TENSOR ANALYSIS 175RELATIVE AND ABS

TENSOR ANALYSIS 175
RELATIVE AND ABSOLUTE TENSORS. A tensor
Ap1... p'n
r1...rn is called a relative tensor of weight w
if its components transform according to the equation
Ag1...gl _ ax w Ap1.., pm azg1 azq i i axrn ... pix
axs1
...
axs1... sn ax r1... rn axp1 .sn
ax
where J =
2z I
is the Jacobian of the transformation. If w=0 the tensor is called absolute and is
the type of tensor with which we have been dealing above. If w= 1 the relative tensor is called a
tensor density. The operations of addition, multiplication, etc., of relative tensors are similar to
those of absolute tensors. See for example Problem 64.
SOLVED PROBLEMS
SUMMATION CONVENTION.
1. Write each of the following using the summation convention.
4 1 (a) dW = ax + '30
axe
dx2 + +
a0
dxN .
axN
(b)
dz k = a3F k dx1 + ax k dx2 + ... + ax k dxN
dt -ax1 dt ax2 dt ax' dt
(c) (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 + ... + (xN)2.
(d) ds 2 = g11(dx1)2 + g., (dx2)2 + gas (dx3)2 .
3 3
(e) }r g dxp dxq
p=1 q=1 p9
2. Write the terms in each of the following indicated sums.
N
(a) a , xk . }; a. xk = a x1 + a x2 + ... + ajN xN jk b=, jk
= (b) Apq Aqr. Apq Aqr
q=1
Ap1A1r + Ap2A2r + ...
d% = a0 dxq
dz k _ ax k dxy'
dt axrn dt
xk xk
ds2 = gkk dxk dxk , N=3
g pq dxp dxq, N= 3
+ ApNANr
(c)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

วิเคราะห์ TENSOR 175TENSORS แบบสัมพัทธ์ และแบบสัมบูรณ์ การ tensorAp1... p'nr1... rn คือ tensor ญาติของน้ำหนัก wถ้าคอมโพเนนต์แปลงตามสมการAg1... ax gl _ w Ap1 ... azq azg1 น.ฉันฉัน axrn... pixaxs1...axs1... sn ax r1... rn axp1 .snaxที่ J =2z ฉันเป็น Jacobian ของการแปลง ถ้า w = 0 tensor เรียกว่าสมบูรณ์ และมีชนิดของ tensor ซึ่งเราได้ติดต่อข้างต้น ถ้า w = 1 เรียกว่า tensor ญาติเป็นความหนาแน่นของ tensor การดำเนินการของการบวก คูณ ฯลฯ ของ tensors ญาติจะคล้ายกับที่นอน tensors ดูตัวอย่างปัญหา 64แก้ไขปัญหาที่ประชุมรวมกัน1. เขียนแต่ละต่อไปนี้ใช้การประชุมรวมกัน4 1 () dW = ax + ' 30ขวานdx2 ++a0dxNเอเอ็กซ์เอ็น(b)dz k = a3F k dx1 + ax k dx2 +... + ax k dxNdt-ax1 dt ax2 dt ax' dt(c) (x 1) 2 + (x 2) 2 + (x 3) 2 +... + (xN) 2(d) ds 2 = g11 (dx1) 2 + กรัม, (dx2) 2 + แก๊ส (dx3) 23 3(e) } r g dxp dxqp = 1 q = 1 p92. เขียนเงื่อนไขในแต่ละผลระบุต่อไปนี้N(ก) a, xk }; อ. xk = x 1 + x 2 +... + ajN xN jk b =, jk= (b) Apq Aqr Apq Aqrq = 1Ap1A1r + Ap2A2r + ...d % = a0 dxqdz k _ ax k dxy'dt axrn dtxk xkds2 gkk dxk dxk, N = 3 =dxq dxp pq g, N = 3+ ApNANr(c)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การวิเคราะห์ 175
สัมพัทธ์และสัมบูรณ์สั่งเมตริกซ์ . เมตริกซ์ ap1
. . . . . . . p'n
R1 . . . . . . . RN เรียกว่าเมตริกซ์สัมพัทธ์ของน้ำหนัก W
ถ้าคอมแปลงตามสมการ
ag1 GL _ ขวาน W . . . . . . . . . . . . . . ap1 PM azg1 azq ผม axrn . . . . . . . ปิ๊ก

axs1 axs1
. . . . . . . . . . . . . . SN ขวาน R1 . . . . . . . Rn axp1 . SN

J = ขวานที่ 2z ผม

เป็นจาโคเบียนของการแปลง ถ้า w = 0 เมตริกซ์แน่นอนและเป็น
เรียกว่าชนิดของเมตริกซ์ที่เรามีการจัดการด้านบน ถ้า W = 1 ญาติเรียกว่า
เมตริกซ์เมตริกซ์ความหนาแน่น การดำเนินงานของการบวก , การคูณ , ฯลฯ ของสั่งญาติกันแน่นอน

ผู้ที่สั่ง . เห็นตัวอย่างปัญหา 64 .

สรุปการประชุมแก้ไขปัญหา .
1 เขียนแต่ละต่อไปนี้โดยใช้การรวมการประชุม .
4 1 ( 1 ) DW = ขวาน ' 30

dx2 ขวาน
A0

dxn .AXN
( B )
k = a3f dx1 DZ K K dx2 ขวาน . . . . . . . ขวาน K dxn
DT - ax1 DT ax2 DT ขวาน ' DT
( C ) ( x1 ) 2 ( X2 ) 2 ( x3 ) 2 . . . . . . . ( คริสเตียน ) 2
( D ) DS 2 = G11 ( dx1 ) 2 กรัม ( 2 dx2 ) แก๊ส ( dx3 ) 2
3
( e ) } R G Dxp dxq
p = 1 Q = 1 P9
2 เขียนเงื่อนไขในแต่ละต่อไปนี้แสดงผลบวก .
n
( A ) , XK . } ; A . XK = x1 x2 . . . . . . . ajn คริสเตียนเจเคเจเค B =
= ( b ) apq AQR . apq AQR
Q = 1
ap1a1r ap2a2r . . . . . . .

dxq A0 d% =DZ K _ ขวาน K '

axrn DXY ดีที DT XK XK
DS2 = gkk dxk dxk , n = 3
g PQ Dxp dxq , n = 3
apnanr
( C )