2.1.2. Hodograph transformTo fix th

2.1.2. Hodograph transform
To fix the conceptual framework, let us assume throughout this paper that the wave crest is located at in the moving frame. The condition (11) of irrotational flow allows us to define the velocity potential by

Equation (21)
Setting


we ensure that on the crest line, that is, for . Note that is odd and periodic with period L in the x-variable. In particular, for every integer j. Moreover, due to (19).

The stream function ψ, defined in section 2.1.1, and the velocity potential phgr are harmonic conjugate functions, with the complex mapping analytic throughout the fluid domain. It is convenient to perform the orientation-preserving conformal hodograph change of variables

Equation (22)
that transforms the free-boundary problem (17) into a nonlinear boundary-value problem for the harmonic function

Equation (23)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2.1.2. Hodograph แปลงแก้ไขกรอบแนวคิด ให้เราคิดตลอดทั้งนี้กระดาษที่ยอดคลื่นจะอยู่ในกรอบเคลื่อนไหว เงื่อนไข (11) ของกระแส irrotational ช่วยให้เราสามารถกำหนดความเร็วที่มีศักยภาพโดยสมการ (21)การตั้งค่าเราให้แน่ใจว่าบรรทัดเครสท์ นั่นคือ การ หมายเหตุที่แปลก และเป็นครั้งคราว ด้วย L รอบในตัวแปร x โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับทุกจำนวนเต็มเจ นอกจากนี้ เนื่องจาก (19)Ψฟังก์ชันการสตรีม กำหนดหัวข้อ 2.1.1 และ phgr เป็นความเร็วมีค่าฟังก์ชัน conjugate กับแมปโกดังทั่วทั้งโดเมน fluid ซับซ้อนได้ ดำเนินการปฐมนิเทศการรักษาสะดวก conformal hodograph การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรสมการที่ (22)ที่แปลงปัญหาขอบฟรี (17) เป็นปัญหาค่าขอบเขตไม่เชิงเส้นฟังก์ชันมีค่าสมการ (23)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2.1.2 Hodograph
เปลี่ยนเพื่อแก้ไขกรอบความคิดให้เราคิดตลอดกระดาษที่ยอดคลื่นตั้งอยู่ที่อยู่ในกรอบการย้าย สภาพ (11) ของการไหล irrotational ช่วยให้เราสามารถกำหนดความเร็วที่อาจเกิดขึ้นโดยสมการ(21) การตั้งค่าเรามั่นใจว่าในบรรทัดยอด, ที่อยู่, สำหรับ โปรดทราบว่าเป็นสิ่งที่แปลกและเป็นระยะที่มีรอบระยะเวลาบัญชี L x ที่ตัวแปร โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุกจำนวนเต็มญ นอกจากนี้เนื่องจากการ (19). ฟังก์ชั่นกระแสψที่กำหนดไว้ในส่วน 2.1.1 และความเร็วที่มีศักยภาพ phgr ที่มีฟังก์ชั่นเชื่อมประสานกับการทำแผนที่การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนตลอดโดเมนของเหลว มันเป็นความสะดวกในการดำเนินการเปลี่ยนแปลง hodograph มาตราส่วนการวางแนวทางรักษาของตัวแปรสมการ(22) ที่แปลงปัญหาฟรีเขตแดน (17) เป็นปัญหาค่าขอบเขตที่ไม่เป็นเชิงเส้นสำหรับฟังก์ชั่นฮาร์โมนิสมการ(23)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2.1.2 . ฮอโดกราฟเปลี่ยน
ซ่อมกรอบ ให้เราสมมติตลอดบทความนี้ที่ยอดคลื่นที่เคลื่อนที่อยู่ในกรอบ เงื่อนไข ( 11 ) irrotational ไหลช่วยให้เราสามารถกำหนดความเร็วที่อาจเกิดขึ้น โดยสมการ ( 21 )





เราให้แน่ใจว่า การตั้งค่าบนเส้นยอด นั่นคือสำหรับ หมายเหตุที่แปลกและระยะเวลาช่วงผมใน x-variable . โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุกจำนวนเต็ม J . นอกจากนี้เนื่องจาก ( 19 ) .

กระแสฟังก์ชันψที่กําหนดในส่วนตัว และความเร็วที่มีศักยภาพ phgr เป็นฮาร์มอนิกผันฟังก์ชันที่มีโดเมนที่ซับซ้อนการทำแผนที่เชิงวิเคราะห์ทั้งของเหลว มันสะดวกที่จะดําเนินการรักษามาตราส่วนฮอโดกราฟเปลี่ยนของตัวแปรสมการ ( 22 )

ที่แปลงปัญหาชายแดนฟรี ( 17 ) เป็นปัญหาค่าขอบแบบไม่เชิงเส้นสำหรับฟังก์ชันฮาร์มอนิก

( 23 ) สมการ