They quickly assume this figure is

They quickly assume this figure is a rectangle, so when I ask them to calculate its area, they compute an area of 65. This seems to "prove" that 64 (the area of the original square) is equal to 65 (the area of the rectangle formed form the dissected pieces of the square). Our investigation of the new "rectangle" (via similar triangles) illustrates that the reconstructed figure is not truly a rectangle. This activity reinforces the necessity of rigorous proof in mathematics and alerts students to the dangers of accepting visual evidence as proof. The culmination of this lesson is reading and discussing the article "Fibonacci Sequences and a Geometrical Paradox" (cf [15]) in which Horadam shows how the Fibonacci numbers can be used to describe the area that appears to be gained in rearranging the parts of the square to form a rectangle. Using Horadam's article as a guide, we again analyze our 5x13 rectangle rearranged from the 8x8 square (Fig. 1). We observe that the one unit gain in area can be described by the relationship 5x13- 82 = 1, a particular example of connecting three successive Fibonacci numbers (Fn;Fn+l,Fn+2) by the generalized formula FnFn+1 -F2n+l - (-1)"+1. We then examine the relationship by considering the two cases, discovering: 1) when n is odd (as in our Fig. 1), the gain of one unit is the result of the appearance within the rectangle of a small parallelogram of unit area; 2) when n is even, the loss of one unit occurs because the unit parallelogram overlaps the dissected pieces. This gives the students visual evidence of how the Fibonacci numbers can be used to explain their dissection experiment, and how the results of their experiment can be expanded to include other cases. It is again, for them, yet another experience of utility within mathematics—the use of one mathematical topic to explain or clarify another. Now the students, appreciating the use of Fibonacci numbers within mathematics, are ready to explore the many directions that Fibonacci numbers can inspire outside of mathematics —describing natural phenomena, determining outcomes of games, providing economic solutions for ecological problems, etc. (cf. List of Resources). Because the students were tuned in to the idea of connections, these discussions and activities were more meaningful than they had ever been in any previous classes I had taught.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

อย่างรวดเร็วและคิดว่า รูปนี้เป็นสี่เหลี่ยม ดังนั้นเมื่อฉันขอให้คำนวณพื้นที่ของ พวกเขาคำนวณพื้นที่ 65 นี้ดูเหมือนว่าจะ "พิสูจน์" ว่า 64 (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม) เท่ากับ 65 (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปแบบชิ้นส่วน dissected ของสี่เหลี่ยม) การตรวจสอบของเราใหม่ "สี่เหลี่ยม" (ผ่านสามเหลี่ยมคล้าย) แสดงให้เห็นว่า ตัวเลขที่สร้างขึ้นใหม่ไม่ได้สี่เหลี่ยม กิจกรรมนี้ reinforces การพิสูจน์อย่างเข้มงวดในวิชาคณิตศาสตร์ และเตือนนักเรียนอันตรายยอมรับหลักฐานแสดงเป็นหลักฐาน สุดยอดของบทเรียนนี้คืออ่าน และสนทนาบทความ "ฟีโบนัชชีลำดับและเป็น Geometrical Paradox" (cf [15]) ที่ Horadam แสดงวิธีการใช้หมายเลขฟีโบนัชชีอธิบายพื้นที่ที่ได้รับในส่วนของสี่เหลี่ยมแบบสี่เหลี่ยมที่จัดเรียงใหม่ เราอีกโดยใช้บทความของ Horadam เป็นคู่มือ วิเคราะห์ของ 5 x 13 สี่เหลี่ยมปรับใหม่จาก 8 x 8 ตาราง (Fig. 1) เราสังเกตที่ สามารถอธิบายกำไรหนึ่งหน่วยในพื้นที่ โดยความสัมพันธ์ 5 x 13-82 = 1 ตัวอย่างการเชื่อมต่อสามต่อเลขฟีโบนัชชี (Fn Fn + l, Fn + 2) โดย FnFn สูตรเมจแบบทั่วไป + 1 - F2n + l - (-1) "+ 1 เราจากนั้นตรวจสอบความสัมพันธ์ โดยพิจารณากรณีที่สอง ค้นพบ: 1) เมื่อ n เป็นคี่ (ใน 1 Fig. ของเรา), กำไรของหน่วยหนึ่งเป็นผลของลักษณะที่ปรากฏภายในกรอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานเล็กของหน่วยพื้นที่ 2) เมื่อ n เป็นเลขคู่ การสูญเสียของหน่วยหนึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากสี่เหลี่ยมด้านขนานหน่วยทับซ้อนชิ้น dissected ซึ่งทำให้นักเรียนหลักฐานภาพวิธีหมายเลข Fibonacci สามารถใช้อธิบายการทดลองชำแหละ และสามารถขยายผลการทดลองของพวกเขาจะรวมกรณีอื่น ๆ วิธีการ เป็นอีกครั้ง พวกเขา อีกประสบการณ์ของอรรถประโยชน์ภายในคณิตศาสตร์ — ใช้หนึ่งหัวข้อทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบาย หรือชี้แจงอีก ตอนนี้นักเรียน ชอบใช้ของเลขฟีโบนัชชีในคณิตศาสตร์ พร้อมให้บริการคำแนะนำหลายที่หมายเลขฟีโบนัชชีสามารถสร้างแรงบันดาลใจนอกคณิตศาสตร์ — อธิบายปรากฏการณ์ธรรมชาติ การกำหนดผลลัพธ์ของเกม ให้แก้ไขปัญหาเศรษฐกิจปัญหาระบบนิเวศ เป็นต้น (รายการทรัพยากร cf.) เนื่องจากนักเรียนได้ผ่านกล่องในความคิดของการเชื่อมต่อ สนทนาและกิจกรรมเหล่านี้มีความหมายมากขึ้นกว่าที่พวกเขาเคยได้รับในชั้นใด ๆ ก่อนหน้านี้ที่ผมได้สอน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พวกเขาได้อย่างรวดเร็วถือว่าตัวเลขนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังนั้นเมื่อผมขอให้พวกเขาคำนวณพื้นที่พวกเขาคำนวณพื้นที่ 65 นี้ดูเหมือนว่าจะ "พิสูจน์" ที่ 64 (พื้นที่ของตารางเดิม) มีค่าเท่ากับ 65 (พื้นที่ของ สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เกิดขึ้นรูปแบบชิ้นชำแหละของตาราง) การตรวจสอบของเราใหม่ "สี่เหลี่ยม" (ผ่านสามเหลี่ยมคล้ายกัน) แสดงให้เห็นว่ารูปที่สร้างขึ้นใหม่ไม่ได้อย่างแท้จริงสี่เหลี่ยมผืนผ้า กิจกรรมนี้ตอกย้ำความจำเป็นของการพิสูจน์อย่างเข้มงวดในวิชาคณิตศาสตร์และนักเรียนที่จะแจ้งเตือนถึงอันตรายของการยอมรับหลักฐานภาพเป็นหลักฐาน สุดยอดของบทนี้คือการอ่านและการหารือบทความ "ลำดับฟีโบนักชีและเรขาคณิต Paradox" (CF [15]) ซึ่ง Horadam แสดงให้เห็นว่าตัวเลข Fibonacci สามารถนำมาใช้เพื่ออธิบายพื้นที่ที่ปรากฏขึ้นที่จะได้รับในการจัดเรียงชิ้นส่วนของ ตารางในรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า บทความ Horadam ใช้เป็นคู่มือของเราอีกครั้งวิเคราะห์สี่เหลี่ยมผืนผ้า 5x13 เราจัดจากตาราง 8x8 (รูปที่ 1). เราสังเกตว่ากำไรหนึ่งหน่วยในพื้นที่สามารถอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์ 5x13- 82 = 1 ตัวอย่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเชื่อมต่อสามตัวเลข Fibonacci เนื่อง (Fn; Fn + ลิตร Fn + 2) จากสูตรทั่วไป FnFn + 1 -F2n + L - (-1) "+ 1 จากนั้นเราจะตรวจสอบความสัมพันธ์โดยพิจารณาทั้งสองกรณีที่ค้นพบ: 1). เมื่อ n เป็นเลขคี่ (เช่นในรูปของเราที่ 1) กำไรจากหน่วยหนึ่งเป็นผลมาจากลักษณะที่ปรากฏ. ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมด้านขนานเล็ก ๆ ของหน่วยพื้นที่. 2) เมื่อ n คือแม้แต่การสูญเสียของหน่วยหนึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากสี่เหลี่ยมด้านขนานหน่วยคาบเกี่ยวชิ้นชำแหละนี้จะช่วยให้นักเรียนมีหลักฐานภาพของวิธีการที่ตัวเลข Fibonacci สามารถนำมาใช้ในการอธิบายของพวกเขา ทดลองผ่าและวิธีการที่ผลการทดลองของพวกเขาสามารถขยายไปถึงกรณีอื่น ๆ . มันเป็นอีกครั้งสำหรับพวกเขายังมีประสบการณ์อีกคนหนึ่งของยูทิลิตี้ภายในคณิตศาสตร์ที่ใช้หัวข้อทางคณิตศาสตร์อย่างใดอย่างหนึ่งที่จะอธิบายหรือชี้แจงอีก. ตอนนี้นักเรียนเห็นคุณค่า การใช้งานของตัวเลข Fibonacci ภายในคณิตศาสตร์มีความพร้อมในการสำรวจหลายทิศทางที่ตัวเลข Fibonacci สามารถสร้างแรงบันดาลใจด้านนอกของคณิตศาสตร์ -describing ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่กำหนดผลลัพธ์ของเกมการให้บริการโซลูชั่นทางเศรษฐกิจสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นในระบบนิเวศ ฯลฯ (cf รายการทรัพยากร) เพราะนักเรียนที่ถูกปรับในความคิดของการเชื่อมต่อการอภิปรายและกิจกรรมเหล่านี้เป็นความหมายมากขึ้นกว่าที่พวกเขาเคยอยู่ในชั้นเรียนก่อนหน้านี้ผมได้สอน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พวกเขาได้อย่างรวดเร็วถือว่า รูปนี้เป็นสี่เหลี่ยม เมื่อฉันถามพวกเขาเพื่อคำนวณพื้นที่ของตน พวกเขาคำนวณพื้นที่ 65 . นี้ดูเหมือนว่าจะ " พิสูจน์ " ว่า 64 ( พื้นที่เดิมตาราง ) จะเท่ากับ 65 ( พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปฟอร์มชำแหละชิ้นส่วนของตาราง )การสืบสวนของเราใหม่ของ " สี่เหลี่ยม " ( ผ่านสามเหลี่ยมคล้าย ) พบว่า ข้อมูลตัวเลข ไม่ได้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า กิจกรรมนี้ตอกย้ำความจำเป็นของการพิสูจน์ในทางคณิตศาสตร์ และการแจ้งเตือนที่เข้มงวดนักเรียนอันตรายยอมรับหลักฐานภาพเพื่อเป็นหลักฐานสุดยอดของบทเรียนนี้คือ การอ่านและการพิจารณาบทความ " ลำดับ Fibonacci และ Paradox เรขาคณิต " ( CF [ 15 ] ) ซึ่ง horadam แสดงให้เห็นว่าตัวเลข Fibonacci สามารถใช้เพื่ออธิบายพื้นที่ที่ปรากฏจะได้รับในการจัดเรียงบางส่วนของสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ใช้บทความ horadam เป็นคู่มือเรามาวิเคราะห์ของเรา 5x13 สี่เหลี่ยมผืนผ้า 77 จาก 8 เหลี่ยม ( รูปที่ 1 ) เราสังเกตว่า หนึ่งหน่วย เพิ่มพื้นที่สามารถอธิบายโดยความสัมพันธ์ 5x13 - 82 = 1 ตัวอย่างโดยเฉพาะการเชื่อมต่อสามต่อเนื่องลำดับเลข ( FN ; FN ผม FN 2 ) ตามสูตรทั่วไป fnfn 1 - f2n L - ( - 1 ) " 1 . จากนั้นเราก็ศึกษาความสัมพันธ์ โดยการพิจารณา 2 กรณี การค้นพบ :1 ) เมื่อ n เป็นคี่ ( เช่นในรูปที่ 1 ) ได้รับของหนึ่งหน่วยคือผลของลักษณะภายในกรอบสี่เหลี่ยมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานขนาดเล็กของพื้นที่หน่วย 2 ) เมื่อ n คือ แม้แต่ การสูญเสียของหน่วยหนึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากหน่วยรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคาบเกี่ยวการชำแหละชิ้นส่วน นี้จะช่วยให้นักเรียนมองเห็นหลักฐานว่าตัวเลข Fibonacci ที่สามารถใช้ในการอธิบายของพวกเขาของการทดลองทำไมผลการทดลองของพวกเขาสามารถขยายไปยังรวมถึงกรณีอื่น ๆ มันเป็นอีกครั้งสำหรับพวกเขา อีกหนึ่งประสบการณ์ของสาธารณูปโภคภายในคณิตศาสตร์การใช้คณิตศาสตร์เพื่ออธิบายหรือชี้แจงเรื่องหนึ่งอีก ตอนนี้นักเรียน เมื่อใช้ตัวเลข Fibonacci ในคณิตศาสตร์พร้อมที่จะสำรวจเส้นทางหลายเลขฟีโบนัชชีสามารถบันดาลนอกคณิตศาสตร์ - อธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ การกำหนดผลลัพธ์ของเกม , ให้บริการโซลูชั่นสำหรับปัญหาทางนิเวศวิทยา ฯลฯ ( CF รายการทรัพยากร ) เพราะนักเรียนมีความคืบหน้าในการคิดของการเชื่อมต่อการสนทนาเหล่านี้ และกิจกรรมที่มีความหมายมากขึ้นกว่าที่พวกเขาเคยมีในชั้นเรียนใด ๆก่อนหน้าผมได้สอน