we refer to [3, 5, 6, 7, 8, 11, 12,

we refer to [3, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18].
In this paper, we show that (1, 0, 2) is a unique non-negative integer solution
(x, y, z) for the Diophantine equation 3x + 45y = z2 where x, y and z are non-
negative integers.
2. Preliminaries
Proposition 2.1. [2] (Catalan’s conjecture) (3, 2, 2, 3) is a unique
solution (a, b, x, y) for the Diophantine equation ax − by = 1 where a, b, x and
y are integers such that min{a, b, x, y} > 1.
Lemma 2.2. [9] (1, 2) is a unique solution (x, z) for the Diophantine
equation 3x + 1 = z2 where x and z are non-negative integers.
Lemma 2.3. The Diophantine equation 1+45y = z2 has no non-negative
integer solution where y and z are non-negative integers.
Proof. Suppose that there are non-negative integers y and z such that 1 +
45y = z2. If y = 0, then z2 = 2 which is impossible. Then y ≥ 1. Then
z2 = 1 + 45y ≥ 1 + 451 = 46. Thus, z ≥ 7. Now, we consider on the equation
z2 − 45y = 1. By Proposition 2.1, we have y = 1. Thus, z2 = 46. This is
a contradiction. Hence, the Diophantine equation 1 + 45y = z2 has no non-
negative integer solution.
3. Main Results
Theorem 3.1. (1, 0, 2) is a unique non-negative integer solution (x, y, z)
for the Diophantine equation 3x + 45y = z2 where x, y and z are non-negative
integers.
Proof. Let x, y and z be non-negative integers such that 3x +45y = z2. By
Lemma 2.3, we have x ≥ 1. Note that z is even. Then z2 ≡ 0 (mod 4). Since
45y ≡ 1 (mod 4), it follows that 3x ≡ 3 (mod 4). We obtain that x is odd.
Now, we will divide the number y into two cases.
Case y = 0. By Lemma 2.2, we obtain that x = 1 and z = 2.
Case y ≥ 1. Then 45y ≡ 0 (mod 5). Note that 3y ≡ 2 (mod 5) or 3y ≡ 3
(mod 5). Then z2 ≡ 2 (mod 5) or z2 ≡ 3 (mod 5). In fact, z2 ≡ 0 (mod 5) or
z2 ≡ 1 (mod 5) or z2 ≡ 4 (mod 5). This is a contradiction.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราอ้างอิง [3, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18]ในเอกสารนี้ เราแสดงที่ (1, 0, 2) คือจำนวนเต็มไม่เป็นลบเฉพาะโซลูชัน(x, y, z) ในสมการ Diophantine 3 x + 45y = z2 ที่ x, y และ z เป็นใช่จำนวนเต็มลบ2. preliminaries2.1 ข้อเสนอ [2] (ข้อความคาดการณ์ของคาตาลัน) (3, 2, 2, 3) เป็นการเฉพาะโซลูชั่น (a, b, x, y) สำหรับ Diophantine สมการ ax −โดย = 1 a, b, x และy เป็นจำนวนเต็มเช่นนาทีที่ {a, b, x, y } > 1จับมือ 2.2 [9] (1, 2) เป็นการแก้ไขเฉพาะที่ (x, z) Diophantineสมการ 3 x + 1 = z2 ที่ x และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบจับมือ 2.3 สมการ Diophantine 1 + 45y = z2 มีไม่มีไม่เป็นค่าลบการแก้ปัญหาเต็มที่ y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบหลักฐานการ สมมติว่า มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ y และ z ดังกล่าวที่ 1 +45y = z2 ถ้า y = 0 แล้ว z2 = 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ แล้ว y ≥ 1 แล้วz2 = 1 + 45y ≥ 1 + 451 = 46 ดังนั้น z ≥ 7 ตอนนี้ เราพิจารณาในสมการz2 − 45y = 1 โดยเสนอ 2.1 เราได้ y = 1 ดังนั้น z2 = 46 นี่คือความขัดแย้ง ดังนั้น สมการ Diophantine 1 + 45y = z2 ได้ไม่ใช่จำนวนเต็มลบโซลูชัน3 ผลลัพธ์หลักทฤษฎีบท 3.1 (1, 0, 2) เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบเฉพาะการแก้ปัญหา (x, y, z)สำหรับสมการ Diophantine 3 x + 45y = z2 ที่ x, y และ z ไม่ใช่ค่าลบจำนวนเต็มหลักฐานการ ให้ x, y และ z จะไม่ใช่ค่าลบเป็นจำนวนเต็มเช่นนั้น 3 x + 45y = z2 โดยจับมือ 2.3 เรามี x ≥ 1 หมายเหตุที่ z จะได้ แล้ว z2 ≡ 0 (mod 4) ตั้งแต่45y ≡ 1 (mod 4), เป็นไปตามที่≡ 3 x 3 (mod 4) เรารับที่ x เป็นคี่ตอนนี้ เราจะแบ่งเลข y เป็นสองกรณีกรณี y = 0 โดยจับมือ 2.2 เรารับที่ x = 1 และ z = 2กรณี y ≥ 1 แล้ว 45y ≡ 0 (mod 5) หมายเหตุที่≡ 3y 2 (mod 5) หรือ 3y ≡ 3(mod 5) แล้ว z2 ≡ 2 (mod 5) หรือ≡ z2 (mod 5) 3 ในความเป็นจริง z2 ≡ 0 (mod 5) หรือz2 ≡ 1 (mod 5) หรือ≡ z2 (mod 5) 4 นี่คือความขัดแย้ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราดูที่ [ 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 ] .
ในกระดาษนี้เราแสดงให้เห็นว่า ( 1 , 0 , 2 ) เป็นเอกลักษณ์ไม่ลบจำนวนเต็มการแก้ปัญหา
( x , y , z ) สำหรับไดโอแฟนไทน์สมการ 3x 45y = กขึ้นที่ x , y และ z จะไม่ใช่ - ลบจำนวนเต็ม
.
2 รอบคัดเลือก
ข้อเสนอ 2.1 . [ 2 ] ( คาตาลันของออยเลอร์ ) ( 3 , 2 , 2 , 3 ) เป็นโซลูชั่น
( A , B , X , Y ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ขวาน−โดย = 1 ซึ่งเป็นB , x และ y เป็นจำนวนเต็มเช่นว่ามิน
{ A , B , X , Y } > 1 .
แทรก 2.2 . [ 9 ] ( 1 , 2 ) เป็นโซลูชั่น ( x , z ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์
3 x 1 = กขึ้นที่ X และ Z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ .
แทรก 2.3 สมการไดโอแฟนไทน์ที่ 1 45y = กขึ้นไม่มีจำนวนเต็มการแก้ปัญหาที่ไม่ลบ
y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ .
พิสูจน์ สมมติว่ามีไม่ใช่จำนวนเต็มลบ Y และ Z ที่ 1
45y = กขึ้น .ถ้า y = 0 แล้วกขึ้น = 2 ซึ่งมันเป็นไปไม่ได้ แล้ว Y ≥ 1 งั้น
กขึ้น = 1 45y ≥ 1 451 = 46 ดังนั้น Z ≥ 7 ตอนนี้ เราพิจารณาสมการ
กขึ้น 45y = − 1 โดยข้อเสนอ 2.1 เรามี Y = 1 ดังนั้น กขึ้น = 46 นี้ : ความขัดแย้ง ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์ 1 45y = กขึ้นไม่มีไม่ใช่ - ลบจำนวนเต็ม โซลูชั่น
.
3 หลักผล
ทฤษฎีบท 3.1 . ( 1 , 0 , 2 ) เป็นเอกลักษณ์ไม่ลบจำนวนเต็ม โซลูชั่น ( XY , Z )
สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ = 3x 45y กขึ้นที่ x , y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ
.
พิสูจน์ ให้ x , y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ 45y = 3x กขึ้น . โดย
แทรก 2.3 เรามี x ≥ 1 ทราบว่า ซี ได้ แล้ว≡กขึ้น 0 ( mod 4 ) ตั้งแต่
45y ≡ 1 ( mod 4 ) มันเป็นไปตามที่ 3x ≡ 3 ( mod 4 ) เราได้รับว่า x เป็นเลขคี่ .
ตอนนี้เราจะแบ่งตัวเลขออกเป็น 2 กรณีกรณี Y .
y = 0 โดยแทรก 2.2 ,เราได้รับที่ x = 1 และ Z = 2
กรณี Y ≥ 1 แล้ว 45y ≡ 0 ( mod 4 ) หมายเหตุที่ 2 ( mod 4 ) ≡ 3y 3y ≡หรือ 3
( mod 4 ) แล้ว≡กขึ้น 2 ( mod 4 ) หรือ≡กขึ้น 3 ( mod 4 ) ในความเป็นจริง , เซสท์แอร์เวย์≡ 0 ( mod 4 ) หรือ
กขึ้น≡ 1 ( mod 4 ) หรือ≡กขึ้น 4 ( mod 4 ) นี่คือความขัดแย้ง