3.Proofs Proof of Theorem 1. As men

3.Proofs
Proof of Theorem 1. As mentioned above, only the relation
requires proof. Let us rewrite the mean absolute deviation formula (1) as
Denote the right-hand side by E(n, k, p), and put G(n, k, p) = 2E(n, k, p) 2 /(p(1 − p)). Then (10) is equivalent to the claim
The domain where (11) is to be proved may be reparametrized by the inequalities
Now the function G(n, k, •) is increasing on [(k − 1)/n, (2k − 1)/2n] and decreasing on [(2k − 1)/2n, k/n]—and hence we need only consider the endpoints p = (k − 1)/n and p = k/n.
To examine the first possibility, we take p = (k − 1)/n and seek a k that minimizes G(n, k, (k − 1)/n). To this end, we consider the inequality G(n, k + 1, k/n) ≥ G(n, k, (k − 1)/n), which is equivalent (after a routine calculation) to
Since the function f(x) = (1+1/x) 2x+1 is monotonically decreasing on [1,∞), inequality (12) holds whenever k ≤ (n+1)/2. We conclude that G(n, k, (k−1)/n)is minimized at the smallest allowed value of k, which is k = 2. We easily verify that the inequality G(n, 2, 1/n) ≥ n is equivalent to 8(n − 1) 2n−1 ≥ n 2n−1 for all n ≥ 2, which again follows from the monotonicity of (1 + 1/x) 2x+1 .
The second case, p = k/n, is analyzed in an exactly analogous manner.
Lemma 5. Suppose n ∈ N and p ∈ R N is a distribution. Then
If additionally p ∈ R k has finite support, then

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3.หลักฐาน หลักฐานของทฤษฎีบทที่ 1 ดังกล่าวข้างต้น ความสัมพันธ์ต้องมีหลักฐาน ให้เราเขียนสูตรส่วนเบี่ยงเบนสัมบูรณ์หมายถึง (1) เป็นแสดงทางด้านขวา โดย E (n, k, p), และใส่ G (n, k, p) = 2E (n, k, p) 2 / (p (p − 1)) แล้ว (10) เทียบเท่ากับการเรียกร้องโดเมนที่ (11) คือ การได้พิสูจน์อาจจะ reparametrized โดยความเหลื่อมล้ำทางการตอนนี้ได้เพิ่มฟังก์ชัน G (n, k •) [(k − 1) n, (2 k − 1) / 2n] และลดในวัน 2 คืน [(2k − 1), k/n] — และดังนั้น เราต้องพิจารณาเท่านั้นปลายทาง p = (k − 1) / n และ p = k/n การตรวจสอบความเป็นไปได้ครั้งแรก เรามี p = (k − 1) / n และ k ที่ช่วยลด G (n, k (k − 1) / n) เพื่อการนี้ เราพิจารณาอสมการ G (n, k + 1, k/n) ≥ G (n, k (k − 1) / n), ซึ่งจะเท่ากับ (หลังจากคำนวณตามปกติ) เพื่อตั้งแต่ f(x) ฟังก์ชัน = (1 + 1 / x) 2 x + 1 เส้นลดบน [∞ 1 ), อสมการ (12) จัดเก็บใด≤ k (n + 1) / 2 เราสรุปได้ว่า G (n, k (k−1) / n) ย่อเล็กสุดเท่าค่าของ k ซึ่งเป็น k = 2 เราได้ตรวจสอบว่า อสมการ G (n, 2, 1/n) ≥ n จะเท่ากับ 8 (n − 1) 2n−1 ≥ 2n−1 n สำหรับทุก n ≥ 2 ที่อีก จาก monotonicity ของ (1 + 1 / x) 2 x + 1 การสองกรณี p = k/n วิเคราะห์ในลักษณะคล้ายกับการLemma 5 สมมติว่า n ∈ N และ p ∈ R N คือการ กระจาย แล้วนอกจากนี้ถ้า k ∈ R p มีจำกัดสนับสนุน แล้ว

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.Proofs
พิสูจน์ทฤษฎีบท 1. ดังกล่าวข้างต้นเพียงความสัมพันธ์
ต้องมีหลักฐาน ขอให้เราเขียนสูตรเบี่ยงเบนเฉลี่ยสัมบูรณ์ (1) ขณะที่
แสดงถึงด้านขวามือทาง E (n, K, P) และใส่ G (n, K, P) = 2E (n, K, P) 2 / ( P (1 - P)) จากนั้น (10) เทียบเท่ากับการเรียกร้อง
โดเมนที่ (11) จะได้รับการพิสูจน์แล้วว่าอาจจะ reparametrized โดยอสมการ
ตอนนี้ฟังก์ชั่น G (n, K, •) จะเพิ่มขึ้นใน [(k - 1) / n (2k - 1) / 2n] และลดลงใน [(2k - 1) / 2n, K / n] และอื่นด้วยเหตุนี้เราต้องพิจารณาเฉพาะจุดสิ้นสุด p = (k. - 1) / n และ p = K / n
ในการตรวจสอบ ความเป็นไปได้ครั้งแรกที่เราใช้ p = (k - 1) / n และแสวงหา AK ที่ช่วยลด G (n, K, k (- 1) / n) ด้วยเหตุนี้เราพิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน G (n, k + 1, K / n) ≥ G (n, K, k (- 1) / n) ซึ่งเทียบเท่า (หลังจากการคำนวณประจำ) ไป
ตั้งแต่ฟังก์ชัน f (x) = (1 + 1 / x) 2x + 1 monotonically ลดลงใน [1, ∞) ความไม่เท่าเทียมกัน (12) เมื่อใดก็ตามที่ถือ k ≤ (n + 1) / 2 เราสรุปได้ว่า G (n, K, (K-1) / n) จะลดมูลค่าที่ได้รับอนุญาตที่เล็กที่สุดของ K ซึ่งเป็น K = 2. เราได้อย่างง่ายดายตรวจสอบว่ามีความไม่เท่าเทียมกัน G (n, 2, 1 / n) ≥ n คือเท่ากับ 8 (n - 1). 2n-1 ≥ n 2n-1 สำหรับทุก n ≥ 2 อีกครั้งซึ่งต่อจาก monotonicity (1 + 1 / x) 2x + 1
กรณีที่สอง, P = K / n, มีการวิเคราะห์ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันแน่.
แทรก 5. สมมติว่า n ∈ไนโตรเจนและฟอสฟอรัส∈ RN คือการกระจาย แล้ว
ถ้ายัง P ∈ R K ได้รับการสนับสนุนที่แน่นอนแล้ว

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . หลักฐานข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่ 1 ดังกล่าวข้างต้น แต่ความสัมพันธ์ต้องมีหลักฐาน ให้เราเขียนส่วนเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย ( 1 ) สูตรแสดงด้านขวามือโดย E ( n , k , P ) และใส่ G ( n , k , P = 2 ( n , k , P ) 2 / ( P ( 1 − P ) ) ( 10 ) เทียบเท่ากับการเรียกร้องโดเมนที่ ( 11 ) คือต้องพิสูจน์ อาจจะ reparametrized โดยอสมการตอนนี้ฟังก์ชั่น g ( n , k , A4 ) เพิ่มใน [ ( K − 1 ) / N ( 2K − 1 ) / 2 ] และลดลงใน [ ( 2K − 1 ) 2 K / n ] - และดังนั้นเราต้องพิจารณาข้อมูล P = ( K ( − 1 ) N และ P = k / Nเพื่อ ศึกษาความเป็นไปได้ก่อน เราใช้ P = ( K ( − 1 ) / N และแสวงหา K ที่ช่วยลด G ( n , K ( K ( − 1 ) / N ) จุดนี้เราพิจารณาอสมการ g ( n , k + 1 K / n ) ≥ g ( n , K ( K ( − 1 ) / n ) ซึ่งเทียบเท่า ( หลังคำนวณตามปกติ )ตั้งแต่ฟังก์ชัน f ( x ) = ( 1 + 1 / + 1 x 2 x ) monotonically ลดลงใน [ 1 ∞ ) , ความไม่เท่าเทียมกัน ( 12 ) ถือเมื่อ k ≤ ( n + 1 ) / 2 เราสรุปได้ว่า g ( n , K ( K ( − 1 ) / n ) จะลดลงที่น้อยที่สุดที่อนุญาตค่า K ซึ่งเป็น k = 2 เราสามารถตรวจสอบว่าความไม่เสมอภาค g ( n , 2 , 1 / n ) ≥ n เท่ากับ 8 ( n − 1 ) 2n − 1 ≥ n 2n − 1 สำหรับทุก n ≥ 2 ซึ่งอีก 1 จาก monotonicity ( 1 + 1 / x ) 2x + 1กรณีที่ 2 , p = k / N มีการวิเคราะห์ในลักษณะว่าเลียนแบบพ 5 สมมติว่า N ∈ N P R N ∈เป็นกระจาย จากนั้นถ้านอกจากนี้ P ∈ R K มีการสนับสนุนจำกัดแล้ว