14) The alternating red-green path

14) The alternating red-green path between r and g which isolates the first y region from b must exist by the same reasoning as for CASE 1. This means that the yellow and blue regions in the area containing the first y region can swap colors, turning that yellow region blue.
15) Likewise, the same argument can be used to show that there must exist a path of alternating blue-green regions from b to g which isolate the second y region from r. This means that the yellow and red regions in that region can swap colors, turning that y region red.
16) Because steps 14 and 15 allow us to recolor both y regions to other colors, we can arrive at a 4-coloring of M-v in which no neighbor of v is yellow. Therefore coloring v = yellow results in a 4-coloring of M. This proves that CASE 2 must also be false. Since both cases are false, M (which was any smallest counter-example) cannot exist proving that there can be no counter-examples, and that all finite planar maps must be 4-colorable.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

14) สลับสีแดงเขียวเส้นทางระหว่าง r และ g ซึ่งแยกภูมิภาค y แรกจาก b ต้องมี โดยเหตุผลเดียวกับกรณี 1 ซึ่งหมายความ ว่า พื้นที่สีเหลือง และสีฟ้าในบริเวณที่ประกอบด้วยภูมิภาค y แรกสามารถสลับสี เปิดภูมิภาคที่สีเหลืองสีน้ำเงิน15) ในทำนองเดียวกัน สามารถใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกันแสดงว่า ต้องมีเส้นทางของสลับเขียวภูมิภาคจาก b ถึง g ซึ่งแยกภูมิภาค y สองจาก r ซึ่งหมายความ ว่า พื้นที่สีเหลือง และสีแดงในภูมิภาคที่สามารถสลับสี เปิดภูมิภาคที่วายสีแดง16) เนื่องจากขั้นตอนที่ 14 และ 15 ช่วยให้เราสามารถให้สีใหม่แก่ภูมิภาคทั้ง y สีอื่น ๆ เราสามารถมาถึงที่ 4 สีของ M-v ที่ไม่ใกล้เคียงของ v เป็นสีเหลือง การระบายสีดังนั้น v =ผลสีเหลือง 4-สีของ M นี้พิสูจน์ว่า กรณี 2 ต้องเป็นเท็จ เนื่องจากทั้งสองกรณีเป็นเท็จ M (ซึ่งมีตัวอย่างใด ๆ ซึ่งน้อยที่สุด) ไม่มีการพิสูจน์ว่า สามารถมีตัวอย่างเคาน์เตอร์ไม่ และที่แผนที่ระนาบจำกัดทั้งหมดต้อง 4 colorable

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

14 ) สีเขียวสลับแดงเส้นทางระหว่าง R และ G ซึ่งสายพันธุ์แรก Y ภูมิภาคจาก B จะต้องมีอยู่ด้วยเหตุผลเช่นเดียวกับกรณีที่ 1 ซึ่งหมายความว่าสีเหลืองและสีฟ้าภูมิภาคในพื้นที่ที่มีแรก Y ภูมิภาคสามารถสลับสีเปลี่ยนที่เขตสีเหลืองสีฟ้า
15 ) เช่นเดียวกันอาร์กิวเมนต์เดียวกันสามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่า มีต้องมีเส้นทางสลับพื้นที่สีเขียวจาก B G ซึ่งแยกที่สอง Y ภูมิภาคจาก R . ซึ่งหมายความ ว่า พื้นที่สีเหลือง และสีแดงในภูมิภาคสามารถเปลี่ยนสี เปลี่ยน y เขตสีแดง
16 ) เพราะขั้นตอนที่ 14 และ 15 ให้เราเปลี่ยนสีทั้ง Y ภูมิภาคกับสีอื่น ๆเราก็มาถึง 4-coloring ของ m-v ที่ไม่มีเพื่อนบ้านของ V เป็นสีเหลือง ดังนั้นสี V = สีเหลือง ผลใน 4-coloring ของม. นี้พิสูจน์ว่า กรณีที่ 2 ต้องเป็นเท็จ เนื่องจากทั้งสองกรณีเป็นเท็จ ม ( ซึ่งมีตัวอย่างที่เคาน์เตอร์ ) ไม่สามารถอยู่ได้พิสูจน์ว่าไม่มีตัวอย่างที่เคาน์เตอร์ และที่แน่นอนต้อง 4-colorable
แผนที่ระนาบ .