1.3 Leibnitz Rule for Differentiatio

1.3 Leibnitz Rule for Differentiation of Integrals

One of the methods that will be used to solve integral equations is the con-
version of the integral equation to an equivalent differential equation. The
conversion is achieved by using the well-known Leibnitz rule [4,6,7] for differ-
entiation of integrals.
Let f (x, t) be continuous and ∂f be continuous in a domain of the x-t
∂t
plane that includes the rectangle a x b, t0 t t1, and let
F (x) = h(x) f (x, t)dt, (1.105)

g(x)

then differentiation of the integral in (1.105) exists and is given by
F (x) = dF = f (x, h(x))dh(x) − f (x, g(x))dg(x) + h(x) ∂f (x, t)dt.

dx dx dx ∂x
g(x)
(1.106)
If g(x) = a and h(x) = b where a and b are constants, then the Leibnitz rule
(1.106) reduces to
F (x) = dF = b ∂f (x, t)dt, (1.107)

dx ∂x
a

which means that differentiation and integration can be interchanged such as
d b extdt = b textdt. (1.108)

dx
a a

It is interested to notice that Leibnitz rule is not applicable for the Abel’s
singular integral equation:
F (x) = x u(t) α dt, 0 < α < 1. (1.109)

0 (x − t)
The integrand in this equation does not satisfy the conditions that f (x, t)
be continuous and ∂f be continuous, because it is unbounded at x = t. We
∂t
illustrate the Leibnitz rule by the following examples.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.3 กฎ Leibnitz สำหรับความแตกต่างของอินทิกรั

หนึ่งในวิธีการที่จะใช้ในการแก้สมการหนึ่งคือ con-
รุ่นของสมการหนึ่งที่สมการเชิงอนุพันธ์เทียบเท่า การแปลง
จะทำได้โดยการใช้ที่รู้จักกันดีกฎ Leibnitz [4,6,7] สำหรับแตกต่าง-
entiation ของปริพันธ์
ให้ f (x, t) จะมีอย่างต่อเนื่องและ∂ F จะมีอย่างต่อเนื่องในโดเมนของ XT
∂ T
เครื่องบินที่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า AXB, t0 t-t1 และให้
f (x) h = (x) f (x, t) dt, (1.105)

g (x)

ความแตกต่างจากนั้นหนึ่งใน (1.105 ) มีอยู่และจะได้รับโดย
f (x) = df = f (x, H (x)) DH (x) - f (x, g (x)) DG (x) H (x) ∂ f (x, t) dt

DX DX DX ∂ x
g (x)
(1.106)
ถ้า g (x) = และ H (x) = b ที่ a และ b เป็นค่าคงที่แล้วกฎ Leibnitz
(1.106) ลด
f (x) = df = b ∂ f (x, t) dt, (1.107)

DX ∂ x


ซึ่งหมายความว่ามีความแตกต่างและบูรณาการสามารถ interchanged เช่น DB extdt
= b textdt (1.108)

DX


AA มันเป็นความสนใจที่จะสังเกตเห็นว่ากฎ Leibnitz ไม่สามารถใช้ได้กับสมการหนึ่งของอาเบลเอกพจน์

f (x) = xu (t) dt α, 0 <α <1 (1.109)

0 (x - t)
integrand ในสมการนี​​้ไม่พอใจเงื่อนไขที่ f (x, t)
ได้อย่างต่อเนื่องและ∂ F จะมีอย่างต่อเนื่องเพราะมีการมากมายที่ x t = เรา

T ∂แสดงให้เห็นถึงกฎ Leibnitz ตามตัวอย่างต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.3 Leibnitz กฎสำหรับ Differentiation ปริพันธ์

เป็นหนึ่งวิธีที่จะใช้ในการแก้สมการเป็นแอร์ -
รุ่นของสมการเป็นสมการ differential เทียบเท่ากับการ ใน
แปลงสามารถทำได้ โดยใช้กฎ Leibnitz รู้จัก [4,6,7] สำหรับ differ
entiation ของปริพันธ์
ให้ f (x, t) มีอย่างต่อเนื่อง และ ∂f อย่างต่อเนื่องในโดเมนของ x-t
∂t
เครื่องบินที่มีสี่เหลี่ยม x แบบ b, t0 t t1 และปล่อยให้
F (x) = h(x) f (x, t) dt, (1.105)

g(x)

แล้ว differentiation ของทฤษฎีบูรณาการใน (1.105) อยู่ และถูกกำหนดโดย
F (x) = dF = f (x, h(x))dh(x) − f (x, g(x))dg(x) h(x) ∂f (x, t) dt

dx dx dx ∂x
g(x)
(1.106)
ถ้า g(x) =การ และ h(x) = b ที่เป็น และ b คือ ค่าคงที่ แล้ว
(1.106) กฎ Leibnitz ลดให้
F (x) = dF = ∂f b (x, t) dt, (1.107)

dx ∂x
การ

ซึ่งหมายความ ว่า differentiation และรวมสามารถเป็น interchanged เช่น
d b extdt = b textdt (1.108)

dx
เป็น

สนใจสังเกตเห็น Leibnitz กฎนี้ไม่สามารถใช้ของเอ
สมการเป็นเอกพจน์:
F (x) = x u(t) α dt, 0 < α < 1 (1.109)

0 (x − t)
Integrand ในสมการนี้ไม่ตรงกับเงื่อนไขที่ f (x, t)
เป็นอย่างต่อเนื่อง และ ∂f อย่างต่อเนื่อง ได้งที่ที่ x = t เรา
∂t
แสดงกฎ Leibnitz อย่าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1.3 ไลบ - นิทซกฎข้อที่สำหรับ differentiation ของ integrals

หนึ่งในวิธีการที่จะนำมาใช้ในการแก้ไขปัญหาในตัวสมเป็นรุ่น - - -
ของสมการในตัวที่จะสมการ differential เทียบเท่ากับที่
การแปลงที่จะทำได้โดยใช้กฎข้อที่ไลบ - นิทซเป็นที่รู้จักกันอย่างดี[ 4,6,7 ]สำหรับ entiation differ -
ของ integrals
ปล่อยให้ F ( x T )ได้อย่างต่อเนื่องและ ∂f ได้อย่างต่อเนื่องในโดเมนของ X - T ∂t

เครื่องบินที่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ X / B , T 0 t t 1 ,และปล่อยให้
F ( X )= H ( X ) F ( X , T ) DT ,( 1.105 )

G ( X )

จากนั้น differentiation ของที่สำคัญใน( 1.105 )มีอยู่แล้วและจะได้รับโดย
F ( X )= DF = F ( x , H ( x ) DH ( x ) - F ( x , G ( x ) DG ( x ) H ( x ) ∂f ( x , T )วันที่ปรับปรุงล่าสุด

DX DX DX ∂x
G ( X )
( 1.106 )
หาก G ( X )=และ H ( X )= B ที่ A และ B มีค่าคงที่,แล้วไลบ - นิทซกฎข้อที่
( 1.106 )ช่วยลดการ
F ( X )= DF = B ∂f ( x T ) DT ( 1.107 )

∂x DX
ที่

ซึ่งหมายความว่าการประกอบและ differentiation สามารถสลับสับเปลี่ยนเช่น
D B extdt = B textdt . ( 1.108 )

DX
ที่ที่

มันมีความสนใจในการแจ้งให้ทราบว่าไลบ - นิทซกฎข้อที่ไม่ได้ใช้สำหรับ Abel Point ของ
ประหลาดในตัวสมการ:
F ( X )= x U ( T )กล้อง DT , 0 <กล้อง< 1 . ( 1.109 )

0 ( X - T )
integrand ในสมการนี้ไม่ได้ตามเงื่อนไขที่ F ( x T )
ได้อย่างต่อเนื่องและ ∂f ได้อย่างต่อเนื่องเนื่องจากเป็นอย่างไร้ขีดจำกัดที่ X = T

∂t เราแสดงให้เห็นถึงกฎข้อที่ไลบ - นิทซโดยตัวอย่างต่อไปนี้: