VI. BOUNCE MODELS We now consider t

VI. BOUNCE MODELS
We now consider the bounce models developed by Brody and Garwin, modified to include motion of the block and an off-center normal reaction force. In Sec. VII we will compare the results of these simplified models with the more complete analysis of Maw et al.5 Consider a ball of mass m and radius R incident at speed v1 , angular velocity v1 , and at an angle u 1 on a block of mass M, as shown in Fig. 7. We can ignore the gravitational force because it is much smaller than the impact force even for a low speed bounce. The equations of motion for the ball are N5mdvy /dt and F52mdvx /dt, where N is the normal reaction force, F is the friction force acting parallel to the surface, and vx , vy are the velocity components of the center of mass of the ball parallel and perpendicular to the surface, respectively. If N acts through a point a distance D behind the center of mass, then FR1ND5I dv/dt, where I is the moment of inertia about an axis through the center of the ball. The moment of inertia of a spherical ball is given by I5amR2, where a52/5 for a uniform solid sphere and a 52/3 for a thin spherical shell. A tennis ball can be approximated as a spherical shell with I52mR1 2 /3, where R1 is the average radius of the shell. The wall is typically about 6 mm thick, including a 3-mm-thick outer cloth cover. For the later calculations, we will take R533 mm, R1530 mm, and a 50.55. In a high speed impact a tennis ball may squash in half but for the low speed impacts studied in this paper, the ball radius remains approximately constant during the bounce. For simplicity, we also assume that D remains constant throughout the bounce or that the effect of a timevarying D can be represented by a constant value of D. The motion of the block is described by the relation F 5M dV/dt. The rebound speed v2 , spin v2 , angle u 2 , and the final block speed V2 , can be determined by taking the time integrals of N and F over the impact interval t, so that
where ey=-vy2 /vy1 is the coefficient of restitution in the vertical direction, and where vy1 is negative because the ball is incident in the negative y direction. We require a relation between F and N or a statement regarding energy conservation to determine the final state of the ball. We consider three possibilities, as follows. ~a! Pure sliding. If the ball slides throughout the bounce, then F5mN, where m is the coefficient of sliding friction. In this case it can be shown from Eqs. (1)–(3) that
These relations are independent of the mass of the block because the friction force on the ball does not depend on the mass or speed of the block. An interesting consequence is that the total energy loss is independent of the mass of the block even though the kinetic energy transferred to the block does depend on the mass of the block. ~b! Slide then roll. The bottom of the ball will come to rest on the block just at the end of the impact period if …….. , in which case we find from Eqs. (1), (4), and (5) that
where A=.…. If m is smaller than the value given by Eq. ~7!, then the ball will slide throughout the bounce. If m is larger, then the bottom of the ball will come to rest on the surface before the end of the impact period. A rigid ball would start rolling if the bottom of the ball comes to rest in which case the friction force would drop rapidly to a negligible value. Because there is no further change in spin or horizontal speed once a ball starts rolling, the final speed and spin of the ball is independent of the time at which the ball starts to roll. For the tennis ball results described above, ey50.75 60.02. If we take D50 and v150, then Eq. ~7! indicates that the ball will slide throughout the bounce if tan u1 ,0.19/m. On the smooth surface, m5F/N50.27, and hence the ball will slide if u 1,35°. This prediction is consistent with the results shown in Fig. 2. On the rough ~emery! surface, m varied from 0.7 to 1.0 depending on the incident angle. If we take m50.7 as a lower limit, then the ball will slide throughout the bounce only if u 1,15°. This prediction is consistent with the results shown in Fig. 3 because in both cases the ball did not slide throughout the bounce. Rather, the ball gripped the surface during the bounce, causing F to reverse direction. ~c! Slide then grip. Two approaches can be used to describe a ball that grips the surface when it bounces. One is to analyze its dynamical behavior numerically. The other is to ignore the dynamics and characterize the bounce in terms of the measured coefficients of restitution. The vertical bounce velocity of a ball is rarely calculated from first principles. It is more commonly specified by the measured vertical coef- ficient of restitution, ey . For example, a tennis ball bounces on a rigid surface with ey typically about 0.75. In the present context, the horizontal coefficient of restitution, ex , can be defined by the relation
where vx2Rv2V is the horizontal speed of a point at the bottom of the ball with respect to the block. This definition yields the result that ex51 for a perfectly elastic ball with no energy losses. If the ball rolls along the block before bouncing, then ex50. Garwin2 provided an elegant description of a superball simply by assuming that ex5ey51, but this approach does not provide any insights as to what actually happens during the bounce. Unlike ey , ex can be positive or negative. If a ball is incident at sufficiently small u 1 and without spin, then it can slide throughout the impact and will bounce with Rv2 ,(vx22V2), in which case ex,0. A value ex521 corresponds to a bounce on a frictionless surface where vx2 5vx1 and v25v1 . Alternatively, ex521 if a ball starts rolling at the beginning of the bounce and continues rolling throughout the bounce. If a ball grips the surface, then ex .0, but if the elastic energy stored in the horizontal direction is not completely recovered, then ex,1. The torque acting on the ball is given by
Conservation of angular momentum about a point at the bottom of the ball is therefore described by the relation
The bounce is completely determined if the initial conditions are specified together with appropriate values of ex , ey , and D. It is not appropriate to do so for a ball that slides throughout the bounce because then ex ~and possibly D) is a function of the incident angle. However, if a ball grips the surface, and if ex , ey , and D are all independent of the incident angle, then a description of the bounce in terms of ex , ey , and D would be very useful. Suppose that v150, ex50, D50, and a50.55. Then vx2 /vx150.645 if m/M50, and vx2 /vx150.665 if m/M 50.17 ~the tennis ball on wood block value!. If D/R is increased to 0.1 and ey50.75, then vx2 /vx150.645 10.113 tan u1 when m/M50. The effect of finite D is to increase both vx2 and v2 compared with the case where D 50 ~given that vy1 is negative!. The effect of finite positive ex is to decrease vx2 and to increase v2 . The bounce parameters listed in Table II can be used to determine values of both ex and D. These are listed in Table III. When a tennis ball grips the surface, ex is typically between 0.1 and 0.2, and D is typically about 2 mm. Two exceptions in Table III are the first entry, where the ball slides throughout the impact with ex,0, and the last tennis ball entry where the ball was incident with heavy topspin. In the latter case the friction force remained small throughout the bounce, there was almost no change in the horizontal speed or the spin, and hence the data are almost consistent with pure rolling throughout the bounce. Furthermore, D was slightly negative, a result that has previously been reported for balls that roll.10,11 The superball had a significantly higher value of ex than the other balls, but it was only half as large as the ideal ex51 superball analyzed by Garwin.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

VI. รุ่นตีกลับ ตอนนี้เราพิจารณารูปแบบตีกลับที่พัฒนา โดยโบรดีและ Garwin แก้ไขรวมเคลื่อนไหวบล็อคและแรงปฏิกิริยาปกติปิดศูนย์การ ใน VII วินาที เราจะเปรียบเทียบผลของโมเดลเหล่านี้ง่ายขึ้น ด้วยการวิเคราะห์แก่กระเพาะ et al.5 พิจารณาลูกบอลมวล m และรัศมี R ปัญหา ที่ความเร็ว v1 ความเร็วเชิงมุม v1 และ u เป็นมุม 1 บนบล็อกของมวล M ดังที่แสดงใน Fig. 7 เราสามารถละเว้นแรงความโน้มถ่วงเนื่องจากมีขนาดเล็กกว่าแรงผลกระทบสำหรับเด้งความเร็วต่ำ สมการของการเคลื่อนไหวสำหรับลูกใจ N5mdvy /dt F52mdvx /dt โดยที่ N คือ แรงปฏิกิริยาปกติ F คือการแรงเสียดทานแรงทำหน้าที่คู่ขนานวีผิว และ vx ส่วนประกอบของความเร็วของศูนย์กลางมวลของลูกบอลขนาน และตั้งฉากกับพื้นผิว ตามลำดับ ถ้า N กระทำผ่านจุดระยะทาง D หลังตัว มวล แล้ว FR1ND5I dv/dt ที่ฉันมีแรงเฉื่อยของช่วงเวลาเกี่ยวกับแกนผ่านลูก ความเฉื่อยของช่วงเวลาของลูกทรงกลมถูกกำหนด โดย I5amR2, a52/5 52/3 สำหรับเปลือกทรงกลมบางและรูปทรงกลมทึบ ลูกเทนนิสสามารถเลียนแบบเป็นทรงกลมเปลือกมี I52mR1 2 /3 รัศมีเฉลี่ยของเปลือก R1 ได้ ผนังเป็นปกติประมาณ 6 มม.หนา รวมปกผ้านอกหนา 3 mm สำหรับการคำนวณภายหลัง เราจะใช้ R533 mm, R1530 mm และเป็น 50.55 ในการความเร็วสูงผลกระทบต่อลูกเทนนิสอาจสควอชครึ่ง แต่ผลกระทบต่อความเร็วต่ำศึกษาในเอกสารนี้ รัศมีลูกจะประมาณระหว่างตีกลับ ราย เรายังคิดว่า D ยังคงคงที่ตลอดการตีกลับ หรือว่า สามารถแสดงผลของ timevarying D โดย D. ค่าคง มีอธิบายการเคลื่อนไหวของบล็อก โดยความสัมพันธ์ F 5M dV/dt ตอบสนองความเร็ว v2 หมุน v2 มุม u 2 และบล็อกสุดท้ายความเร็ว V2 สามารถกำหนดได้ โดยการปริพันธ์เวลา N และ F มากกว่า t ช่วงผลกระทบ ให้ey /vy1 = vy2 สัมประสิทธิ์ของ restitution ในทิศทางแนวตั้ง และ vy1 เป็นลบเนื่องจากลูกมีปัญหาในทิศทาง y ลบ เราต้องมีความสัมพันธ์ระหว่าง F และ N หรือคำสั่งเกี่ยวกับการอนุรักษ์พลังงานการตรวจสอบสถานะสุดท้ายของลูก เราพิจารณาไปที่สาม เป็นดังนี้ ~ การ Pure เลื่อน ถ้าลูกภาพนิ่งตลอดการตีกลับ แล้ว F5mN โดยที่ m คือ ค่าสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานเลื่อน ในกรณีนี้ มันสามารถถูกแสดงจาก Eqs (1)–(3) ที่ความสัมพันธ์เหล่านี้จะขึ้นอยู่กับมวลของบล็อกเนื่องจากแรงเสียดทานเป็นแรงลูกขึ้นอยู่กับมวลหรือความเร็วของบล็อก สัจจะที่น่าสนใจคือการสูญเสียพลังงานขึ้นอยู่กับมวลของบล็อกแม้ว่าพลังงานจลน์ที่โอนย้ายไปบล็อคขึ้นอยู่กับมวลของบล็อก ~ b ภาพนิ่ง แล้วม้วน ด้านล่างของลูกจะมาพักผ่อนในช่วงที่สิ้นสุดของรอบระยะเวลาผลกระทบถ้า... ในกรณี ที่เราพบจาก Eqs (1), (4), และ (5) ที่ซึ่ง A =... ถ้ามีขนาดเล็กกว่าค่าที่กำหนด โดย Eq. ~ 7 m !, แล้วลูกจะเลื่อนตลอดตีกลับ ถ้า m เป็นใหญ่ ด้านล่างของลูกจะมาพร้อมส่วนที่เหลือก่อนสิ้นระยะเวลาผลกระทบบนพื้นผิว ลูกแข็งจะเริ่มกลิ้งถ้าด้านล่างของลูกมาพักผ่อนในกรณี แรงแรงเสียดทานจะลดลงอย่างรวดเร็วค่าระยะ เนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงไปได้ ในการหมุน หรือความเร็วแนวนอนเมื่อลูกเริ่มกลิ้ง ความเร็วสุดท้าย การหมุนของลูก จะขึ้นอยู่กับเวลาที่ลูกเริ่มม้วน สำหรับสนามเทนนิสลูกผล ey50.75 อธิบายไว้ข้างต้น 60.02 ถ้าเราใช้ D50 และ v150 แล้ว Eq. ~ 7 บ่งชี้ว่า ลูกจะเลื่อนตลอดตีกลับถ้า tan u1, 0.19/m อย่างราบรื่น ผิว m5F/N50.27 และดังนั้น ลูกจะเลื่อนถ้าคุณ 1,35 ° การคาดเดานี้จะสอดคล้องกับผลลัพธ์ที่แสดงใน Fig. 2 ในการวางแผน ~ กากกะรุน ผิว m แตกต่างกันจาก 0.7 1.0 ขึ้นอยู่กับมุมแก้ไขปัญหา ถ้าเราใช้ m50.7 เป็นขีดจำกัดล่าง แล้วลูกจะเลื่อนตลอดเด้งเท่านั้นถ้าคุณ 1,15 ° พยากรณ์นี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่แสดงใน Fig. 3 เนื่องจากในกรณีทั้งสอง ลูกได้ไม่เลื่อนตลอดตีกลับได้ ค่อนข้าง ลูก gripped ผิวระหว่างตีกลับ F เพื่อกลับทิศทางทำให้เกิด ~ ซี ภาพนิ่งจากนั้นจับ แนวทางที่สองสามารถใช้อธิบายลูกที่ grips ผิวเมื่อมันเด้ง หนึ่งคือการวิเคราะห์พฤติกรรมของ dynamical เรียงตามตัวเลข อื่น ๆ คือการละเว้นการเปลี่ยนแปลง และลักษณะของการตีกลับในวัดสัมประสิทธิ์ restitution ไม่ค่อยมีคำนวณความเร็วแนวเด้งของลูกจากหลักแรก มากกว่าปกติระบุ โดยการวัดแนวตั้ง coef-ficient ของ restitution, ey ตัวอย่าง ลูกเทนนิสเด้งบนพื้นผิวแข็งกับ ey โดยทั่วไปเกี่ยวกับ 0.75 ในบริบทปัจจุบัน ค่าสัมประสิทธิ์แนวนอนของ restitution อดีต สามารถกำหนด โดยความสัมพันธ์ ที่ vx2Rv2V คือ ความเร็วแนวนอนของจุดที่ด้านล่างของลูกกับบล็อค คำนิยามนี้ทำให้ผลลัพธ์ที่ ex51 สำหรับลูกบอลยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์แบบโดยไม่สูญเสียพลังงาน ถ้าลูกกลิ้งตามบล็อคก่อนแสง แล้ว ex50 Garwin2 ให้คำอธิบายที่สง่างามของ superball มีเพียงโดยสมมติว่า ex5ey51 แต่วิธีการนี้ไม่ได้ให้ความเข้าใจใด ๆ เป็นสิ่งที่จริงเกิดขึ้นในระหว่างการตีกลับ ต่างจาก ey อดีตสามารถเป็นบวก หรือลบ ถ้าลูกเป็นปัญหา ที่เล็กพอ u 1 และ ไม่หมุน แล้วมันสามารถเลื่อนตลอดผลกระทบ และจะตีกลับ ด้วย Rv2, (vx22V2), ซึ่งอดีต 0 Ex521 ค่าที่สอดคล้องกับเด้งบนพื้นฝืดที่ vx2 5vx1 และ v25v1 หรือ ex521 ถ้าลูกเริ่มกลิ้งที่จุดเริ่มต้นของการตีกลับ และยังคงกลิ้งตลอดตีกลับ ถ้าพื้นผิว แล้วอดีต.0, grips ลูก แต่ถ้าเก็บพลังงานยืดหยุ่นใน ทิศทางแนวนอนจะไม่สมบูรณ์ กู้ แล้วอดีต 1 แรงบิดที่กระทำลูกถูกกำหนดโดยการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเกี่ยวกับจุดที่ด้านล่างของลูกดังได้อธิบายไว้ โดยความสัมพันธ์กำหนดตีกลับทั้งหมดถ้ามีระบุเงื่อนไขเริ่มต้นกับค่าของอดีต ey และ d ไม่เหมาะสมสำหรับลูกที่ภาพนิ่งตลอดการตีกลับเนื่องจากจากอดีตดัง ~ และอาจ D) คือฟังก์ชันของมุมเหตุการณ์ อย่างไรก็ตาม ถ้าลูก grips พื้นผิว และ ex, ey และ D มีทั้งหมดขึ้นอยู่กับมุมปัญหา แล้วคำอธิบายของการตีกลับในแง่ของอดีต ey และ D จะมีประโยชน์มาก สมมติว่า v150, ex50, D50 และ a50.55 แล้ว vx2 /vx150.645 ถ้า m/M50 และ vx2 /vx150.665 ถ้า m/M 50.17 ~ ลูกเทนนิสบนบล็อกไม้ค่า ถ้า D/R จะเพิ่มขึ้น 0.1 และ ey50.75 แล้ว vx2 /vx150.645 10.113 ตัน u1 เมื่อ m/M50 ผลของการจำกัด D จะเพิ่ม vx2 และ v2 เมื่อเทียบกับกรณีที่ D 50 ~ ที่ vy1 เป็นค่าลบ ผลของอดีตบวกจำกัดคือ การลด vx2 และเพิ่ม v2 พารามิเตอร์ตีกลับที่แสดงรายการในตาราง II สามารถใช้เพื่อกำหนดค่าของทั้งอดีตและ d เหล่านี้อยู่ในตาราง III เมื่อลูกเทนนิส grips ผิว อดีตจะอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 0.2 และ D โดยปกติประมาณ 2 มม. ข้อยกเว้นที่สองในตาราง III เป็นรายการแรก ที่ลูกสไลด์ตลอดผลกระทบกับแฟนเก่า 0 และรายการสุดท้ายเทนนิสลูกที่ลูกมีปัญหากับ topspin หนัก ในกรณีหลัง แรงแรงเสียดทานยังคงเล็กตลอดการตีกลับ มีแทบไม่เปลี่ยนแปลงความเร็วแนวนอนหรือการหมุน และดังนั้น ข้อมูลเกือบสอดคล้องกับกลิ้งบริสุทธิ์ตลอดตีกลับ นอกจากนี้ D ลบเล็กน้อย ผลลัพธ์ที่มีการรายงานก่อนหน้านี้สำหรับลูก roll.10,11 ที่ superball ที่มีราคาสูงมากค่าแฟนเก่ากว่าลูกอื่น ๆ แต่มันนอนใหญ่ superball ex51 เหมาะวิเคราะห์ โดย Garwin

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว รุ่น BOUNCE
ตอนนี้เราพิจารณารูปแบบการตีกลับการพัฒนาโดยโบรดี้และ Garwin แก้ไขที่จะรวมถึงการเคลื่อนไหวของบล็อกและปิดศูนย์แรงปฏิกิริยาปกติ ในวินาที ปกเกล้าเจ้าอยู่หัวเราจะเปรียบเทียบผลของรูปแบบที่เรียบง่ายเหล่านี้ด้วยการวิเคราะห์ที่สมบูรณ์มากขึ้นของกระเพาะปลา et al.5 พิจารณาลูกบอลมวลเมตรและรัศมี R เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่ความเร็ว v1, ความเร็วเชิงมุม v1 และที่มุมยู 1 ในบล็อกมวลหนึ่ง M ดังแสดงในรูปที่ 7. เราสามารถละเว้นแรงโน้มถ่วงเพราะมันมีขนาดเล็กกว่าแรงกระแทกได้สำหรับการตีกลับความเร็วต่ำ สมการการเคลื่อนที่สำหรับลูกที่มี N5mdvy / dt และ F52mdvx / dt ซึ่ง N คือแรงปฏิกิริยาปกติ F เป็นแรงเสียดทานที่กระทำขนานไปกับพื้นผิวและ vx, Vy เป็นส่วนประกอบความเร็วของศูนย์กลางของมวลของ ขนานลูกและตั้งฉากกับผิวตามลำดับ หากไม่มีการกระทำที่ผ่านจุด D ระยะหลังศูนย์กลางของมวลแล้ว FR1ND5I DV / dt ที่ฉันเป็นช่วงเวลาของความเฉื่อยรอบแกนที่ผ่านศูนย์ของลูก โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกทรงกลมจะได้รับโดย I5amR2 ที่ A52 / 5 ทรงกลมที่มั่นคงสม่ำเสมอและ 52/3 สำหรับเปลือกทรงกลมบาง ลูกเทนนิสสามารถห้วงเป็นเปลือกทรงกลม I52mR1 03/02 ที่ R1 เป็นรัศมีเฉลี่ยของเปลือก ผนังโดยทั่วไปจะมีประมาณ 6 มมหนารวมทั้ง 3 มมหนาผ้าฝาครอบด้านนอก สำหรับการคำนวณต่อมาเราจะ R533 มมมม R1530 และ 50.55 ในการส่งผลกระทบต่อความเร็วสูงลูกเทนนิสอาจสควอชในช่วงครึ่งปี แต่สำหรับผลกระทบต่อความเร็วต่ำการศึกษาในงานวิจัยนี้รัศมีลูกยังคงอยู่ในช่วงประมาณคงตีกลับ เพื่อความง่ายเรายังคิดว่า D คงที่ตลอดการตีกลับหรือว่าผลของ D timevarying ที่สามารถแสดงโดยค่าคงที่ของดีการเคลื่อนไหวของบล็อกที่อธิบายความสัมพันธ์ F 5M dV / dt ความเร็วในการตอบสนอง v2 หมุน v2 มุมยู 2 และความเร็วบล็อกสุดท้าย V2 สามารถกำหนดโดยการอินทิกรัเวลาของ n และ F
ในช่วงระยะเวลาส่งผลกระทบต่อตันเพื่อให้ที่เฮ้= -vy2 / vy1 คือค่าสัมประสิทธิ์ของ ชดใช้ความเสียหายในทิศทางแนวตั้งและสถานที่ที่ vy1 เป็นลบเพราะลูกเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในทิศทาง y ที่เชิงลบ เราจำเป็นต้องมีความสัมพันธ์ระหว่าง F และ N หรือคำสั่งเกี่ยวกับการอนุรักษ์พลังงานเพื่อตรวจสอบรัฐสุดท้ายของลูก เราพิจารณาความเป็นไปได้สามดังต่อไปนี้ ~ กัน! เลื่อนบริสุทธิ์ ถ้าลูกสไลด์ตลอดตีกลับแล้ว F5mN ที่ m คือค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานเลื่อน ในกรณีนี้มันจะแสดงให้เห็นจาก EQS (1) - (3)
ที่ความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นอิสระจากมวลของบล็อกเพราะแรงเสียดทานที่ลูกไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลหรือความเร็วของบล็อก ผลที่น่าสนใจคือการสูญเสียพลังงานทั้งหมดเป็นอิสระจากมวลของบล็อกแม้ว่าพลังงานจลน์โอนไปยังบล็อกไม่ขึ้นอยู่กับมวลของบล็อก ข ~! เลื่อนแล้วม้วน ด้านล่างของลูกจะมาพักผ่อนในบล็อกเพียง ณ วันสิ้นงวดผลกระทบถ้า ...... .. ซึ่งในกรณีที่เราพบจาก EQS (1) (4) และ (5)
ว่าที่A = ... . ถ้าม. มีขนาดเล็กกว่าค่าที่กำหนดโดยสมการ ~ 7 !, แล้วลูกจะเลื่อนตลอดตีกลับ หากเมตรมีขนาดใหญ่แล้วด้านล่างของลูกจะมาอยู่บนพื้นผิวก่อนที่จะสิ้นสุดระยะเวลาผลกระทบ ลูกแข็งจะเริ่มกลิ้งถ้าด้านล่างของลูกมาถึงส่วนที่เหลือซึ่งในกรณีที่แรงเสียดทานจะลดลงอย่างรวดเร็วเป็นค่าเล็กน้อย เพราะไม่มีการเปลี่ยนแปลงต่อไปในการหมุนหรือความเร็วในแนวนอนครั้งหนึ่งเคยเป็นลูกเริ่มกลิ้งความเร็วสุดท้ายและสปินของลูกเป็นอิสระจากเวลาที่ลูกเริ่มที่จะม้วน เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ลูกเทนนิสที่อธิบายข้างต้น ey50.75 60.02 ถ้าเราใช้เวลาและ D50 V150 แล้วสมการ ~ 7! แสดงให้เห็นว่าลูกจะเลื่อนตลอดตีกลับถ้า u1 สีน้ำตาล, 0.19 m / บนพื้นผิวเรียบ m5F / N50.27 และด้วยเหตุนี้ลูกจะเลื่อนถ้า u 1,35 ° ทำนายนี้มีความสอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ได้แสดงในรูป 2. ในทรายหยาบ ~! พื้นผิวที่แตกต่างกัน m 0.7-1.0 ขึ้นอยู่กับมุมเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ถ้าเราใช้เวลา m50.7 เป็นวงเงินที่ต่ำกว่าแล้วลูกจะเลื่อนตลอดเด้งเท่านั้นถ้าหาก 1,15 ° ทำนายนี้มีความสอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ได้แสดงในรูป 3 เพราะในทั้งสองกรณีลูกไม่เลื่อนตลอดตีกลับ แต่ลูกจับพื้นผิวในระหว่างการตีกลับทำให้ F ถึงทิศทางที่ย้อนกลับ ~ ค! เลื่อนแล้วจับ สองวิธีที่สามารถนำมาใช้เพื่ออธิบายว่าลูกจับพื้นผิวเมื่อมันตีกลับ หนึ่งคือการวิเคราะห์พฤติกรรมพลังของตัวเลข อื่น ๆ คือการละเว้นการเปลี่ยนแปลงและลักษณะการตีกลับในแง่ของค่าสัมประสิทธิ์การชดใช้ความเสียหายของวัด ความเร็วการตีกลับในแนวตั้งของลูกจะถูกคำนวณจากไม่ค่อยหลักการแรก มันเป็นที่ที่ระบุไว้มากกว่าปกติโดยวัด ficient coef- แนวตั้งของการชดใช้ความเสียหาย, เฮ้ ตัวอย่างเช่นการตีลูกเทนนิสบนพื้นผิวแข็งด้วยเฮ้ปกติประมาณ 0.75 ในบริบทปัจจุบันค่าสัมประสิทธิ์แนวนอนของการชดใช้ความเสียหายอดีตสามารถกำหนดโดยความสัมพันธ์ที่ vx2Rv2V คือความเร็วในแนวนอนของจุดที่ด้านล่างของลูกที่เกี่ยวกับการป้องกัน
คำนิยามนี้อัตราผลตอบแทนผลที่ ex51 สำหรับลูกยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์แบบด้วยการสูญเสียพลังงาน ถ้าลูกม้วนพร้อมบล็อกก่อนที่จะตีกลับแล้ว EX50 Garwin2 ให้คำอธิบายที่สง่างามของ Superball ง่ายๆโดยสมมติ ex5ey51 แต่วิธีนี้ไม่ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในระหว่างการตีกลับ ซึ่งแตกต่างจากเฮ้อดีตสามารถเป็นบวกหรือลบ ถ้าลูกเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่ยูขนาดเล็กพอที่ 1 และไม่มีการหมุนแล้วก็สามารถเลื่อนตลอดทั้งผลกระทบและจะเด้งกับ RV2 (vx22V2) ซึ่งในกรณีที่อดีต, 0 ex521 ค่าสอดคล้องกับการตีกลับบนพื้นผิวฝืดที่ 5vx1 VX2 และ v25v1 อีกทางเลือกหนึ่ง ex521 ถ้าลูกบอลกลิ้งเริ่มที่จุดเริ่มต้นของการตีกลับและยังคงกลิ้งตลอดตีกลับ ถ้าลูกจับพื้นผิวแล้วอดีต 0.0 แต่ถ้าพลังงานยืดหยุ่นเก็บไว้ในแนวนอนจะไม่หายแล้วอดีต 1 แรงบิดที่กระทำต่อลูกจะได้รับจากการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเกี่ยวกับจุดที่ด้านล่างของลูกอธิบายไว้ดังนั้นโดยความสัมพันธ์ที่ตีกลับมีความมุ่งมั่นอย่างสมบูรณ์หากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ระบุไว้พร้อมกับค่าที่เหมาะสมของอดีตเฮ้และD . มันไม่เหมาะสมที่จะทำเพื่อให้ลูกที่สไลด์ตลอดตีกลับแล้วเพราะอดีต ~ และอาจ D) เป็นฟังก์ชันของมุมเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ถ้าจับลูกพื้นผิวและถ้าอดีตเฮ้และ D เป็นอิสระจากทุกมุมเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้วคำอธิบายของการตีกลับในแง่ของอดีตเฮ้และ D จะมีประโยชน์มาก สมมติว่า V150, EX50, D50 และ a50.55 แล้วถ้า /vx150.645 VX2 เมตร / M50 และ /vx150.665 VX2 ถ้า m / m 50.17 ~ ลูกเทนนิสกับค่าบล็อกไม้ !. ถ้า D / R เพิ่มขึ้นเป็น 0.1 และ ey50.75 แล้ว VX2 /vx150.645 10.113 u1 สีน้ำตาลเมื่อเมตร / M50 ผลกระทบของการพัฒนา จำกัด คือการเพิ่ม VX2 และ v2 เมื่อเทียบกับกรณีที่ D 50 ~ ให้ที่ vy1 เป็นลบ !. ผลของอดีตบวกแน่นอนคือการลด VX2 และเพื่อเพิ่ม v2 พารามิเตอร์เด้งแสดงในตารางที่สองสามารถใช้ในการกำหนดค่าของทั้งอดีตและดีเหล่านี้จะปรากฏในตารางที่สาม เมื่อลูกเทนนิสจับพื้นผิวที่อดีตเป็นปกติระหว่าง 0.1 และ 0.2 และ D โดยทั่วไปจะมีประมาณ 2 มม สองข้อยกเว้นในตารางที่สามเป็นรายการแรกที่ลูกสไลด์ตลอดทั้งผลกระทบกับอดีต, 0, และเทนนิสรายการสุดท้ายบอลที่ลูกอยู่กับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น topspin หนัก ในกรณีหลังแรงเสียดทานที่ยังคงเล็ก ๆ ตลอดทั้งตีกลับไม่มีการเปลี่ยนแปลงเกือบจะไม่มีความเร็วในแนวนอนหรือสปินและด้วยเหตุนี้ข้อมูลเกือบจะสอดคล้องกับกลิ้งบริสุทธิ์ตลอดการตีกลับ นอกจาก D เป็นลบเล็กน้อยผลที่ได้รับก่อนหน้านี้รายงานสำหรับลูกที่ roll.10,11 Superball มีค่าที่สูงขึ้นอย่างมีนัยสำคัญของอดีตกว่าลูกอื่น ๆ แต่มันก็เป็นเพียงครึ่งหนึ่งเป็นใหญ่เป็น ex51 เหมาะวิเคราะห์ Superball โดย Garwin

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รุ่น vi . เด้ง
ตอนนี้เราจะพิจารณาเด้งโมเดลที่พัฒนาโดย garwin โบรดี้ และ แก้ไข รวมถึงการเคลื่อนไหวของบล็อกและการปิดศูนย์ปกติปฏิกิริยาแรง ในวินาที 7 . เราจะเปรียบเทียบผลเหล่านี้ง่ายด้วยรูปแบบการวิเคราะห์ที่สมบูรณ์มากขึ้นของทวด et al . 5 พิจารณาลูกบอลมวล m รัศมี r และเหตุการณ์ที่ความเร็ว V1 , V1 ความเร็วเชิงมุมและที่มุม u 1 ในบล็อกของมวล m ที่ ดังแสดงในรูปที่ 7 เราสามารถละเว้นแรงดึงดูดของมัน เพราะมันมีขนาดเล็กกว่าแรงกระแทกแม้เด้งความเร็วต่ำ สมการของการเคลื่อนไหวสำหรับบอล n5mdvy / DT แล้ว f52mdvx / DT โดยที่ n คือแรงปฏิกิริยาปกติ F คือแรงเสียดทานทำขนานกับพื้นและ VX ,วีเป็นส่วนประกอบความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของบอลขนานและตั้งฉากกับพื้นผิว ตามลำดับ ถ้าไม่ทำผ่านจุดระยะทาง D หลัง ศูนย์กลางของมวล แล้ว fr1nd5i DV / DT ที่ผมมีโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนผ่านศูนย์กลางของลูกบอล โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกทรงกลม i5amr2 ให้ ,ที่ a52 / 5 สำหรับทรงกลมทึบ เครื่องแบบและ 52 / 3 บางทรงกลมเปลือก ลูกเทนนิสสามารถประมาณค่าเป็นทรงกลม เปลือกกับ i52mr1 2 / 3 ที่ R1 เป็นรัศมีเฉลี่ยของเปลือก ผนังมักจะเกี่ยวกับหนา 6 มิลลิเมตร รวมถึง 3-mm-thick นอกผ้าคลุม สำหรับการคำนวณ ต่อมาเราก็จะใช้ r533 มม. r1530 มิลลิเมตร และ 50.55 .ในผลกระทบต่อความเร็วสูงลูกเทนนิสอาจสควอชในครึ่งแต่ความเร็วต่ำผลกระทบที่ศึกษาในงานวิจัยนี้ บอลยังคงคงที่ ในรัศมีประมาณ เด้ง พูดง่ายๆ เรายังคิดว่า D คงที่ตลอดการตีกลับหรือผลของกลับ D สามารถแทนได้ด้วยค่าคงที่ของ Dการเคลื่อนไหวของบล็อกคือการอธิบายโดยความสัมพันธ์ F 5 DV / DT . การตอบสนองความเร็ว V2 , ปั่น v2 u 2 มุม และสุดท้ายบล็อกความเร็ว V2 สามารถกำหนดโดยการสละเวลาควอนตัมของ N และ F มากกว่าผลกระทบต่อช่วงเวลา t ที่
ที่ EY = - vy2 / vy1 เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของการซ่อมแซมในทิศทางตามแนวตั้ง และที่ vy1 เป็นลบเพราะ ลูก คือ เหตุการณ์ในทางลบ และทิศทางเราต้องใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง F และ N หรือแถลงการณ์เกี่ยวกับการอนุรักษ์พลังงาน ตรวจสอบสถานะสุดท้ายของลูก เราพิจารณาความเป็นไปได้สามดังนี้ ~ ! เพียวเลื่อน ถ้าลูกสไลด์ตลอด เด้ง แล้ว f5mn โดยที่ M คือสัมประสิทธิ์ของการเลื่อนแรงเสียดทาน ในกรณีนี้มันสามารถแสดงได้จาก EQS . ( 1 ) - ( 3 )
ความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นอิสระของมวลของบล็อกเนื่องจากแรงเสียดทานในบอลไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลและความเร็วของบล็อก ผลที่น่าสนใจคือการสูญเสียพลังงานทั้งหมดที่เป็นอิสระของมวลของบล็อกแม้ว่าพลังงานจลน์ย้ายบล็อกจะขึ้นอยู่กับมวลของบล็อก ~ B สไลด์แล้วม้วนด้านล่างของลูกจะมาพักผ่อนในบล็อกในช่วงปลายของผลกระทบ ถ้า . . . . . ซึ่งในกรณีนี้เราหาจาก EQS . ( 1 ) , ( 4 ) และ ( 5 )
ที่ = . . . . . ถ้าเป็นขนาดเล็กกว่ามูลค่าที่ได้รับจากอีคิว ~ 7 แล้วลูกจะเลื่อนตลอดการตีกลับ ถ้าเป็นขนาดใหญ่ แล้วด้านล่างของลูกจะมาพักผ่อนบนพื้นผิวก่อนสิ้นสุดระยะเวลาผลกระทบบอลแข็งจะเริ่มกลิ้งถ้าด้านล่างของลูกมาพักผ่อนซึ่งในกรณีที่แรงเสียดทานจะลดลงอย่างรวดเร็วเป็นค่าเล็กน้อย เพราะไม่มีเพิ่มเติมเปลี่ยนแปลงหมุนหรือแนวนอนความเร็วเมื่อลูกเริ่มกลิ้ง , สุดท้ายความเร็วและสปินของลูกเป็นอิสระของเวลาที่ลูกเริ่มที่จะม้วน สำหรับเทนนิสบอลผลที่อธิบายไว้ข้างต้น ey50.75 60.02 .ถ้าเราใช้ D50 กับ v150 แล้วอีคิว ~ 7 พบว่าบอลจะเลื่อนตลอดเด้งถ้าตาล U1 0.19/m , บนพื้นผิวเรียบ m5f / n50.27 ดังนั้นลูกจะเลื่อน ถ้าคุณ 1,35 องศา . การทำนายนี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่แสดงในรูปที่ 2 บนทรายหยาบ ~ ! พื้นผิวที่หลากหลาย จาก M 0.7 1.0 ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ในมุม ถ้าเราใช้ m50.7 เป็นขีดจำกัดล่างแล้วลูกจะเลื่อนตลอดเด้งเท่านั้นถ้าหาก 1,15 องศา . การทำนายนี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่แสดงในรูปที่ 3 เพราะในทั้งสองกรณีลูกไม่ได้เลื่อนตลอดการตีกลับ ค่อนข้าง , บอลกระชับผิวระหว่างการตีกลับ ทำให้เกิด F กลับทิศทาง ~ C สไลด์แล้วจับ ทั้งสองวิธีสามารถใช้ในการอธิบายถึงลูกบอลที่ยึดพื้นผิวเมื่อมันตีกลับหนึ่งคือ เพื่อวิเคราะห์พฤติกรรมพลวัตของตัวเลข คนอื่นจะไม่สนใจการเปลี่ยนแปลงและลักษณะการตีกลับในแง่ของวัดค่าสัมประสิทธิ์ของการชดใช้ ในแนวดิ่ง ความเร็วของลูกบอลเด้งแทบจะคำนวณจากหลักการแรก มันเป็นมากกว่าปกติที่กำหนดโดยวัดแนวตั้ง coef - ficient ในการซ่อมแซม , ความคิดเห็น ตัวอย่างเช่นลูกเทนนิสเด้งบนพื้นผิวแข็งกับ EY โดยปกติประมาณ 0.75 . ในบริบทปัจจุบัน แบบแนวนอนของคืน , แฟนเก่า , จะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์
ที่ vx2rv2v เป็นแนวนอนความเร็วของจุดที่ด้านล่างของลูกเกี่ยวกับบล็อก คำนิยามนี้ผลผลิตผลที่ ex51 สำหรับลูกบอลยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์แบบไม่มีการสูญเสียพลังงานถ้าลูกบอลม้วนตามบล็อกก่อนเด้งแล้ว ex50 . garwin2 ให้รายละเอียดที่หรูหราของ superball เพียงแค่สมมติว่า ex5ey51 แต่วิธีการนี้ไม่ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในการตีกลับ ซึ่งแตกต่างจากเมื่ออดีตสามารถเป็นบวก หรือลบ ถ้าลูกเกิดที่เพียงพอขนาดเล็ก u 1 และไม่มีปั่นแล้วมันก็เลื่อนตลอดผลกระทบและจะตีกลับกับ rv2 ( vx22v2 ) ซึ่งในคดีอดีต 0 ค่า ex521 สอดคล้องกับตีกลับบนพื้นผิวที่ vx2 และไร้ 5vx1 v25v1 . อีกวิธีหนึ่งคือ ex521 ถ้าลูกบอลจะเริ่มหมุนไปที่จุดเริ่มต้นของตีกลับ และยังคงกลิ้งไปตีกลับ ถ้าลูกจับพื้นผิว แล้ว EX . 0แต่ถ้าพลังงานยืดหยุ่นเก็บไว้ในทิศทางแนวนอนไม่หายเป็นปกติ แล้ว EX 1 แรงบิดทำบอลให้โดย
การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเกี่ยวกับจุดที่ด้านล่างของลูกจึงอธิบายโดยความสัมพันธ์
เด้งทั้งหมดยืนยันว่า เงื่อนไขเบื้องต้นที่ระบุไว้พร้อมกับค่านิยมที่เหมาะสมของแฟนเก่า , EY และ Dมันไม่เหมาะสมที่จะทำเพื่อลูกที่สไลด์ทั่วตีกลับเพราะแฟนเก่า ~ D ) และอาจเป็นฟังก์ชันของมุม . แต่ถ้าลูกจับพื้นผิว ถ้าแฟนเก่า , ความคิดเห็น , และ D เป็นอิสระของมุม แล้วรายละเอียดของตีกลับในแง่ของแฟนเก่า , ความคิดเห็น , และ D จะมีประโยชน์มาก สมมติว่า v150 ex50 D50 , , , และ a50.55 . แล้ว vx2 / vx150 .ถ้า M / m50 และ vx2 / vx150.665 ถ้า M / M 50.17 ~ ลูกเทนนิสบนค่า บล็อคไม้ ถ้า D / R จะเพิ่มขึ้น 0.1 และ ey50.75 แล้ว vx2 / vx150.645 10.113 Tan U1 m / m50 เมื่อ . ผลของการจำกัด D คือเพิ่มทั้ง vx2 และ V2 เทียบกับกรณีที่ D 50 ~ ระบุว่า vy1 เป็นลบ ผลของวิธี บวก อดีตคือการลดและการเพิ่ม vx2 V2 .พารามิเตอร์ที่ระบุไว้ในตารางที่ 2 เด้งที่สามารถใช้เพื่อตรวจสอบค่าของทั้งอดีตและ เหล่านี้อยู่ในโต๊ะนั้น เมื่อลูกเทนนิสจับพื้นผิว อดีตเป็นปกติระหว่าง 0.1 และ 0.2 และ D เป็นปกติประมาณ 2 มิลลิเมตร ตารางที่ 3 มีข้อยกเว้นสองรายการแรกที่ลูกสไลด์ทั่วกระทบกับแฟนเก่า , 0 ,และสุดท้าย ลูกเทนนิส รายการที่ลูกเป็นเหตุการณ์สุดยอดหนัก ในกรณีหลังแรงเสียดทานยังคงขนาดเล็กตลอดเด้ง เกือบจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงในความเร็วแนวนอนหรือการหมุน ดังนั้นข้อมูลที่เกือบจะสอดคล้องกับกลิ้งบริสุทธิ์ตลอดการตีกลับ นอกจากนี้ , D แต่ลบผลที่ได้รับก่อนหน้านี้ได้รับรายงานลูกที่กลิ้ง 10,11 ที่ superball ได้สูงกว่ามูลค่าของอดีตกว่าลูกอื่น ๆแต่เป็นเพียงครึ่งเดียวของขนาดใหญ่เป็น ex51 เหมาะ superball โดยใช้ garwin .