GRAPH PLANARIZATIONMAURICIO G.C. RE

GRAPH PLANARIZATION
MAURICIO G.C. RESENDE AND CELSO C. RIBEIRO
Abstract. We survey graph planarization and related problems. We first
describe variants and applications of graph planarization. Then we focus on
algorithms. We begin by describing the branch-and-cut algorithm of J¨unger
and Mutzel (1996). Then, we review work on heuristics based on planarity
testing and those based on two-phase procedures. Finally, computational results
comparing algorithms for graph planarization are presented.
1. Introduction
A graph is said to be planar if it can be drawn on the plane in such a way
that no two of its edges cross. Given a graph G = (V,E) with vertex set V and
edge set E, the objective of graph planarization is to find a minimum cardinality
subset of edges F  E such that the graph G′ = (V,E F), resulting from the
removal of the edges in F from G, is planar. This problem is also known as the
maximum planar subgraph problem. A related and simpler problem is that of finding
a maximal planar subgraph, which is a planar subgraph G′ = (V,E′) of G such that
the addition of any edge e 2 E E′ to G′ destroys its planarity.
Graph planarization is known to be NP-hard [15]. The proof of NP-completeness
of its decision version is based on a transformation from the Hamiltonian path
problem restricted to bipartite graphs. Although exact methods for solving the
maximum planar subgraph problem have been recently proposed, most algorithms
to date attempt to find good approximate solutions.
In this article, we survey graph planarization and related problems. In the
next section, we describe variants and applications of the basic problem formulated
above. Next, we describe the branch-and-cut algorithm of J¨unger and Mutzel [11].
We then review work on heuristics based on planarity testing and those based on
two-phase procedures. Finally, computational results are considered.
2. Variants and applications
An application of graph planarization arises in the design of integrated circuits,
in which a graph describing the circuit has to be decomposed into a minimum
number of layers, each of which is a planar graph [13]. Other applications arise
from variants of the basic graph planarization problem.
One such variant is the maximum weighted planar graph problem, in which positive
weights are associated with the edges of the graph and one seeks a planar
subgraph of maximum weight. Note that the basic graph planarization problem is
a special case of the maximum weighted planar graph problem, in which all edge
Date: July 6, 1998.
To appear in Encyclopaedia of Optimization, Kluwer Academic Publishers, 1999.
AT&T Labs Research Technical Report: 98.15.1.
1
2 M. G. C. RESENDE AND C. C. RIBEIRO
weights are equal to one. An application of this problem to facility layout is described
in [9]. A graph is built in which the vertices represent the facilities and
the edges define the relationships between them. The weight of each edge is the
desirability that the two facilities that define the edge be adjacent in the design.
A maximum weighted planar subgraph corresponds to a feasible layout with maximum
benefit. In this paper, the authors also propose simulated annealing and tabu
search heuristics for the approximate solution of the maximum weighted planar
graph problem. Constructive heuristics based on maintaining a triangulated subgraph
while making node and edge insertions are given in Foulds and Robinson [7],
Eades, Foulds, and Giffin [4], and Leung [14].
Another related variant is that of drawing a given graph such that the number
of edge crossings is minimized. The crossing number problem has practical
applications in circuit design and graph drawing, such as in CASE tools [20] and
automated graphical display systems. One particular case is that of minimizing
straight-line crossings in layered graphs. A GRASP and path relinking approach
for the two-layer case is given in Laguna and Mart´ı [12], where one can also find
a survey of the literature. Algorithms for graph drawing are reviewed in Battista,
Eades, Tamassia, and Tollis [3].
In the planar augmentation problem, one wants to determine the minimum number
of edges that need to be added to a planar graph such that the resulting graph
is still planar and at least k-connected, where k is usually fixed to two or three.
This variant has applications in automatic graph drawing, as well as in the design
of survivable networks [17].
3. An exact algorithm
An exact branch-and-bound algorithm for the weighted graph planarization
problem was introduced by Foulds and Robinson [6], but was limited to small
dense graphs. Only recently has there been a leap in the performance of exact
methods for graph planarization with the branch-and-cut algorithm of J¨unger and
Mutzel [11], which we describe next.
Given a graph G = (V,E), their approach uses facet-defining inequalities for the
planar subgraph polytope PLS(G). Let xe be a 0-1 variable associated with each
edge e 2 E, such that xe = 1 if and only if edge e appears in the maximum planar
subgraph of G. Furthermore, let x(F) = Pe∈F xe, for F  E.
Trivial inequalities 0  xe  1 are implicitly handled by the linear programming
(LP) solver. The inequality x(E)  3|V |−6 is added to the initial linear program.
Let x be the optimal solution of the LP relaxation associated with some node of
the enumeration tree. For 0  ǫ  1, let Eǫ = {e 2 E | xe  1 − ǫ} and consider
the graph Gǫ = (V,Eǫ), to which the planarity-testing algorithm of Hopcroft and
Tarjan [10] is applied. The algorithm stops if it finds an edge set F which induces
a nonplanar graph in G. If the inequality x(F)  |F|−1 is violated, it is added to
the set of constraints of the current LP. The back edge of the path which proved
the nonplanarity of the graph induced in G by F is removed and the planaritytesting
algorithm proceeds, eventually identifying other forbidden subgraphs of the
graph Gǫ. Although these forbidden subgraphs do not necessarily define facets of
PLS(G), they must contain facet-defining subgraphs. Facet-defining inequalities
are identified as follows. Once a forbidden set F is found, where the inequality
x(F)  |F|−1 is violated, one successively deletes each edge f 2 F and applies the
GRAPH PLANARIZATION 3
planarity-testing algorithm. If the graph induced by F {f} is planar, then edge f is
returned to F. In at most |F| steps, F is reduced to a smaller edge set which induces
a minimal planar subgraph, leading to the facet-defining inequality x(F)  |F|−1
still violated by the current LP solution. Another simple heuristic searches for
violated Euler facet-defining inequalities x(F)  3|V ′| − 6 or x(F)  2|V ′| − 4,
where (V ′, F) is, respectively, a clique or a complete bipartite subgraph of G.
After an LP has been solved, its solution is exploited by the planarity-testing
algorithm, to produce a feasible solution for the graph planarization problem. Such
feasible solutions are used as lower bounds that are used not only for fathoming
nodes in the branch-and-cut tree, but also for fixing variables using their reduced
costs during a cutting plane phase. Other heuristics are implemented to enhance
the practical performance of the algorithm.
Branching is done if no cutting plane has been found for the current infeasible
solution. The variable chosen for branching is one with fractional value closest to
1/2, among those with maximum cost coefficient in the objective function.
4. Two-phase heuristics
The heuristics described in this section are based on the separation of the computation
into two phases. The first phase consists in devising a linear permutation
of the nodes of the input graph, followed by placing them along a line. The second
phase determines two sets of edges that may be represented without crossings above
and below that line, respectively. Takefuji and Lee [19] were the first to propose a
heuristic using this idea. They use an arbitrary sequence of nodes in the first phase
and apply a parallel heuristic using a neural network for the second phase. Takefuji,
Lee, and Cho [18] claimed superior performance of the two-phase approach of
Takefuji and Lee [19] with respect to the heuristics described in he previous section.
Their approach was later extended and improved by Goldschmidt and Takvorian
[8]. In the first phase, these authors attempt to use a linear permutation of
the nodes associated with an Hamiltonian cycle of G. Two strategies are used: (i)
a randomized algorithm [1] that almost certainly finds a Hamiltonian cycle if one
exists, and (ii) a greedy deterministic algorithm that seeks a Hamiltonian cycle. In
the latter, the first node in the linear permutation is a minimum degree node in G.
After the first k nodes of the permutation have been determined, say v1, v2, · · · , vk,
the next node vk+1 is selected from the nodes adjacent to vk in G having the least
adjacencies in the subgraph Gk of G induced by V {v1, v2, · · · , vk}. If there is no
node of Gk adjacent to vk in G, then vk+1 is selected as a minimum degree node
in Gk.
Let H = (E, I) be a graph where each of its nodes corresponds to an edge of the
input graph G. Nodes e1 and e2 of H are connected by an edge if the corresponding
edges of G cross with respect to linear permutation of the nodes established during
the first phase. A graph is called an overlap graph if its nodes can be placed in
one-to-one correspondence with a family of intervals on a line. Two intervals are
said to overlap if they cross and none is contained in the other. Two nodes of the
overlap graph are connected by an edge if and only if their corresponding intervals
overlap. Hence, the graph H as constructed above is the overlap graph associated
with the representation of G defined by the linear permutation of its nodes.
The second phase of the heuristic of Goldschmidt and Takvorian consists in twocoloring
a maximum number of the nodes of the overlap graph H, such that each of
4 M. G. C. RESENDE AND C. C. RIBE

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กราฟ PLANARIZATIONRESENDE ศูนย์ MAURICIO และ CELSO C. RIBEIROบทคัดย่อ เราสำรวจกราฟ planarization และปัญหาที่เกี่ยวข้อง เราครั้งแรกอธิบายตัวแปรและการประยุกต์ของกราฟ planarization จากนั้น เรามุ่งเน้นอัลกอริทึมการ เราเริ่มต้น ด้วยการอธิบายขั้นตอนวิธีสาขา และตัดของ J¨ungerและ Mutzel (1996) จากนั้น เราทบทวนงานตาม planarity ลองผิดลองถูกทดสอบแล้วที่ยึดขั้นตอน two-phase สุดท้าย คำนวณผลลัพธ์มีแสดงเปรียบเทียบอัลกอริทึมสำหรับกราฟ planarization1. บทนำกราฟกล่าวได้ว่า เป็นระนาบสามารถวาดบนเครื่องบินในลักษณะที่ขอบของสองไม่ตัดกัน กำหนดกราฟ G = (V, E) มีการตั้งค่าจุดยอด V และเอดจ์ตั้งค่า E วัตถุประสงค์ของ planarization กราฟคือการ หาจำนวนนับที่น้อยที่สุดชุดย่อยของขอบ F E ที่กราฟ G′ = (V, E F), ผลลัพธ์ที่ได้จากการเอาขอบใน F จาก G ระนาบได้ ปัญหานี้เรียกว่าการปัญหา subgraph ระนาบสูงสุด ปัญหาที่เกี่ยวข้อง และเรียบง่ายเป็นที่ค้นหาความสูงสุดระนาบ subgraph ซึ่งเป็น subgraph ระนาบ G′ = (V, E′) ของ G ให้แห่งใด ๆ ขอบ e 2 E E′ เพื่อ G′ ทำลาย planarity ของกราฟ planarization รู้จัก NP ยาก [15] หลักฐานของ NP-สมบูรณ์ของการตัดสินใจของ รุ่นตามการเปลี่ยนแปลงจากเส้นทาง Hamiltonianปัญหากราฟสองส่วนบริบูรณ์จำกัด แม้ว่าวิธีการแก้ไขที่แน่นอนปัญหา subgraph ระนาบสูงสุดได้รับเมื่อเร็ว ๆ นี้เสนอ อัลกอริทึมที่มากที่สุดเพื่อวันพยายามค้นหาคำตอบโดยประมาณที่ดีในบทความนี้ เราสำรวจกราฟ planarization และปัญหาที่เกี่ยวข้อง ในส่วนถัดไป เราอธิบายตัวแปรและการประยุกต์ใช้ของปัญหาพื้นฐานสูตรข้างต้น ถัดไป เราอธิบายขั้นตอนวิธีสาขา และตัด J¨unger และ Mutzel [11]แล้วทบทวนงานตาม planarity ทดสอบลองผิดลองถูกและผู้ตามกระบวนการ two-phase ในที่สุด ผลการคำนวณจะพิจารณา2. ตัวแปรและการประยุกต์ใช้แอพลิเคชันของกราฟ planarization เกิดขึ้นในการออกแบบรวมวงจรกราฟอธิบายวงจรที่มีการถูกย่อยสลายไปเป็นอย่างน้อยหมายเลขชั้น ซึ่งเป็นกราฟเชิงระนาบ [13] เกิดขึ้นในโปรแกรมประยุกต์อื่นจากตัวแปรของปัญหาพื้นฐานกราฟ planarizationหนึ่งแปรเป็นกราฟเชิงระนาบถ่วงน้ำหนักสูงสุด ในที่เป็นบวกน้ำหนักจะสัมพันธ์กับขอบของกราฟ และหนึ่งพยายามเป็นระนาบsubgraph น้ำหนักสูงสุด หมายเหตุว่าปัญหาพื้นฐานกราฟ planarizationกรณีพิเศษของกราฟเชิงระนาบถ่วงน้ำหนักสูงสุดปัญหา ที่ขอบทั้งหมดวัน: 6 กรกฎาคม 1998ปรากฏในในสารานุกรมของประสิทธิภาพสูงสุด สำนักพิมพ์วิชาการ Kluwer, 1999AT & T แล็บวิจัยรายงานทางเทคนิค: 98.15.11ม. 2 กรัม C. RESENDE และ C. C. RIBEIROน้ำหนักจะเท่ากับหนึ่ง อธิบายโปรแกรมประยุกต์ปัญหานี้สินเชื่อเค้าใน [9] กราฟอยู่ที่จุดยอดหมายถึงการอำนวยความสะดวก และขอบกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา คือน้ำหนักของขอบแต่ละปรารถนาว่า ซักสองกำหนดขอบจะติดในการออกแบบSubgraph ระนาบถ่วงน้ำหนักสูงสุดสอดคล้องกับเค้าโครงที่เป็นไปได้มีสูงสุดประโยชน์ของการ ในเอกสารนี้ ผู้เขียนยังเสนอการอบเหนียวจำลองและทาบูลองผิดลองถูกค้นหาโซลูชันโดยประมาณของค่าสูงสุดที่ถ่วงน้ำหนักที่ระนาบปัญหากราฟ รุกสร้างสรรค์ตามรักษา triangulated subgraphในขณะที่แทรกโหนและขอบที่ทำได้ใน Foulds และโรบินสัน [7],Eades, Foulds และ Giffin [4], และเหลียง [14]อื่นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรคือวาดเป็นกราฟที่กำหนดให้หมายเลขของข้ามขอบถูกย่อเล็กสุด ปัญหาหมายเลขข้ามได้ปฏิบัติโปรแกรมประยุกต์ในการออกแบบวงจรและกราฟรูปวาด เช่นกรณีเครื่องมือ [20] และอัตโนมัติระบบแสดง กรณีหนึ่งคือลดข้ามเส้นตรงในกราฟชั้น ความเข้าใจและ relinking วิธีเส้นทางสำหรับกรณีสองชั้นได้ในลากูน่าและ Mart´ı [12], ที่หนึ่งสามารถหาการสำรวจของวรรณคดี มีการตรวจทานสำหรับกราฟรูปวาดใน BattistaEades, Tamassia และ Tollis [3]ปัญหาใด ๆ ระนาบ หนึ่งต้องการกำหนดจำนวนขั้นต่ำขอบ ที่ต้องการเพิ่มกราฟเชิงระนาบจะได้กราฟที่คือยังระนาบ และน้อย k-เชื่อม ต่อ ซึ่งมักจะมีคงเคสองหรือสามตัวแปรนี้มีโปรแกรมประยุกต์ในกราฟอัตโนมัติรูปวาด เช่นในการออกแบบsurvivable เครือข่าย [17]3. เป็นอัลกอริทึมที่แน่นอนมีแน่นอนสาขาผูกกับอัลกอริทึมสำหรับ planarization กราฟถ่วงน้ำหนักปัญหาถูกนำ โดย Foulds และโรบินสัน [6], แต่ถูกจำกัดขนาดเล็กกราฟหนาแน่น เท่านั้นเพิ่ง มีการกระโดดในการทำงานของแน่นอนวิธีกราฟ planarization กับอัลกอริทึมสาขา และตัดของ J¨unger และMutzel [11], ซึ่งเราอธิบายต่อไปกำหนดกราฟ G = (V, E), วิธีการใช้การกำหนดพได้ความเหลื่อมล้ำทางการระนาบ subgraph polytope PLS(G) ให้ xe เป็น 0-1 ตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับแต่ละขอบ e 2 E เช่นว่า xe = 1 ถ้าและเฉพาะถ้าอีขอบสูงสุดได้ระนาบsubgraph กรัม นอกจากนี้ ให้ x(F) = Pe∈F xe สำหรับ F E.เล็กน้อยความเหลื่อมล้ำทาง 0 xe 1 นัยจัดการ โดยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น(LP) โปรแกรมแก้ปัญหา 3| x(E) อสมการ V |−6 จะถูกเพิ่มไปยังโปรแกรมเชิงเส้นเบื้องต้นให้ x เป็นโซลูชั่นเหมาะสมพักผ่อนจำกัดที่เกี่ยวข้องกับบางโหนดของแผนภูมิแจงนับ สำหรับǫ 0 1 ให้ Eǫ = { e 2 E | xe 1 −ǫ} และพิจารณากราฟ Gǫ = (V, Eǫ), ซึ่งอัลกอริทึม planarity ทดสอบของขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์ และมีใช้ Tarjan [10] อัลกอริทึมการหยุดถ้าพบว่า ขอบตั้ง F ที่แท้จริงกราฟ nonplanar ในกรัม ถ้า x(F) อสมการ | มีละเมิด F|−1 เต็มชุดของข้อจำกัดของห้างหุ้นส่วนจำกัดปัจจุบัน ขอบหลังของเส้นทางที่พิสูจน์nonplanarity ของกราฟที่เกิดจากใน G F จะถูกเอาออก และ planaritytestingอัลกอริทึมดำเนิน ในที่สุดระบุอื่น ๆ subgraphs ต้องห้ามของการกราฟ Gǫ แม้ว่าเหล่านี้ห้าม subgraphs ไม่จำเป็นต้องกำหนดแง่มุมของPLS(G) พวกเขาต้องประกอบด้วยการกำหนดพได้ subgraphs กำหนดพได้ความเหลื่อมล้ำทางระบุดังนี้ เมื่อชุดต้องห้าม F พบ ที่ความไม่เท่าเทียมกันx(F) | มีละเมิด F|−1 หนึ่งลบละขอบ f 2 F ติด ๆ กัน และใช้การกราฟ PLANARIZATION 3ทดสอบ planarity อัลกอริทึมการ ถ้ากราฟเกิดจาก F {f } เป็นระนาบ แล้วขอบ fกลับไปนี่ ในที่สุด | F| ลดขั้นตอน F ชุดขอบขนาดเล็กที่ก่อให้เกิดที่น้อยที่สุดระนาบ subgraph นำไปกำหนดพได้อสมการ x(F) | F|−1ยัง ละเมิด โดยโซลูชั่นจำกัดปัจจุบัน อีกอย่างแล้วหาviolated ออยเลอร์กำหนดพได้ความเหลื่อมล้ำทาง x(F) 3| V ′| − 6 หรือ x(F) 2| V ′| − 4(V ′ F) ตามลำดับ เป็นกลุ่มหรือ subgraph สองส่วนที่สมบูรณ์ของกรัมหลังจากที่มีการแก้ไขเป็นห้างหุ้นส่วนจำกัด แก้ปัญหาความเป็นไป planarity ทดสอบอัลกอริทึม การแก้ไขปัญหาเป็นไปได้สำหรับปัญหา planarization กราฟ ดังกล่าวแก้ไขปัญหาที่เป็นไปได้ใช้เป็นขอบเขตล่างที่ใช้ไม่เพียงแต่สำหรับ fathomingโหนในสาขา และตัด แต่ยัง สำหรับแก้ไขตัวแปรโดยใช้การลดต้นทุนการตัดระนาบระยะ อื่น ๆ ลองผิดลองถูกจะนำไปใช้เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพทางปฏิบัติของอัลกอริทึมการสาขาเสร็จถ้าระนาบตัดไม่พบในปัจจุบันถอดการแก้ปัญหา ตัวแปรที่เลือกสาขานี้มีค่าใกล้เคียงกับเศษ1/2 ระหว่างผู้ที่มีต้นทุนสูงสัมประสิทธิ์ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์4. two-phase ลองผิดลองถูกลองผิดลองถูกอธิบายไว้ในส่วนนี้ขึ้นอยู่กับการแยกของการคำนวณเป็น 2 ระยะระยะ ประกอบด้วยขั้นตอนแรกในการทบทวนการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นโหนดกราฟเข้า ตาม ด้วยวางตามเส้น ที่สองขั้นตอนกำหนดขอบที่อาจแสดงไม่หละหลวมข้างสองชุดและด้าน ล่างที่ บรรทัด ตามลำดับ Takefuji และลี [19] ได้แรกเสนอเป็นheuristic ที่ใช้ความคิดนี้ ใช้ลำดับการกำหนดโหนในระยะแรกและใช้ heuristic ขนานที่ใช้เครือข่ายประสาทในระยะที่สอง Takefujiอ้างว่า ประสิทธิภาพของวิธี two-phase ของลี และช่อ [18]Takefuji และลี [19] กับลองผิดลองถูกอธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้าของเขาวิธีการของพวกเขาในภายหลังได้ขยาย และปรับปรุง Goldschmidt และ Takvorian[8] . ในระยะแรก ผู้เขียนเหล่านี้พยายามที่จะใช้การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของโหนดที่เกี่ยวข้องกับวงจรการ Hamiltonian ของกรัม ใช้กลยุทธ์ที่ 2: (i)แบบ randomized อัลกอริทึม [1] ที่พบรอบ Hamiltonian เกือบแน่นอนได้มีอยู่ และ (ii) ขั้นตอนวิธี deterministic ตะกละที่วงจร Hamiltonian ในหลัง โหนแรกในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นเป็นโหนระดับต่ำสุดในกรัมหลังจากมีการกำหนดโหน k แรกของการเรียงสับเปลี่ยน ว่า v1, v2 ··· , vkเลือกจากโหนดที่ติดกับ vk ใน G ที่มีน้อยที่สุดเพื่อโหนถัดไป + 1เกิดจาก adjacencies ใน subgraph Gk G V { v1, v2, ··· vk } ถ้าไม่เลือกโหน Gk ประชิด vk ใน G แล้ว vk + 1 เป็นโหนระดับต่ำสุดใน Gk.ให้ H = (E ฉัน) เป็นกราฟที่แต่ละโหนดรตรงไปขอบของการกราฟที่อินพุตโหนกรัม e1 และ e2 H เชื่อมต่อ โดยขอบถ้าให้สอดคล้องกับข้ามขอบของ G กับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของโหนที่ก่อตั้งขึ้นในระหว่างในเฟสแรก กราฟคือกราฟทับซ้อนถ้าโหนดรสามารถวางในติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับครอบครัวของช่วงบรรทัด มีสองช่วงว่า ทับซ้อนถ้าจะข้าม และไม่อยู่ในอื่น ๆ โหนที่สองของการกราฟทับซ้อนเชื่อมต่อ โดยขอบ และถ้าช่วงของพวกเขาที่สอดคล้องกันซ้อนทับกัน ดังนั้น กราฟ H สร้างข้างบนเป็นกราฟทับซ้อนที่เกี่ยวข้องมีการแสดงของ G ที่กำหนด โดยการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของโหนดรประกอบด้วยขั้นตอนที่สองของ heuristic Goldschmidt และ Takvorian ใน twocoloringจำนวนสูงสุดของโหนดของซ้อนกราฟ H ที่แต่ละม. 4 กรัม C. RESENDE และ C. C. ริเบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กราฟ planarization
เมาริซิโอ GC Resende และ CELSO ซี RIBEIRO
บทคัดย่อ เราสำรวจ planarization กราฟและปัญหาที่เกี่ยวข้อง ก่อนอื่นเราอธิบายสายพันธุ์และการประยุกต์ใช้ planarization กราฟ จากนั้นเราก็มุ่งเน้นไปที่ขั้นตอนวิธีการ เราเริ่มต้นด้วยการอธิบายขั้นตอนวิธีการสาขาและตัด Junger และ Mutzel (1996) จากนั้นเราจะตรวจสอบการทำงานในการวิเคราะห์พฤติกรรมบนพื้นฐานของ planarity ทดสอบและผู้ที่อยู่บนพื้นฐานของวิธีการสองเฟส ในที่สุดผลการคำนวณเปรียบเทียบอัลกอริทึมสำหรับ planarization กราฟจะแสดง. 1 บทนำกราฟกล่าวจะระนาบถ้ามันสามารถวาดบนเครื่องบินในลักษณะที่ว่าไม่มีสองของการข้ามขอบ กำหนดกราฟ G = (V, E) ที่มีจุดสุดยอดชุด V และขอบE ตั้งวัตถุประสงค์ของ planarization กราฟคือการหา cardinality ขั้นต่ำย่อยของขอบF? E ดังกล่าวว่ารูปแบบของกราฟ G = (V, E F) ที่เกิดจากการกำจัดของขอบในF จาก G ที่เป็นภาพถ่าย ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันเป็นปัญหา subgraph ระนาบสูงสุด ปัญหาที่เกี่ยวข้องและง่ายก็คือการหาsubgraph ระนาบสูงสุดซึ่งเป็น subgraph ระนาบ G = (V, E) ของ บริษัท จีดังกล่าวว่านอกจากนี้ของe ขอบใด ๆ 2 E E 'จี' ทำลาย planarity ของกราฟ planarization เป็นที่รู้จักกัน NP-ยาก [15] หลักฐานการ NP-สมบูรณ์รุ่นการตัดสินใจจะขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงจากเส้นทางมิลมีปัญหาจำกัด กราฟสองฝ่าย แม้ว่าวิธีการที่แน่นอนสำหรับการแก้ปัญหา subgraph ระนาบสูงสุดได้รับการเสนอเมื่อเร็ว ๆ นี้ขั้นตอนวิธีการส่วนใหญ่พยายามที่จะหาวันที่การแก้ปัญหาโดยประมาณที่ดี. ในบทความนี้เราสำรวจ planarization กราฟและปัญหาที่เกี่ยวข้อง ในส่วนถัดไปเราจะอธิบายสายพันธุ์และการใช้งานของปัญหาพื้นฐานสูตรข้างต้น ต่อไปเราจะอธิบายขั้นตอนวิธีการสาขาและตัด Junger และ Mutzel [11]. จากนั้นเราจะตรวจสอบการทำงานในการวิเคราะห์พฤติกรรมจากการทดสอบ planarity และผู้ที่อยู่บนพื้นฐานของวิธีการสองเฟส ในที่สุดผลการคำนวณได้รับการพิจารณา. 2 สายพันธุ์และการใช้งานแอพลิเคชันของกราฟ planarization เกิดขึ้นในการออกแบบวงจรรวมที่ซึ่งกราฟอธิบายวงจรจะต้องมีการย่อยสลายเป็นขั้นต่ำจำนวนชั้นซึ่งแต่ละเป็นภาพถ่ายกราฟ[13] โปรแกรมอื่น ๆ ที่เกิดขึ้นจากสายพันธุ์ของปัญหาplanarization กราฟพื้นฐาน. หนึ่งที่แตกต่างดังกล่าวเป็นภาพถ่ายถ่วงน้ำหนักสูงสุดปัญหากราฟซึ่งในเชิงบวกน้ำหนักที่เกี่ยวข้องกับขอบของกราฟและหนึ่งพยายามระนาบsubgraph ของน้ำหนักสูงสุด โปรดทราบว่าปัญหาที่เกิดขึ้น planarization กราฟพื้นฐานคือเป็นกรณีพิเศษของปัญหาระนาบถ่วงน้ำหนักสูงสุดกราฟซึ่งในทุกขอบวันที่: 6 กรกฏาคม 1998 ที่จะปรากฏในสารานุกรมของการเพิ่มประสิทธิภาพ Kluwer วิชาการสำนักพิมพ์ 1999 AT & T Labs รายงานผลการวิจัยทางเทคนิค: 98.15 0.1. 1 2 MGC Resende และ CC RIBEIRO น้ำหนักเท่ากับหนึ่ง แอพลิเคชันของปัญหานี้ในรูปแบบสถานที่อธิบายไว้ใน [9] กราฟถูกสร้างขึ้นในจุดที่สิ่งอำนวยความสะดวกแทนและขอบกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา น้ำหนักของแต่ละเส้นเป็นความปรารถนาว่าทั้งสองสิ่งอำนวยความสะดวกที่กำหนดขอบจะอยู่ติดกันในการออกแบบ. subgraph ระนาบถ่วงน้ำหนักสูงสุดสอดคล้องกับรูปแบบที่เป็นไปได้สูงสุดประโยชน์ ในบทความนี้ผู้เขียนยังนำเสนอการหลอมจำลองและห้ามการวิเคราะห์พฤติกรรมการค้นหาสำหรับการแก้ปัญหาโดยประมาณของภาพถ่ายสูงสุดถ่วงน้ำหนักปัญหากราฟ การวิเคราะห์พฤติกรรมที่สร้างสรรค์บนพื้นฐานของการรักษา subgraph ดักในขณะที่ทำให้โหนดและขอบแทรกจะได้รับในFoulds และโรบินสัน [7], Eades, Foulds และ Giffin [4] และเหลียง [14]. อีกตัวแปรที่เกี่ยวข้องคือการวาดภาพกราฟที่กำหนด ดังกล่าวว่าจำนวนของข้ามขอบจะลดลง ปัญหาที่เกิดขึ้นมีจำนวนข้ามในทางปฏิบัติการประยุกต์ใช้ในการออกแบบวงจรและการวาดภาพกราฟเช่นในกรณีเครื่องมือ [20] และระบบอัตโนมัติการแสดงผลกราฟิก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีหนึ่งคือการลดการข้ามเส้นตรงในกราฟชั้น ความเข้าใจและเส้นทาง relinking วิธีการสำหรับกรณีที่สองชั้นจะได้รับในลากูน่าและMart'ı [12] ที่หนึ่งยังสามารถหาการสำรวจของวรรณกรรมที่ อัลกอริทึมสำหรับการวาดภาพกราฟจะมีการทบทวนในแบตติส, Eades, Tamassia และ Tollis [3]. ในปัญหาการเสริมระนาบหนึ่งต้องการที่จะกำหนดจำนวนขั้นต่ำของขอบที่จะต้องเพิ่มให้กับภาพถ่ายกราฟดังกล่าวว่ากราฟที่เกิดขึ้นยังคงเป็นภาพถ่ายและอย่างน้อย k เชื่อมต่อที่ k ได้รับการแก้ไขมักจะเป็นสองหรือสาม. ตัวแปรนี้มีการใช้งานในการวาดกราฟอัตโนมัติเช่นเดียวกับในการออกแบบเครือข่ายบอลลูน [17]. 3 อัลกอริทึมที่แน่นอนที่แน่นอนอัลกอริทึมสาขาและมุ่งหน้าไปยัง planarization กราฟถ่วงน้ำหนักปัญหาได้รับการแนะนำโดยFoulds และโรบินสัน [6] แต่ถูก จำกัด ให้มีขนาดเล็กกราฟหนาแน่น เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้มีการก้าวกระโดดในการปฏิบัติที่ถูกต้องวิธีการplanarization กราฟกับอัลกอริทึมสาขาและตัด Junger และMutzel [11] ซึ่งเราจะอธิบายต่อไป. กำหนดกราฟ G = (V, E) แนวทางของพวกเขาใช้ความไม่เท่าเทียมกันในแง่การกำหนดสำหรับsubgraph ระนาบ polytope PLS (G) ให้ XE เป็นตัวแปร 0-1 ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละขอบจ2 E เช่นว่า XE = 1 ถ้าหากขอบจปรากฏอยู่ในระนาบสูงสุดsubgraph ของกรัมนอกจากนี้ให้ x (F) = Pe∈F XE สำหรับ F? อีเล็กน้อย 0 ความไม่เท่าเทียมกัน? XE? 1 ได้รับการจัดการโดยปริยายโดยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น(LP) แก้ อสมการ x (E)? 3 | V | -6 จะถูกเพิ่มในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเริ่มต้น. ให้ x เป็นทางออกที่ดีที่สุดของการพักผ่อนแผ่นเสียงที่เกี่ยวข้องกับโหนดของต้นไม้นับ 0? ǫ? 1 ให้Eǫ = {E 2 E | XE? 1 - ǫ} และพิจารณารูปแบบของกราฟGǫ = (V, Eǫ) ซึ่งขั้นตอนวิธี planarity ทดสอบของ Hopcroft และTarjan [10] ถูกนำไปใช้ ขั้นตอนวิธีการหยุดหากพบเอฟขอบชุดซึ่งก่อให้เกิดการกราฟใน nonplanar กรัมถ้าอสมการ x (F)? | F | -1 จะถูกละเมิดก็จะถูกเพิ่มชุดของข้อจำกัด ของ LP ปัจจุบัน ขอบหลังของเส้นทางที่พิสูจน์แล้วว่าnonplanarity ของกราฟเหนี่ยวนำโดยจีเอฟจะถูกลบออกและ planaritytesting เงินอัลกอริทึมในที่สุดการระบุ subgraphs ต้องห้ามอื่น ๆ ของกราฟGǫ แม้ว่า subgraphs ต้องห้ามเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องกำหนดแง่มุมของPLS (G) พวกเขาจะต้องมีด้านที่กำหนด subgraphs ความไม่เท่าเทียมกันด้านการกำหนดจะมีการระบุดังต่อไปนี้ เมื่อ F ชุดที่ต้องห้ามพบที่ความไม่เท่าเทียมกันx (F)? | F | -1 จะถูกละเมิดอย่างใดอย่างหนึ่งต่อเนื่องลบขอบฉ 2 F แต่ละคนและนำไปใช้กราฟplanarization 3 ขั้นตอนวิธี planarity ทดสอบ ถ้ากราฟที่เกิดจาก F {F} เป็นภาพถ่ายแล้วขอบฉถูกส่งกลับไปยังเอฟในที่มากที่สุด| F | ขั้นตอน F จะลดลงไปชุดขอบขนาดเล็กซึ่งก่อให้เกิดการsubgraph ระนาบน้อยที่สุดนำไปสู่ด้านการกำหนด ความไม่เท่าเทียมกัน x (F)? | F | -1 ยังคงละเมิดโดยการแก้ปัญหา LP ปัจจุบัน อีกประการหนึ่งการค้นหาการแก้ปัญหาที่ง่ายสำหรับการละเมิดออยเลอร์ด้านการกำหนดความไม่เท่าเทียมกัน x (F)? 3 | V '| - 6 หรือ x (F)? 2 | V '| - 4 ที่ (V' F) คือตามลำดับก๊กหรือ subgraph ฝ่ายที่สมบูรณ์ของจีหลังจากLP ได้รับการแก้ไขวิธีการแก้ปัญหาของมันจะถูกใช้โดย planarity ทดสอบขั้นตอนวิธีการในการผลิตวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับปัญหา planarization กราฟ เช่นการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถูกใช้เป็นขอบเขตล่างที่ใช้ไม่เพียง แต่สำหรับ fathoming โหนดในสาขาและตัดต้นไม้ แต่ยังสำหรับการแก้ไขตัวแปรที่ใช้ของพวกเขาลดค่าใช้จ่ายในระหว่างขั้นตอนการตัดเครื่องบิน การวิเคราะห์พฤติกรรมอื่น ๆ ที่นำมาใช้เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการทำงานในทางปฏิบัติของอัลกอริทึม. กิ่งจะทำถ้าเครื่องบินตัดไม่ได้รับการพบข้อมูลที่เป็นไปไม่ได้ในปัจจุบันการแก้ปัญหา ตัวแปรที่เลือกไว้สำหรับแยกเป็นหนึ่งในส่วนที่มีมูลค่าใกล้เคียงกับ1/2 หมู่ผู้ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ค่าใช้จ่ายสูงสุดในการทำงานวัตถุประสงค์. 4 การวิเคราะห์พฤติกรรมสองเฟสการวิเคราะห์พฤติกรรมที่อธิบายในส่วนนี้จะขึ้นอยู่กับการแยกการคำนวณที่เป็นสองขั้นตอน โดยในระยะแรกประกอบด้วยการณ์การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของโหนดของกราฟการป้อนข้อมูลตามด้วยการวางพวกเขาพร้อมสาย ที่สองขั้นตอนการกำหนดสองชุดของขอบที่อาจจะเป็นตัวแทนโดยไม่ต้องข้ามเหนือและใต้เส้นที่ตามลำดับ Takefuji และลี [19] เป็นคนแรกที่นำเสนอการแก้ปัญหาโดยใช้ความคิดนี้ พวกเขาใช้ลำดับโดยพลการของโหนดในระยะแรกและใช้แก้ปัญหาแบบคู่ขนานโดยใช้โครงข่ายประสาทเทียมสำหรับระยะที่สอง Takefuji, ลีและโช [18] อ้างประสิทธิภาพที่เหนือกว่าของวิธีการสองเฟสของTakefuji และลี [19] ที่เกี่ยวกับการวิเคราะห์พฤติกรรมที่อธิบายไว้ในเขาส่วนก่อนหน้านี้. วิธีการของพวกเขาต่อมาขยายและปรับปรุงโดยอูแบรต์และ Takvorian [8] . ในระยะแรกที่ผู้เขียนเหล่านี้พยายามที่จะใช้การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของโหนดที่เกี่ยวข้องกับวงจรของมิลกรัมสองกลยุทธ์นี้มีการใช้ (i) ขั้นตอนวิธีการสุ่ม [1] ที่เกือบจะแน่นอนพบวงจรมิลถ้าใครอยู่และ(ii) ขั้นตอนวิธีการกำหนดโลภที่พยายามวงจรมิลโตเนียน ในหลังโหนดแรกในการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเป็นโหนดระดับต่ำสุดในกรัมหลังจากโหนดk แรกของการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับการกำหนดให้พูดว่า v1, v2, ···, VK, โหนดต่อไป VK + 1 จะถูกเลือก จากโหนดที่อยู่ติดกับ vk จีมีน้อยadjacencies ใน subgraph Gk จีเกิดจาก V {v1, v2, ···, VK} หากไม่มีโหนดของ Gk ที่อยู่ติดกับ vk จีแล้ว vk + 1 จะถูกเลือกเป็นโหนดระดับต่ำสุดในGk. ให้ H = (E, I) เป็นกราฟที่แต่ละโหนดที่สอดคล้องกับขอบของที่ป้อนข้อมูลกราฟกรัมโหนด e1 e2 และเอชโดยมีการเชื่อมต่อขอบถ้าสอดคล้องขอบของG ข้ามส่วนที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของโหนดที่จัดตั้งขึ้นในช่วงระยะแรก กราฟที่เรียกว่ากราฟทับซ้อนถ้าโหนดที่สามารถวางไว้ในแบบหนึ่งต่อหนึ่งการติดต่อกับครอบครัวของช่วงเวลาในบรรทัด ช่วงเวลาที่ทั้งสองจะบอกว่าจะทับซ้อนกันถ้าพวกเขาข้ามและไม่มีใครอยู่ในที่คนอื่น ๆ สองโหนดของกราฟที่ทับซ้อนกันโดยมีการเชื่อมต่อขอบถ้าหากช่วงเวลาที่สอดคล้องกันของพวกเขาที่ทับซ้อนกัน ดังนั้น H กราฟเป็นสร้างข้างต้นเป็นกราฟที่ทับซ้อนกันที่เกี่ยวข้องกับการเป็นตัวแทนของG ที่กำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของโหนด. ขั้นที่สองของการแก้ปัญหาของอูแบรต์และ Takvorian ประกอบด้วยใน twocoloring จำนวนสูงสุดของโหนดของกราฟทับซ้อนที่ H เช่นว่าแต่ละ4 MGC Resende และ CC RIBE

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กราฟ planarization
เมาริซิโอ และส่งใหม่ g.c. เซลโซซี Ribeiro
นามธรรม เราสำรวจกราฟ planarization และปัญหาที่เกี่ยวข้อง เราแรก
อธิบายสายพันธุ์และการประยุกต์ใช้กราฟ planarization . แล้วเราเน้น
อัลกอริธึม เราเริ่มต้นด้วยการตัดกิ่งตั้งกล่าวและอัลกอริทึมของ J
mutzel ( 1996 ) งั้น เราทบทวนการทำงานในการวิเคราะห์พฤติกรรมตาม planarity
และการทดสอบตามขั้นตอน 2 . ในที่สุด ผลการคำนวณ
เปรียบเทียบขั้นตอนวิธีสำหรับกราฟ planarization นำเสนอ
1 บทนำ
กราฟเป็นระนาบถ้ามันสามารถวาดบนเครื่องบินในลักษณะ
ไม่มีสองขอบ ครอส ให้กราฟ G = ( V , E ) กับจุดยอด v
ขอบชุดและชุด E , วัตถุประสงค์ของกราฟ planarization หา
ภาวะเชิงการนับน้อยที่สุดย่อยของขอบ  E F เช่นว่านั้นกราฟ G = ( V , E / F ) ที่เกิดจากการกำจัดของขอบใน
F จากกรัมเป็นระนาบ . ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันเป็นระนาบ subgraph
สูงสุดปัญหา ที่เกี่ยวข้อง และปัญหาที่หาง่ายกว่า
เป็น subgraph ระนาบสูงสุดซึ่งเป็นระนาบนั้น subgraph G = ( V , E School ) ของ G เช่น
นอกจากนี้ใด ๆขอบ E 2 E e กรัมของ MBC นั้นทำลาย planarity .
กราฟ planarization เป็นที่รู้จักกันเป็น NP ยาก [ 15 ] หลักฐานครบถ้วน
NP รุ่นการตัดสินใจจะขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงจากวัฎจักรฮามิลตัน
ปัญหาต้องแยกเป็นสองส่วนกราฟ ถึงแม้ว่าวิธีการที่แน่นอนสำหรับการแก้ปัญหาเชิง subgraph
สูงสุดเมื่อเร็วๆ นี้ เสนอ มากที่สุดขั้นตอนวิธี
วันที่พยายามที่จะหาโซลูชั่นประมาณดี
ในบทความนี้เราสำรวจกราฟ planarization และปัญหาที่เกี่ยวข้อง ใน
ต่อไป เราอธิบายตัวแปรและการประยุกต์ของปัญหาพื้นฐานยุทธศาสตร์
ข้างบน ต่อไป เราจะอธิบายการตัดกิ่งตั้งและขั้นตอนวิธีเจกล่าว mutzel [ 11 ] .
แล้วตรวจสอบงานตามการทดสอบและการวิเคราะห์พฤติกรรม planarity ตาม
ขั้นตอนการ . ในที่สุด ผลการคำนวณจะพิจารณา .
2ตัวแปรและการประยุกต์
การประยุกต์ใช้กราฟ planarization เกิดขึ้นในการออกแบบของวงจรรวม
ที่กราฟอธิบายวงจรจะถูกย่อยสลายไปเป็นจำนวนขั้นต่ำ
ชั้นซึ่งแต่ละเป็นกราฟเชิงระนาบ [ 13 ] โปรแกรมอื่น ๆเกิดขึ้น
จากสายพันธุ์ของพื้นฐานกราฟ planarization ปัญหา .
ตัวแปรเช่นเป็นกราฟเชิงระนาบน้ำหนักสูงสุดปัญหาซึ่งน้ำหนักบวก
เกี่ยวข้องกับขอบของกราฟและหาระนาบ
subgraph น้ำหนักสูงสุด ทราบว่าเป็นปัญหาพื้นฐานกราฟ planarization
เป็นกรณีพิเศษของน้ำหนักสูงสุดกราฟเชิงระนาบปัญหา ซึ่งทั้งหมดขอบ
วันที่ : 6 กรกฎาคม 2541 .
ที่ปรากฏในสารานุกรมของการเพิ่มประสิทธิภาพกลไก kluwer วิชาการสำนักพิมพ์ , 2542 .
ที่& T งานวิจัยรายงานทางเทคนิค 98.15.1
1
.2 M . G . ส่งใหม่ และ C . C . Ribeiro
น้ำหนักเท่ากับหนึ่ง การประยุกต์ใช้ปัญหานี้กับรูปแบบสถานที่อธิบาย
[ 9 ] กราฟถูกสร้างขึ้นที่จุดของเครื่องและ
ขอบกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา น้ำหนักของแต่ละขอบ
ที่พึงประสงค์ว่าสองเครื่องที่กำหนดขอบให้ติดกันในการออกแบบ .
สูงสุดน้ำหนักระนาบ subgraph สอดคล้องกับรูปแบบที่เป็นไปได้ที่มีประโยชน์สูงสุด

ในบทความนี้ผู้เขียนได้เสนอและการดำรงอยู่เช่น
ค้นหาฮิวริสติกสำหรับการแก้ปัญหาประมาณสูงสุด
กราฟถ่วงน้ำหนักเชิงปัญหา การวิเคราะห์พฤติกรรมที่สร้างสรรค์บนพื้นฐานของการรักษาตาม subgraph
ในขณะที่ทำให้โหนดและขอบใหม่จะได้รับในโฟลด์ส และ โรบินสัน [ 7 ] ,
อิดส์โฟลด์ส , และ , กิฟฟิน [ 4 ] และ เหลียง [ 14 ] .
อีกตัวแปรที่เกี่ยวข้องที่วาดให้กราฟเช่นหมายเลข
ขอบวกลด . ข้ามเบอร์มีปัญหาการใช้งานจริง
ในการออกแบบวงจรและกราฟการวาดภาพ เช่น ในกรณีที่เครื่องมือ [ 20 ]
แบบอัตโนมัติระบบแสดงผลกราฟิก หนึ่งโดยเฉพาะคดีที่ลด
ข้ามชั้น เส้นในกราฟ เข้าใจวิธีการและเส้นทาง relinking
สำหรับกรณีสองชั้นจะได้รับในและลากูน่ามาร์ท´ı [ 12 ] ที่ หนึ่งยังสามารถหา
การสำรวจวรรณกรรม อัลกอริทึมสำหรับวาดกราฟ ทบทวน บัตติสตา tamassia
อิดส์ , , , และ tollis [ 3 ] .
ในระนาบเพิ่มเติมปัญหา หนึ่งต้องการที่จะหา
จำนวนน้อยที่สุดของขอบที่ต้องเพิ่มเป็นกราฟเชิงระนาบดังกล่าวส่งผลให้กราฟ
ยังคงเป็นระนาบ และอย่างน้อย k-connected ที่ K มักจะคงที่ สอง หรือ สาม ตัวนี้มีการใช้งานใน
วาดกราฟโดยอัตโนมัติเช่นเดียวกับในการออกแบบ
ของ survivable เครือข่าย [ 17 ] .
3 ขั้นตอนวิธีการแตกกิ่งและจำกัดขอบเขตที่แน่นอน

planarization ขั้นตอนวิธีสำหรับกราฟถ่วงน้ำหนักปัญหาและแนะนำโฟลด์สโรบินสัน [ 6 ] แต่ถูก จำกัด ให้เล็ก
หนาแน่นกราฟ เพียง เมื่อเร็ว ๆ นี้ มีการก้าวกระโดดในประสิทธิภาพของวิธีการที่แน่นอน
สำหรับกราฟ planarization กับกิ่งไม้และตัดขั้นตอนของ J ตั้งกล่าวและ
mutzel [ 11 ] ซึ่งเราอธิบายต่อไป
ให้กราฟ G = ( V , E ) , วิธีการของพวกเขาใช้แง่กำหนดอสมการ
Planar subgraph พอลิโทป pls ( G )