2054 M. K. Azarian author of some o

2054 M. K. Azarian

author of some of the Fibonacci identities. However, the following individuals
authored at least one of the identities that we have presented in this paper: R.
H. Anglin [1], G. Candido [5], L. Carlitz [6], J. Ginsburg [7], H. W. Gould [8],
R. L. Graham [9], J. H. Halton [10], V. E. Hoggatt Jr. [11, 12], V. E. Hoggatt
Jr. and G. E. Bergum [13], J. A. H. Hunter [14], T. Koshy [15-17], D. Lind
[18], P. Mana [19], G. C. Padilla [20, 21], C. B. A. Peck [22], C. W. Raine [23],
K. S. Rao [24], R. S. Seamons [25], M. N. S. Swamy [27, 28], G. Wulczyn [29],
C. C. Yalavigi [30], D. Zeitlin and F. D. Parker [31].

2. Identities

It is known that the left-hand side of Fibonacci identities in Theorems 2.2-
2.7 can be written as a (power of a ) single Fibonacci number. We acknowledge
that we have not independently verified the validity of some of these identities.
To proceed, first we recall the following theorem from [1].

Theorem 2.1 [1]. If Fn is any Fibonacci number, then

n n
n n − 1 n − 2 n − 2 + 1 n − 2
Fn+1 = + + + ... + n + n
0 1 2 2 − 1 2

n
2

n − i
= , n ≥ 0.
i
i=0

To prove Theorems 2.2-2.7 we can simply use Theorem 2.1, and the fact
that each Fibonacci identity on the left-hand side can be written as a (power
of a ) single Fibonacci number. Or, we could use the principle of mathemati-
cal induction, combinatorial arguments, or just simple algebra to prove these
theorems. However, we caution the reader that some of these identities have
been somewhat modified to fit a desired format and they may not look exactly
as they appear in the literature.

Theorem 2.2.

n
2

(i) F (F F − F 2 ) = (−1)n+1 n−i
n+1 n n+2 n+1 i

i=0

n

1
(ii) F 2 + F 2 − 4F 2 + F 2 = [1 + (−1)n] + F F
n n+4 n+2 n+3 i i+1
2
i=0
n n+1
2 1 n 2
= Fn+1Fn+2 − Fi = 2 [1 + (−1) ] + (n + 1)Fn+1Fn+2 − iFi

i=0 i=0

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Azarian คุณ 2054 เมตร ผู้เขียนของประจำฟีโบนัชชี อย่างไรก็ตาม บุคคลต่อไปนี้ เขียนอย่างน้อยหนึ่งข้อมูลเฉพาะตัวที่เราได้นำเสนอในเอกสารนี้: อาร์ H. Anglin [1], Candido กรัม [5], L. Carlitz [6], J. Ginsburg [7] H. W. Gould [8], R. แกรแฮม L. [9], Halton H. J. [10], V. E. Hoggatt จูเนียร์ [11, 12] V. E. Hoggatt Lind D. จูเนียร์และ G. E. Bergum [13], J. A. H. ฮันเตอร์ [14], ต. Koshy [15-17], [18], P. Mana [19], Padilla C. กรัม [20, 21], เป็ก A. B. C. [22] C. W. Raine [23], คุณเรา S. [24], Seamons S. R. [25], ม. N. S. Swamy [27, 28] Wulczyn กรัม [29], C. C. Yalavigi [30], D. Zeitlin และ F. D. คเกอร์ [31] 2. รหัสประจำตัว เป็นที่รู้จักกันที่ด้านซ้ายของ Fibonacci ประจำในทฤษฎี 2.2 - 2.7 สามารถเขียนเป็นแบบ (พลังงานของการ) เลขฟีโบนัชชีเดียวได้ เรายอมรับ ว่า เรามีอิสระไม่ verified ถูกต้องของข้อมูลเหล่านี้ เพื่อดำเนินต่อ first เราจำทฤษฎีบทต่อไปนี้ [1] ทฤษฎีบท 2.1 [1] ถ้า Fn หมายเลขฟีโบนัชชี แล้ว n n n n − 1 n − 2 n − 2 + 1 n − 2 Fn + 1 = + + +... + n + n 0 1 2 2 − 1 2 n 2 n −ฉัน = , n ≥ 0. ฉัน ฉัน = 0 การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2.2-2.7 เราก็สามารถใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความจริง ว่า แต่ละ identity Fibonacci ด้านซ้ายเขียนได้เป็น (พลังงาน ของตัว) เลขฟีโบนัชชีเดียวกัน หรือ เราสามารถใช้หลักการของ mathemati- เหนี่ยวนำ cal อาร์กิวเมนต์ปัญหา หรือพีชคณิตอย่างง่ายเพียงการพิสูจน์เหล่านี้ ทฤษฎีบทความไม่ อย่างไรก็ตาม เราระวังอ่านว่า บางส่วนของตัวตนเหล่านี้ได้ modified กับ fit รูปแบบระบุและพวกเขาอาจไม่มองว่าค่อนข้างถูก ตามที่ปรากฏในวรรณคดี ทฤษฎีบทที่ 2.2 n 2 (i) F (− F F F 2) = (−1) n + 1 n−i n + 1 n n + 2 n + 1 ผม ฉัน = 0 n 1 (ii) F 2 + F 2 − 4F 2 + F 2 = [1 + (−1) n] F F + n n + 4 n + 2 n + 3 ฉันฉัน + 1 2 ฉัน = 0 n n + 1 2 1 n 2 = 2 − Fn + 1Fn ไร้สาย = 2 [1 + (−1)] + (n + 1) Fn + 1Fn + 2 − iFi ฉัน = 0 ฉัน = 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2054 MK Azarian ผู้เขียนบางส่วนของตัวตนฟีโบนักชี แต่บุคคลดังต่อไปเขียนอย่างน้อยหนึ่งของตัวตนที่เราได้นำเสนอในบทความนี้: อาร์เอชAnglin [1], จีดิ [5] ลิตร Carlitz [6] เจกินส์เบิร์ก [7] HW โกลด์ [8], RL เกรแฮม [9], JH Halton [10], VE Hoggatt จูเนียร์ [11, 12], VE Hoggatt จูเนียร์ และจีอี Bergum [13], JAH ฮันเตอร์ [14] ต Koshy [15-17], D. ลินด์[18], พีมานะ [19], GC โชคร้าย [20 21], CBA กัด [22], CW เรน [23], KS ราว [24] อาร์เอส Seamons [25], MNS สวามี่ [27 28] กรัม Wulczyn [29], CC Yalavigi [30], D. Zeitlin FD และปาร์กเกอร์ [31]. 2 . อัตลักษณ์เป็นที่รู้จักกันว่าด้านซ้ายมือตัวตนฟีโบนักชีในทฤษฎีบท 2.2- 2.7 สามารถเขียนได้เป็น (พลังของ) จำนวนฟีโบนักชีเดียว เรารับทราบว่าเราไม่ได้เป็นอิสระ Veri สาย ed ความถูกต้องของบางส่วนของตัวตนเหล่านี้. เพื่อดำเนินการสายแรกเราจำทฤษฎีบทต่อไปนี้จาก [1]. ทฤษฎีบท 2.1 [1] หาก Fn เป็นจำนวนฟีโบนักชีใด ๆ แล้วNN NN - 1 n - 2 n - 2 + 1 n - 2 Fn + 1 = + + ... + n + n 0 1 2 2 - 1 2 n 2 n - ฉัน= , n ≥ 0. ฉันi = 0 เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2-2.7 เราก็สามารถใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความจริงที่ว่าแต่ละตัวตนFibonacci อยู่ทางด้านซ้ายมือสามารถเขียนได้เป็น (อำนาจของ) จำนวนฟีโบนักชีเดียว หรือเราสามารถใช้หลักการของ mathemati- เหนี่ยวนำไขมันขัดแย้ง combinatorial หรือพีชคณิตง่ายเพียงเพื่อพิสูจน์เหล่านี้ทฤษฎีบท แต่เราเตือนผู้อ่านว่าบางส่วนของตัวตนเหล่านี้ได้รับไฟ Modi ค่อนข้างเอ็ดไป fi เสื้อเป็นรูปแบบที่ต้องการและพวกเขาไม่อาจมีลักษณะตรงตามที่ปรากฏในวรรณคดี. ทฤษฎีบท 2.2. n 2 (i) F (FF - F 2) = ( -1) 1 + n n i-1 + n n n + 2 1 + n ฉันi = 0 n 1 (ii) F 2 + F 2 - 4F 2 + F 2 = [1 + (-1) n] + FF n + n 4 n + 2 + n 3 ฉัน i + 1 2 i = 0 n 1 + n 2 1 2 n = Fn + 1Fn + 2 - Fi = 2 [1 + (-1)] + (n + 1 ) Fn + 1Fn + 2 - IFI i = 0 i = 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2588 . K . azarian

เขียนบางส่วนของ Fibonacci เอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม บุคคลต่อไปนี้
เขียนอย่างน้อยหนึ่งในเอกลักษณ์ที่เราได้นำเสนอในบทความนี้ : R .
h anglin [ 1 ] , G . L . carlitz คานดิโด [ 5 ] [ 6 ] , J . กินสเบิร์ก [ 7 ] , H . W . กูล [ 8 ] ,
R . L . Graham [ 9 ] , J . h Halton [ 10 ] , V . E . hoggatt จูเนียร์ [ 11 , 12 ] , V . E . hoggatt
จูเนียร์และ G . E . bergum [ 13 ] , J . A . H . ฮันเตอร์ [ 14 ] Tkoshy [ 17 ] , D . ลินด์
[ 18 ] , หน้ามานะ [ 19 ] , G . ดิลลา [ 20 , 21 ] , C . B . A . เพ็ค [ 22 ] , C . W . เรน [ 23 ] ,
K . S . Rao [ 24 ] , R . S . seamons [ 25 ] , M . S . Swamy [ 27 , 28 ] , G wulczyn [ 29 ] ,
c . C . yalavigi [ 30 ] , D . F . D . Parker และไซต์ลิน [ 31 ]

2 เอกลักษณ์

มันเป็นที่รู้จักกันว่าด้านซ้ายมือของอัตลักษณ์ Fibonacci ในทฤษฎีบท 2.2 -
27 . สามารถเขียนเป็น ( อำนาจ ) จำนวนฟีโบนัชชีเดียว เรายอมรับว่าเรายังไม่ได้เป็นอิสระ
ข้อมูลจึงเอ็ดความถูกต้องของบางส่วนของลักษณะเหล่านี้
ดำเนิน จึงตัดสินใจเดินทางไปเราจำทฤษฎีบทจาก [ 1 ] ดังต่อไปนี้

ของ 2.1 [ 1 ] ถ้าฟังก์ชันใด ๆลำดับหมายเลขแล้ว

n n
n n − 1 n − 2 n − 2 1 n − 2
FN 1 = . . . . . . . n n
0 1 2 2 − 1 2
n
2
n −ผม
= N ≥ 0
ฉัน = 0 =


ผมเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2-2.7 เราสามารถใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความเป็นจริง
แต่ละ Fibonacci เอกลักษณ์ด้านซ้ายมือ สามารถเขียนเป็น ( พลังของเลขฟีโบนัชชี
) เดี่ยว หรือเราสามารถใช้หลักการของ mathemati -
แคลเหนี่ยวการขัดแย้ง หรือ พีชคณิตง่ายเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้

อย่างไรก็ตาม เราขอเตือนผู้อ่านว่ามีเอกลักษณ์เหล่านี้มี
เป็นอะไรที่ Modi จึงเอ็ดจึงไม่ได้เป็นรูปแบบที่ต้องการและพวกเขาอาจจะดูไม่เหมือน
ตามที่ปรากฏในวรรณกรรม

ของ 2.2 .

n
2

( i ) F ( F F F − 1 ) = ( − 1 ) n n − 1 ชั้น 1
n n 2 n 1 ผม

ฉัน = 0 =




( 1 / 2 ) F 2 F 2 − 2 = [ 1 f แทนที่ 2 ( − 1 ) n ] f f
n n n n 2 3 4 ผม 1
2
0
n n = 1
2 = 2
1 N 1fn FN 2 − Fi = 2 [ 1 ( − 1 ) ( 1 ) 1fn FN 2 − IFI

ฉัน = 0 ฉัน = 0 =