Example 1.11 Solve the following se

Example 1.11

Solve the following second order ODE:
u − 5u + 6u = 6x + 7. (1.63)

We first find uc. The auxiliary equation for the related homogeneous equation
is given by
r2 − 5r + 6 = 0, (1.64)

with roots given by
r = 2,3. (1.65)

The general solution is given by
u(x) = αe2x + βe3x . (1.66)

Noting that g(x) = 6x + 7, then a particular solution is assumed to be of the
form
up = Ax + B. (1.67)

Since this is a particular solution, then substituting up into the inhomoge-
neous equation leads to

6Ax + (6B − 5A) = 6x + 7. (1.68)
Equating the coefficients of like terms from both sides gives

A = 1, B = 2. (1.69)
This in turn gives
u(x) = uc + up = αe2x + βe3x + x + 2, (1.70)

where α and β are arbitrary constants.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.11 ตัวอย่าง

แก้บทกวีลำดับต่อไปนี้ที่สอง:
U - 6U 5u = 6x 7 (1.63)

ครั้งแรกที่เราได้พบกับ UC สมการช่วยสำหรับ
สมการที่เกี่ยวข้องเหมือนกันจะได้รับโดย r2
- 5r 6 = 0, (1.64)

มีรากที่กำหนดโดย
r = 2,3 (1.65)

แก้ปัญหาทั่วไปที่จะได้รับโดย
U (x) = αe2xβe3x (1.66)

สังเกตว่า g (x) = 6x 7 แล้วการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะถือว่าเป็นของฟอร์ม

ขึ้น = b ขวาน (1.67)

ตั้งแต่นี้เป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งจากนั้นก็ขึ้นไปแทน inhomoge-
สม neous นำไปสู่​​การ

6AX (6b - 5A) = 6x 7 (1.68)
เท่าสัมประสิทธิ์ของคำเช่นจากทั้งสองฝ่ายให้

= 1, b = 2 (1.69)
นี้ในการเปิดให้
U (x) = uc = ขึ้นαe2xβe3x x 2, (1.70)

ที่αและβเป็นค่าคงที่โดยพลการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่าง 1.11

แก้ลำดับที่สองต่อไปนี้ ODE:
u − 5u 6u = 6 x 7 (1.63)

เรา first find uc สมการเหมือนสมการที่เกี่ยวข้องเสริม
กำหนดโดย
r2 − 5r 6 = 0 (1.64)

มีรากโดย
r = 2,3 (1.65)

โซลูชันทั่วไปถูกกำหนดโดย
u(x) = αe2x βe3x (1.66)

สังเกตว่า g(x) = 6 x 7 แล้วปัญหาเฉพาะจะถือว่าเป็นการ
ฟอร์ม
สูง = Ax B. (1.67)

เนื่องจากเป็นการแก้ไขเฉพาะ แล้วแทนค่าลงใน inhomoge -
neous สมการนำไป

6Ax (ของ 5A − 6B) = 6 x 7 (1.68)
Equating coefficients ของเช่นเงื่อนไขจากทั้งสองฝั่งให้

A = 1, B = 2 (1.69)
นี้จะให้
u(x) = uc ค่า = αe2x βe3x x 2 (1.70)

ที่αและβมีค่าคงที่ที่กำหนด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่น 1.11 โคลง

แก้ปัญหาที่สองต่อไปนี้:การสั่งซื้อ U
u - 5 U 6 = 6 x 7 ( 1.63 )

เรา UC find first . สมการเสริมสำหรับสมการเป็นเนื้อเดียวกันที่เกี่ยวข้อง

จะได้รับโดย R 2 - 5 R 6 = 0 ( 1.64 )

ด้วยรากโดย
r = 2,3 ( 1.65 )

โซลูชันโดยทั่วไปจะได้รับโดย
U ( X )= αe 2 x βe 3 x ( 1.66 )

สังเกต G ( X )ที่= 6 x 7 และโซลูชันเฉพาะที่จะถูกคาดหมายว่าได้รับของ

แบบฟอร์มขึ้น= AX B .( 1.67 )

นับตั้งแต่นี้เป็นโซลูชันเฉพาะที่อื่นแทนแล้วขึ้นไปสมการ inhomoge -
neous ที่นำไปสู่

6 AX ( 6 b - 5 A )= 6 x 7 ( 1.68 )
ทำงานเท่า coefficients ที่จากทั้งสองด้านให้

ที่= 1 B = 2 ( 1.69 )
นี้ในการเปิดให้
U ( X )= UC ขึ้น= αe 2 x βe 3 X / X 2 ( 1.70 )

ที่กล้องและเฉพาะมีค่าคงที่ตาม อำเภอ ใจ.