดังนั้นในการเขียน x = VM / ( dm3 mol − 1 ) , สมการแก้ไขเป็น
3 − 0.453x2 ( 3.61 × 10 − ( − 2 ) x 1.55 × 10 − 1 ) = 0 =
รากที่ยอมรับได้คือ x = 0.366 ( รูปที่ 4 ) ซึ่งแสดงให้เห็นว่า VM = 0.366 dm3 mol − 1 .
สำหรับก๊าซสมบูรณ์แบบภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ปริมาณกรามคือ 0.410 dm3 mol − 1 .
ทดสอบตนเอง 1.5 คำนวณปริมาตรโมลาร์ของอาร์กอนที่ 100 องศา C และ 100 ตู้บน
สมมติฐานที่ว่ามันเป็นแรงแวนเดอร์วาลส์ก๊าซ [ 0.298 dm3 mol − 1 ]