Show that the equation x4 +4x+c = 0

Show that the equation x4 +4x+c = 0 has at most two real solutions.
A look at graphs of f(x)=x4+4x+c for some values of c suggests that the equation may have zero, one, or two roots, but no more. We can use Rolle’s theorem to prove this is in fact the case.
Suppose that the equation has three or more real solutions. Label three of them x1, x2, and x3 so that x1 x2 x3 Define a related function f(x)=x4+4x+c and note that solutions of the given equation are the zeros of this function: that is, f(x1)= f(x2)= f(x3)=0 Since f(x) is a polynomial, it is continuous and differentiable for all real numbers. Rolle’s theorem applies, then, and according to Rolle’s theorem there must be a number a between x1 and x2 for which f(a) = 0. Similarly, there must be a number b between x2 and x3 for which f(b)=0. Observe though: f(x)=0: 4x3+4=0 4(x3+1)=0 x3+1=0 x3 =−1 x=−1 The derivative is only zero when x=−1. This falls short of the required two solutions. Therefore, the equation can have at most two real roots.
x1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แสดงว่าสมการ x 4 + 4 x + c = 0 ได้มากที่สุดสองแก้ปัญหาจริงดูที่กราฟของ f (x) = x 4 + 4 x + c สำหรับบางค่าของ c แนะนำว่า สมการอาจมีศูนย์ หนึ่ง หรือรากที่สอง แต่อีกไม่ เราสามารถใช้ทฤษฎีบทของ Rolle พิสูจน์เป็นจริงสมมติว่า สมการที่ได้แก้ปัญหาจริงของสาม หรือมากกว่า ป้ายชื่ออลังการ x 1, x 2 และ x 3 ดังนั้นที่ x 1 x 2 x 3 Define ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน f (x) = x 4 + 4 x + c และหมายเหตุแก้สมการให้ศูนย์นี้: คือ f(x1) = f(x2) = f (x 3) = 0 เนื่องจาก f(x) เป็นพหุนาม มันเป็นอย่างต่อเนื่อง และ differentiable สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ใช้ทฤษฎีบทของ Rolle แล้ว และตามทฤษฎีบทของ Rolle มีต้องการระหว่าง x 1 และ x 2 สำหรับ f(a) ที่ = 0 ในทำนองเดียวกัน ต้องมี b หมายเลขระหว่าง x 2 3 x สำหรับการ f (b) = 0 สังเกตว่า: f (x) = 0:4 x 3 + 4 = 0 4 (x 3 + 1) = 0 x 3 + 1 = 0 x 3 = −1 x = −1 อนุพันธ์เป็นศูนย์เมื่อ x = −1 นี้เด็ดขาดแก้ปัญหาสองจำเป็น ดังนั้น สมการได้มากที่สุดสองจริงรากx 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แสดงให้เห็นว่าสมการ x4 + 4x + c = 0 มีสองที่มากที่สุดแก้ปัญหาที่แท้จริง.
ดูที่กราฟของ f (x) = x4 + 4x + คค่าบางส่วนของคแสดงให้เห็นว่าสมการที่อาจจะมีศูนย์หนึ่งหรือสอง ราก แต่ไม่มาก เราสามารถใช้ทฤษฎีบท Rolle ที่จะพิสูจน์เรื่องนี้ในความเป็นจริงกรณี.
สมมติว่าสมการที่มีสามหรือมากกว่าแก้ปัญหาที่แท้จริง ฉลากสามของพวกเขา x1, x2 และ x3 เพื่อให้ x1 x2 x3 De สายตะวันออกเฉียงเหนือฟังก์ชัน f ที่เกี่ยวข้อง (x) = x4 + 4x + C และทราบว่าการแก้ปัญหาของสมการให้เป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้นั่นคือ f (x1 ) = f (x2) = f (x 3) = 0 ตั้งแต่ f (x) เป็นพหุนามมันเป็นอย่างต่อเนื่องและอนุพันธ์สำหรับตัวเลขจริงทั้งหมด ทฤษฎีบท Rolle ของใช้แล้วและเป็นไปตามทฤษฎีบท Rolle จะต้องมีจำนวนระหว่าง x1 และ x2 ที่f (ก) = 0 ในทำนองเดียวกันจะต้องมีจำนวนระหว่างข x2 และ x3 ที่f (ข) = 0 สังเกตว่า: f (x) = 0: 4x3 + 4 = 0 4 (x3 + 1) = 0 x3 + 1 = 0 x3 = -1 x = -1 อนุพันธ์เป็นเพียงศูนย์เมื่อ x = -1 นี้ตรงสั้นของที่จำเป็นในการแก้ปัญหาที่สอง ดังนั้นสมการสามารถมีที่มากที่สุดสองรากจริง.
x1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แสดงว่าสมการ 4x x4 c = 0 = มีเวลามากที่สุดสองจริงโซลูชั่น .
ดูที่กราฟของ f ( x ) = x 4 x C บางค่าของ C พบว่าสมการอาจจะมี ศูนย์ หนึ่ง หรือสองราก แต่ไม่มี เราสามารถใช้ทฤษฎีบทของโรลล์ เพื่อพิสูจน์ว่านี่คือในความเป็นจริงกรณี .
สมมติว่าสมการที่มีสามหรือมากกว่าโซลูชั่นจริง ป้ายสามของพวกเขา x1 , x2 ,3 x1 x2 x3 และดังนั้นจึงเกี่ยวข้องกับเดอเน่ฟังก์ชัน f ( x ) = x 4 x C และทราบว่าคำตอบของสมการให้มีศูนย์ของฟังก์ชันนี้คือ F ( , 1 ) = f ( x 2 ) = f ( x3 ) = 0 เนื่องจาก f ( x ) เป็นพหุนาม , มันเป็นอย่างต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้เป็นจำนวนจริงทั้งหมด ทฤษฎีบทของโรลล์ใช้แล้วและตามทฤษฎีบทของโรลล์ต้องมีจำนวนระหว่าง X1 และ X2 ซึ่ง F ( a ) = 0ในทํานองเดียวกัน ต้องมีจำนวนระหว่าง X2 X3 ซึ่งและ f ( b ) = 0 สังเกตว่า f ( x ) = 0 :  4x3 = 0 4 4 ( x3 1 ) = 0 x3 1 = 0 x3 = − 1 = − 1 อนุพันธ์เป็นเพียงศูนย์เมื่อ x = − 1 นี้ตรงสั้นของเป็นสองโซลูชั่น ดังนั้น สมการสามารถมีมากที่สุดสองจริง
1 ราก