In linear algebra, the determinant

In linear algebra, the determinant is a value associated with a square matrix. It can be computed from the entries of the matrix by a specific arithmetic expression, while other ways to determine its value exist as well. The determinant provides important information about a matrix of coefficients of a system of linear equations, or about a matrix that corresponds to a linear transformation of a vector space. In the first case the system has a unique solution exactly when the determinant is nonzero; when the determinant is zero there are either no solutions or many solutions. In the second case the transformation has an inverse operation exactly when the determinant is nonzero. A geometric interpretation can be given to the value of the determinant of a square matrix with real entries: the absolute value of the determinant gives the scale factor by which area or volume (or a higher-dimensional analogue) is multiplied under the associated linear transformation, while its sign indicates whether the transformation preserves orientation. Thus a 2 × 2 matrix with determinant −2, when applied to a region of the plane with finite area, will transform that region into one with twice the area, while reversing its orientation.

Determinants occur throughout mathematics. The use of determinants in calculus includes the Jacobian determinant in the substitution rule for integrals of functions of several variables. They are used to define the characteristic polynomial of a matrix that is an essential tool in eigenvalue problems in linear algebra. In some cases they are used just as a compact notation for expressions that would otherwise be unwieldy to write down.

The determinant of a matrix A is denoted det(A), det A, or |A|.[1] In the case where the matrix entries are written out in full, the determinant is denoted by surrounding the matrix entries by vertical bars instead of the brackets or parentheses of the matrix. For instance, the determinant of the matrix

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในพีชคณิตเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์เป็นค่าที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์จัตุรัส มันสามารถถูกคำนวณจากรายการต่าง ๆ ของเมตริกซ์ โดยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์การเฉพาะ ในขณะที่วิธีอื่น ๆ ในการกำหนดค่ามีอยู่เช่นนั้น ดีเทอร์มิแนนต์แสดงข้อมูลสำคัญ เกี่ยวกับเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้น หรือ เกี่ยวกับเมตริกซ์ที่สอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์ ในกรณีแรก ระบบมีโซลูชันเฉพาะตรงดีเทอร์มิแนนต์เป็น nonzero เมื่อดีเทอร์มิแนนต์ มีศูนย์จะไม่แก้ไขปัญหาหรือแก้ไขปัญหามากมาย ในกรณีที่สอง การเปลี่ยนแปลงที่มีการดำเนินการผกผันตรงเมื่อดีเทอร์มิแนนต์เป็น nonzero การตีความทางเรขาคณิตสามารถได้รับค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสกับรายการจริง: ตัวคูณสเกลซึ่งพื้นที่ หรือปริมาตร (หรืออนาล็อกสูงมิติ) คูณภายใต้การแปลงเชิงเส้นเชื่อมโยง ในขณะที่มีเครื่องหมายบ่งชี้ว่า การที่รักษาแนวให้ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ ดังนั้น เมทริกซ์ 2 × 2 กับดีเทอร์มิแนนต์ −2 เมื่อใช้กับภาคของเครื่องบินที่มีพื้นที่จำกัด จะเปลี่ยนที่เป็นหนึ่งในสองพื้นที่ ขณะกลับวางมันดีเทอร์มิแนนต์เกิดขึ้นตลอดทั้งคณิตศาสตร์ ใช้ของดีเทอร์มิแนนต์ในแคลคูลัสรวมดีเทอร์มิแนนต์ Jacobian ในกฎการแทนที่สำหรับปริพันธ์ของฟังก์ชันหลายตัวแปร พวกเขาจะใช้เพื่อกำหนดโพลิโนเมียลักษณะของเมทริกซ์ที่เป็นเครื่องมือสำคัญในปัญหา eigenvalue ในพีชคณิตเชิงเส้น ในบางกรณี พวกเขาจะใช้เพียงเป็นสัญลักษณ์ขนาดกะทัดรัดสำหรับนิพจน์ที่มิฉะนั้นจะจด unwieldyดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A จะสามารถบุ det(A) เดช A หรือ |A|[1] ในกรณีที่เขียนรายการเมตริกซ์ออกเต็ม ดีเทอร์มิแนนต์จะสามารถบุ โดยรอบรายการเมตริกซ์โดยแถบแนวตั้งแทนวงเล็บหรือเล็บของเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เช่น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในพีชคณิตเชิงเส้นปัจจัยคือค่าที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์สแควร์ ก็สามารถที่จะคำนวณจากรายการของเมทริกซ์โดยการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงในขณะที่วิธีอื่น ๆ ในการกำหนดมูลค่าของที่มีอยู่เช่นกัน ปัจจัยที่จะให้ข้อมูลที่สำคัญเกี่ยวกับเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้นหรือประมาณเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ ในกรณีแรกที่ระบบมีวิธีที่ไม่ซ้ำว่าเมื่อปัจจัยคือภัณฑ์; เมื่อปัจจัยที่เป็นศูนย์มีทั้งไม่มีการแก้ปัญหาหรือการแก้ปัญหาหลาย ๆ ในกรณีที่สองการเปลี่ยนแปลงมีการดำเนินการผกผันว่าเมื่อปัจจัยคือภัณฑ์ การตีความทางเรขาคณิตจะได้รับมูลค่าของปัจจัยของเมทริกซ์สแควร์กับรายการจริง: ค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยให้ตัวประกอบสเกลโดยที่พื้นที่หรือปริมาตร (หรืออะนาล็อกที่สูงขึ้นมิติ) คูณภายใต้การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นที่เกี่ยวข้อง ในขณะที่สัญญาณที่บ่งชี้ว่าการเปลี่ยนแปลงการวางแนวทางรักษา ดังนั้น 2 × 2 เมทริกซ์ที่มีปัจจัย -2 เมื่อนำไปใช้กับพื้นที่ของเครื่องบินมีพื้นที่ จำกัด จะเปลี่ยนภูมิภาคที่เป็นหนึ่งเดียวกับสองเท่าในขณะที่การกลับทิศทางของปัจจัยที่เกิดขึ้นตลอดทั้งคณิตศาสตร์ การใช้ปัจจัยในแคลคูลัสรวมถึงปัจจัยจาโคเบียนในกฎทดแทนสำหรับปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลาย พวกเขาจะใช้ในการกำหนดลักษณะพหุนามของเมทริกซ์ที่เป็นเครื่องมือสำคัญในปัญหาค่าเฉพาะในพีชคณิตเชิงเส้น ในบางกรณีพวกเขาจะใช้เช่นเดียวกับสัญกรณ์ขนาดกะทัดรัดสำหรับการแสดงออกที่อื่นจะเทอะทะที่จะเขียนลงปัจจัยของเมทริกซ์จะแสดงเดชอุดม (A), เดชอุดมหรือ | |. [1] ในกรณีที่ รายการเมทริกซ์จะเขียนออกมาในเต็มรูปแบบปัจจัยที่มีการแสดงโดยรอบรายการเมทริกซ์โดยแถบแนวตั้งแทนของวงเล็บหรือวงเล็บของเมทริกซ์ ยกตัวอย่างเช่นปัจจัยของเมทริกซ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในพีชคณิตเชิงเส้น กำหนดเป็นค่าที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์สแควร์ สามารถคำนวณได้จากรายการของเมทริกซ์โดยนิพจน์เลขคณิตเฉพาะเจาะจง ในขณะที่วิธีการอื่น ๆเพื่อตรวจสอบค่าของมันอยู่เช่นกัน การกำหนดให้ข้อมูลที่สำคัญเกี่ยวกับเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้นหรือเกี่ยวกับเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นที่ ในกรณีแรกระบบโซลูชั่นตรงเมื่อกำหนดเป็น 0 ; เมื่อหนึ่งคือศูนย์มีให้โซลูชั่นที่ไม่มีหรือหลายโซลูชั่น ในกรณีที่สอง การเปลี่ยนแปลงมีการผกผันกัน เมื่อกำหนดเป็น 0 .การตีความทางเรขาคณิตสามารถให้ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสที่มีรายการจริง : ค่าสัมบูรณ์ของตัวกำหนดให้ตัวประกอบมาตราส่วน ซึ่งพื้นที่หรือปริมาตรหรือขนาดสูงอนาล็อก ) คูณ สังกัดที่เกี่ยวข้องการแปลงเชิงเส้น , ในขณะที่สัญญาณบ่งชี้ว่า การรักษา การปฐมนิเทศดังนั้น 2 × 2 เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์กับ− 2 เมื่อใช้กับภูมิภาคของเครื่องบินที่มีพื้นที่จำกัดจะเปลี่ยนประเทศเป็นหนึ่ง กับ สอง พื้นที่ ในขณะที่การย้อนกลับของการปฐมนิเทศ

กำหนดการเกิดขึ้นตลอด คณิตศาสตร์ การใช้ตัวแปรในแคลคูลัสรวมถึงจาโคเบียนกำหนดในกฎทดแทนสำหรับส่วนประกอบของฟังก์ชันหลายตัวแปรพวกเขาจะใช้เพื่อกำหนดโดยลักษณะของเมตริกซ์เป็นเครื่องมือสําคัญในค่าปัญหาพีชคณิตเชิงเส้น ในบางกรณีที่พวกเขาจะถูกใช้เพียงเป็นสัญกรณ์ขนาดเล็กสำหรับการแสดงออกที่มิฉะนั้นจะช้าเกินไปที่จะเขียนลง

ที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A เขียนเดช ( เดช ) , หรือ | เป็น | [ 1 ] ในกรณีที่เมตริกซ์รายการเขียนออกมาในแบบเต็มเขียนโดยปัจจัยแวดล้อม Matrix รายการโดยแถบแนวตั้งแทนของเล็บหรือ ) ของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์