Example 1.12 Solve the following in

Example 1.12

Solve the following initial value problem

x
u + 9u = 20e , u(0) = 3, y (0) = 5. (1.71)

We first find uc. The auxiliary equation for the related homogeneous equation
is given by
r2 + 9 = 0, (1.72)

where we find
r = ±3i, i2 = −1. (1.73)

The general solution is given by

u(x) = α cos(3x) + β sin(3x). (1.74)
Noting that g (x) = 20ex , then a particular solution is assumed to be of the

form:
up = Aex . (1.75)

Since this is a particular solution, then substituting up into the inhomoge-
neous equation leads to
10Aex = 20ex, (1.76)

so that
A = 2. (1.77)

This in turn gives the general solution
u(x) = uc + up = α cos(3x) + β sin(3x) + 2ex . (1.78)

Since the initial conditions are given, the numerical values for α and β should
be determined. Substituting the initial values into the general solution we find

α + 2 = 3, 3β + 2 = 5, (1.79)
where we find
α = 1, β = 1. (1.80)

Accordingly, the particular solution is given by
u(x) = cos(3x) + sin(3x) + 2ex . (1.81)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.12 ตัวอย่าง

แก้ปัญหาค่าเริ่มต้นดังต่อไปนี้

x
U 9u = 20E, U (0) = 3, y (0) = 5 (1.71)

ครั้งแรกที่เราได้พบกับ UC สมการช่วยสำหรับ
สมการที่เกี่ยวข้องเหมือนกันที่จะได้รับโดย
r2 9 = 0, (1.72)

ที่เราพบ
r = ± 3i, i2 = -1 (1.73)

แก้ปัญหาทั่วไปที่จะได้รับโดย

U (x) = αβบาป cos (3x) (3x) (1.74)
สังเกตว่า g (x) = 20ex,แล้วการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะถือว่าเป็นของ

รูปแบบ:
ขึ้น = AEX (1.75)

ตั้งแต่นี้เป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งจากนั้นก็ขึ้นไปแทน inhomoge-
สม neous นำไปสู่​​การ 10aex
= 20ex, (1.76)

เพื่อให้
= 2 (1.77)

นี้จะช่วยให้การแก้ปัญหาทั่วไป
U (x) = uc ขึ้น = αβบาป cos (3x) (3x) 2EX (1.78)

ตั้งแต่เงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับค่าตัวเลขสำหรับαและβ
ควรได้รับการพิจารณา แทนค่าเริ่มต้นในการแก้ปัญหาทั่วไปที่เราพบ

α 2 = 3, 3β 2 = 5, (1.79)
ที่เราพบ
αβ = 1, = 1 (1.80)

ดังนั้นการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะได้รับโดย
U (x) = cos บาป (3x) (3x) 2EX (1.81)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่าง 1.12

แก้ค่าเริ่มต้นต่อไปนี้ปัญหา

x
u 9u = 20e, u(0) = 3, y (0) = 5 (1.71)

เรา first find uc สมการสมการเหมือนเกี่ยวข้องเสริม
กำหนดโดย
r2 9 = 0 (1.72)

ที่เรา find
r = ±3i, i2 = −1 (1.73)

โซลูชันทั่วไปถูกกำหนดโดย

u(x) =α cos(3x) β sin(3x) (1.74)
สังเกตว่า g (x) = 20ex แล้วปัญหาเฉพาะจะถือว่าเป็นการ

แบบฟอร์ม:
= Aex ขึ้น (1.75)

เนื่องจากเป็นการแก้ไขเฉพาะ แล้วแทนค่าลงใน inhomoge -
neous สมการนำไป
10Aex = 20ex, (1.76)

ให้
A = 2 (1.77)

ซึ่งจะทำให้โซลูชันทั่วไป
u(x) = uc =α cos(3x) β sin(3x) 2ex ขึ้น (1.78)

เนื่องจากมีกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น ควรเป็นตัวเลขค่าαและβ
สามารถกำหนด แทนการเริ่มต้นค่าในการแก้ปัญหาทั่วไปเรา find

α 2 = 3, 3β (1.79) 2 = 5
ที่เรา find
α = 1 β = 1 (1.80)

ตาม กำหนดโซลูชันเฉพาะโดย
u(x) = cos(3x) sin(3x) 2ex (1.81)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่น 1.12

แก้ปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้:ปัญหา

x
U 9 U = 20 e U ( 0 )= 3 , Y ( 0 )= 5 ( 1.71 )

เรา UC find first . สมการเสริมสำหรับสมการเป็นเนื้อเดียวกันที่เกี่ยวข้อง

จะได้รับโดย R 29 = 0 ( 1.72 )

สถานที่ซึ่งเรา find
r =± 3 ผม 2 = - 1 . ( 1.73 )

โซลูชันโดยทั่วไปจะได้รับโดย

U ( X )ผักกาดหวาน=กล้อง( 3 x )เฉพาะเครื่องบูชาไถ่บาป( 3 x ). ( 1.74 )
สังเกต G ( X )ที่= 20 EXโซลูชันเฉพาะที่แล้วจะถูกคาดหมายว่าได้รับของ

รูปแบบ
=เพื่อให้ได้. ( 1.75 )

นับตั้งแต่นี้เป็นโซลูชันเฉพาะที่อื่นแทนแล้วขึ้นไปสมการ inhomoge -
neous ที่นำไปสู่
10 เพื่อให้= 20 EX ( 1.76 )

ดังนั้น
ที่= 2 ( 1.77 )

นี้ในการทำให้โซลูชันโดยทั่วไป
U ( X )= UC ขึ้นผักกาดหวาน=กล้อง( 3 x )เฉพาะเครื่องบูชาไถ่บาป( 3 x ) 2 EX ( 1.78 )

เนื่องจากเงื่อนไขเบื้องต้นที่ได้รับค่าตัวเลขที่เฉพาะสำหรับกล้องและควรจะได้รับการกำหนด~ ใช้ค่าเริ่มต้นที่เข้ากับโซลูชันโดยทั่วไปเรา find

กล้อง 2 = 3 , 3 เฉพาะ 2 = 5 ( 1.79 )
สถานที่ซึ่งเรา find
กล้อง= 1 เฉพาะ= 1 ( 1.80 )

โซลูชันเฉพาะจึงเรียนมาเพื่อจะได้รับโดย
U ( X )=ผักกาดหวาน( 3 x )เครื่องบูชาไถ่บาป( 3 x ) 2 ex . ( 1.81 )