Adding for all the layers and assem

Adding for all the layers and assembling over the m elements, the
global geometric stiffness matrix KG for the shell is obtained and
the total strain energy Unl of the shell is given by:
Unl ¼
1
2
dTKGd ð46Þ
6.3. Kinetic energy
Kinetic energy for an ith layer of a FGM sandwich shell is
written as:
TðiÞ ¼
1
2 qðiÞ
eff
Z
V
u_ ðiÞ  2
þ v_ ðiÞ  2
þ w_ ðiÞ  2 n o
dV ð47Þ
where u_ ðiÞ; v_ ðiÞ and w_ ðiÞ are the velocities of the differential element
of FGM sandwich shell. On performing integration over the thickness
for jth element, kinetic energy for the same can be expressed
as:
TðiÞ
j ¼
1
2
Z
A
d_ ðiÞ
T
j NðiÞ
T
j IðiÞNðiÞ
j
d_ ðiÞ
j dA ð48Þ
where NðiÞ
j and IðiÞ are the shape function and inertia matrices for
any ith layer of the jth element and the same are given in
Appendix A.
On summing up the kinetic energies of all m elements, total
kinetic energy for any ith layer is written as:
TðiÞ ¼
1
2
Xm
j¼1
Z
A
d_ ðiÞ
T
j NðiÞ
T
j IðiÞNðiÞ
j
d_ ðiÞ
j dA ð49Þ
Eq. (49) can also be written as:
TðiÞ ¼
1
2
Xm
j¼1
_ dTj
mðiÞ
j
d_ j ð50Þ
where mðiÞ
j denotes the element mass matrix for ith layer of jth
element given by:
mðiÞ
j ¼
1
2
Z
A
NðiÞ
T
j IðiÞNðiÞ
j dA ð51Þ
The total kinetic energy T of entire shell is given by:
T ¼
1
2
d_ TMd_ ð52Þ
where M is the mass matrix for the shell.
7. Governing differential equation – Hamilton’s principle
Hamilton’s principle is used here to derive governing equation
for the free vibration analysis of FGM sandwich shell which in
absence of damping and external force is given as:
Z t2
t1
d½ðT  Ul  UnlÞdt ¼ 0 ð53Þ
where t1 and t2 are the time interval during which the variation is
taken. Substituting the values of Ul;Unl and T from Eqs. (37), (46)
and (52) in Eq. (53) and taking first variation for the three energies
which is given by:
dT ¼ ddMd; dUl ¼ ddKd and dUnl ¼ ddKGd ð54Þ
Following the standard procedure for solving Eq. (53) for free vibration
analysis, the governing equation for the same is obtained in the
following form:
K þ KG  x2M ¼ 0 ð55Þ
For case of non-thermal analysis, the matrix KG = 0.
8. Results and discussion
In this section, a wide range of comparison and parametric
studies are taken up for studying free vibration of FGM shells under
thermal and non-thermal environmental conditions. First, the natural
frequencies obtained from the present layerwise formulation
using three different shell theories are compared with the results
available in the literature in order to establish the correctness of
the present formulation. Next, the effects of geometric parameters,
elastic properties, boundary conditions, micromechanical model
and thermal gradients on the natural frequencies of FGM sandwich
shells are investigated. Two different boundary conditions, simply
supported (SSSS) and clamped (CCCC) are considered in the present
analysis, unless otherwise mentioned. An SSSS condition implies
degrees of freedom v0;w0; hð1Þ
y ; hð2Þ
y and hð3Þ
y and u0;w0; hð1Þ
x ; hð2Þ
x and
hð3Þ
x are zero along edges x ¼ 0; a and y ¼ 0; b, respectively. A
CCCC condition means all nine degrees of freedom are zero along
all the four edges.
8.1. Free vibration of single layered FGM shells in non-thermal
environment
Convergence and comparison of natural frequencies of single
layered FGM spherical (SPH) shell is taken up here in order to
evaluate the correctness of the present layerwise formulation.
The single layered FGM shell is made of aluminum (Al) with
Em ¼ 70 GPa and qm ¼ 2702 kg/m3 and mm ¼ 0:3 and Silicon carbide
(SiC) with Ec ¼ 427 GPa and qc ¼ 3100 kg/m3 and mc ¼ 0:17.
The FGM shell is rich in ceramic (SiC) when n = 0 and metal rich
when n¼1. Also, for the FGM the top and bottom surfaces are
rich in ceramic and metal, respectively. The present layerwise formulation
is used to model the single layered FGM shell by reducing
the thickness of top and bottom layer nearly equal to zero. For a
single layered FGM shell, the present layerwise theory reduces to
FSDT requiring a shear correction factor k ¼ 5=6. Table 1 presents
non-dimensional frequencies X ¼ xða2=hÞ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qm=Em
p
for a square
single layered clamped (CCCC) FGM shell having geometric parameters
Ry=a ¼ 5; a=b ¼ 1 and a/h = 5 for four different mesh sizes of
4  4, 6  6, 8  8 and 10  10. The values of X tabulated in
Table 1 are obtained by employing the ROM micromechanical
model and Donnell’s shell theory. It is observed from Table 1 that
the non-dimensional frequencies for the above mentioned shell
converge for the mesh size of 8  8 and found matching well with
that of Kapuria et al. [41]. Similar convergence of frequencies is
observed for FGM shells when other shell theories and MT
micromechanical model are employed, which is not presented
here, for the sake of brevity. In subsequent analysis, a mesh size
of 8  8 is considered.
Next, comparison of natural frequencies for a square SSSS single
layered spherical FGM shell are presented in Tables 2 and 3 for
Ry=a ¼ 2 and 5, respectively. The material properties are computed
using both ROM and MT micromechanical models. The
non-dimensional frequency parameter and material properties
considered are same as given in convergence study. It is observed
Table 1
Convergence of non-dimensional frequencies of a square CCCC Al/SiC SPH single
layered FGM shells (Ry=a ¼ 5; Rx ¼ Ry; a=h ¼ 5; n ¼ 0:5).
Kapuria et al. [41] Mesh Donnell’s
4  4 15.6950
15.9159 6  6 15.6576
8  8 15.6516
10  10 15.6514
444 S. Pandey, S. Pradyumna / Composite Structures 133 (2015) 438–450

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การเพิ่มเลเยอร์ทั้งหมด และการประกอบเหนือองค์ประกอบ m การตึงทั่วโลกเรขาคณิตเมทริกซ์กิโลกรัมสำหรับ shell ได้รับ และพลังงานที่ต้องใช้รวม Unl ของเปลือกได้โดย:Unl ¼12dTKGd ð46Þ6.3. พลังงานจลน์พลังงานจลน์ในชั้นของเปลือกแซนด์วิช FGM เพิ่มระยะเป็นเขียนเป็น:TðiÞ ¼12 qðiÞeffZVu_ ðiÞ 2þ v_ ðiÞ 2þ w_ ðiÞ 2 o ndV ð47Þที่ u_ ðiÞ v_ ðiÞ และ w_ ðiÞ มีตะกอนขององค์ประกอบแตกต่างของ FGM แซนด์วิชเชลล์ ในการบูรณาการมากกว่าความหนาสำหรับองค์ประกอบ jth สามารถแสดงพลังงานจลน์สำหรับเดียวกันเป็น:TðiÞเจ¼12ZAd_ ðiÞTj NðiÞTj IðiÞNðiÞเจd_ ðiÞเจดา ð48Þที่ NðiÞเจและ IðiÞ มีรูปร่างเมทริกซ์ฟังก์ชันและแรงเฉื่อยในชั้นระยะใด ๆ ขององค์ประกอบ jth และเหมือนจะได้รับในภาคผนวกเอในการรวมพลังงานจลน์ของ m องค์ประกอบทั้งหมด รวมพลังงานจลน์สำหรับชั้นระยะใด ๆ จะเขียนเป็น:TðiÞ ¼12Xmj¼1ZAd_ ðiÞTj NðiÞTj IðiÞNðiÞเจd_ ðiÞเจดา ð49ÞEq. (49) สามารถเขียนเป็น:TðiÞ ¼12Xmj¼1_ dTjmðiÞเจð50Þ เจ d_ที่ mðiÞเจแสดงเมตริกซ์องค์ประกอบโดยรวมสำหรับชั้นระยะของ jthองค์ประกอบที่กำหนด:mðiÞเจ¼12ZANðiÞTj IðiÞNðiÞเจดา ð51Þผลรวมพลังงานจลน์ T ของเชลล์ทั้งหมดถูกกำหนดโดย:T ¼12d_ TMd_ ð52Þโดยที่ M คือ เมตริกซ์โดยรวมสำหรับ shell7. สมการเชิงอนุพันธ์แฮมิลตันหลักควบคุมแฮมิลตันหลักใช้เพื่อมาควบคุมสมการสำหรับการวิเคราะห์การสั่นสะเทือนฟรี FGM แซนด์วิชเชลล์ซึ่งในขาดของ damping และภายนอกกองทัพได้เป็น:Z t2t1Ul d½ðT UnlÞ dt ¼ 0 ð53Þที่ t1 และ t2 เป็นช่วงเวลาระหว่างที่มีการเปลี่ยนแปลงดำเนินการ แทนค่าของ Ul Unl และ T จาก Eqs (37), (46)และ Eq. ใน (52) (53) และการเปลี่ยนแปลงแรกสำหรับพลังงานสามซึ่งถูกกำหนดโดย:dT ¼ ddMd dUl ¼ ddKd และ dUnl ¼ ddKGd ð54Þขั้นตอนมาตรฐานสำหรับแก้ Eq. (53) การสั่นสะเทือนฟรีวิเคราะห์ สมการเดียวกับคณะกรรมการได้รับในการแบบฟอร์มต่อไปนี้:X2M þ KG K ¼ 0 ð55Þสำหรับกรณีการวิเคราะห์ไม่มีความร้อน เมตริกซ์ KG = 08. ผล และการสนทนาในส่วนนี้ หลากหลาย ของการเปรียบเทียบ และพาราเมตริกศึกษาจะถูกใช้สำหรับการศึกษาการสั่นสะเทือนฟรีของเชลล์ FGM ภายใต้ความร้อน และความ ร้อนไม่ใช่สภาพแวดล้อม แรก ธรรมชาติความถี่ที่ได้รับจากการแบ่ง layerwise ปัจจุบันใช้เปลือกแตกต่างกันสามทฤษฎีมีการเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ในวรรณกรรมเพื่อสร้างความถูกต้องของกำหนดปัจจุบัน ถัดไป ผลของพารามิเตอร์เรขาคณิตคุณสมบัติยืดหยุ่น เงื่อนไขขอบเขต รุ่น micromechanicalและการไล่ระดับสีความร้อนบนความถี่ธรรมชาติของแซนวิ FGMเชลล์มีการตรวจสอบ สองขอบเขตเงื่อนไขต่าง ๆ เพียงสนับสนุน (SSSS) และ clamped (CCCC) ถือว่าในปัจจุบันวิเคราะห์ เว้นแต่ระบุไว้เป็นอย่างอื่น หมายถึงเงื่อนไข SSSSองศาความเป็นอิสระ v0; w0 hð1Þy hð2Þy และ hð3Þy และ u0; w0 hð1Þx hð2Þx และhð3Þx เป็นศูนย์ตามขอบ x ¼ 0 การ และ y ¼ 0 b ตามลำดับ Aหมายความว่า เงื่อนไข CCCC องศาทั้งหมดเก้าของเสรีภาพเป็นศูนย์ตามทั้งหมด 4 ขอบ8.1 การสั่นสะเทือน FGM เปลือกชั้นเดียวในไม่ร้อนฟรีสภาพแวดล้อมบรรจบกันและเปรียบเทียบความถี่ธรรมชาติของเดี่ยวชั้น FGM ทรงกลม (SPH) เปลือกนำมาที่นี่เพื่อประเมินความถูกต้องของการกำหนด layerwise ปัจจุบันเปลือก FGM ชั้นเดียวทำจากอลูมิเนียม (Al) ด้วยยาว¼ 70 GPa และ qm ¼ 2702 kg/m3 และ¼มม. 0:3 และซิลิคอน(ซิลิก้อน) GPa Ec ¼ 427 qc ¼ 3100 kg/m3 และ mc ¼ 0:17เปลือก FGM มีเซรามิก (SiC) เมื่อ n = 0 และโลหะริชเมื่อ n¼1 นอกจากนี้ สำหรับ FGM พื้นผิวด้านบนและด้านล่างจะเซรามิกและโลหะ ตามลำดับ กำหนด layerwise ปัจจุบันใช้แบบเชลล์ FGM ชั้นเดียว โดยการลดความหนาของชั้นบนและล่างเกือบเท่ากับศูนย์ สำหรับการเดี่ยวชั้น FGM เปลือก ทฤษฎี layerwise ปัจจุบันลดให้FSDT ต้องยอมเฉือนปัจจัย k ¼ 5 = 6 ตารางที่ 1 แสดงความถี่ไม่ใช่มิติ X ¼ xða2 = hÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiqm = Empสำหรับตารางเชลล์ (CCCC) FGM clamped มีพารามิเตอร์เรขาคณิตชั้นเดียวลอง =¼ 5 ตัว = b ¼ 1 และ a/h = 5 สำหรับสี่ตาข่ายต่าง ๆ ขนาดของ4 4, 6 6, 8 8 และ 10 10 ค่าของ X ที่สนับสนุนในตารางที่ 1 จะได้รับ โดยใช้ micromechanical รอมแบบจำลองและทฤษฎีของ Donnell เชลล์ แล้วหรือไม่จากตารางที่ 1 ที่ความถี่ไม่ใช่มิติสำหรับเชลล์กล่าวมาบรรจบในตาข่ายขนาด 8 8 และพบตรงดีที่ของ Kapuria et al. [41] คล้ายการบรรจบกันของความถี่คือสังเกตสำหรับ FGM เชลล์เมื่อเปลือกทฤษฎีอื่น ๆ และ MTรุ่น micromechanical เป็นลูกจ้าง ซึ่งจะไม่แสดงที่นี่ เพื่อกระชับ ในเวลาต่อมาวิเคราะห์ ขนาดตาข่าย8 8 ถือว่าเป็นการถัดไป การเปรียบเทียบความถี่ธรรมชาติสำหรับ SSSS ตารางเดียวชั้นทรงกลม FGM เชลล์จะแสดงในตาราง 2 และ 3 สำหรับลอง =¼ 2 และ 5 ตามลำดับ มีคำนวณคุณสมบัติวัสดุใช้ ROM และ MT รุ่น micromechanical ที่ความถี่ไม่ใช่มิติคุณสมบัติวัสดุและพารามิเตอร์ถือว่าเป็นเหมือนกับที่ให้ในการศึกษาแบบร่วมกัน เป็นการตรวจสอบตารางที่ 1บรรจบกันของความถี่ไม่ใช่มิติสี่เหลี่ยม CCCC อัล/SiC SPH เดียวชั้นเชลล์ FGM (ลี่ =¼ 5 จำนวน¼ลี่ ตัว = h ¼ 5 n ¼ 0:5)Donnell ตาข่าย Kapuria et al. [41]4 4 15.695015.9159 6 6 15.65768 8 15.651610 10 15.6514444 S. Pandey, Pradyumna s ได้ / 133 โครงสร้างคอมโพสิต (2015) 438-450

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เพิ่มสำหรับชั้นทั้งหมดและประกอบมากกว่าองค์ประกอบเมตรที่เมทริกซ์ความมั่นคงทางเรขาคณิตระดับโลก KG เปลือกจะได้รับและพลังงานความเครียดรวมUnl ของเปลือกจะได้รับโดย: Unl ¼ 1 2 dTKGd ð46Þ 6.3 Kinetic พลังงานพลังงานจลน์สำหรับชั้นith ของเปลือกแซนวิช FGM จะเขียนเป็น: TðiÞ¼ 1 2 qðiÞเอฟเอฟซีวีu_ Dith? 2 þ v_ Dith? 2 þ w_ Dith? 2 ไม่มีð47Þ dV ที่ u_ Dith; v_ Dith และ w_ Dith มีความเร็วขององค์ประกอบที่แตกต่างกันที่เปลือกFGM แซนวิช ในการดำเนินการรวมมากกว่าความหนาสำหรับองค์ประกอบ jth, พลังงานจลน์สำหรับเดียวกันสามารถแสดงเป็น: TðiÞเจ¼ 1 2 Z d_ Dith T ญNðiÞ T ญIðiÞNðiÞเจd_ Dith เจ dA ð48Þที่NðiÞเจIðiÞมีฟังก์ชั่นรูปร่างและการฝึกอบรมความเฉื่อยสำหรับชั้นที่ i ใด ๆ ขององค์ประกอบ jth และเดียวกันจะได้รับในภาคผนวกในข้อสรุปถึงพลังงานจลน์ของทุกองค์ประกอบเมตรรวมพลังงานจลน์ชั้นith ใด ๆ เขียนเป็น: TðiÞ¼ 1 2 Xm j¼1 Z d_ Dith T ญNðiÞ T ญIðiÞNðiÞเจd_ Dith เจ dA ð49Þสม (49) นอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็น: TðiÞ¼ 1 2 Xm j¼1 _ DTJ mðiÞเจd_ เจð50Þที่mðiÞเจหมายถึงเมทริกซ์มวลองค์ประกอบชั้นith ของ jth องค์ประกอบโดย: mðiÞเจ¼ 1 2 Z NðiÞ T ญIðiÞNðiÞ เจ dA ð51Þพลังงานจลน์รวมT ของเปลือกทั้งหมดจะถูกกำหนดโดย: T ¼ 1 2 d_ TMd_ ð52Þที่M เป็นเมทริกซ์มวลเปลือก. 7 สมการเชิงอนุพันธ์ปกครอง - หลักการแฮมิลตันหลักการแฮมิลตันจะใช้ที่นี่จะได้รับสมการปกครองสำหรับการวิเคราะห์การสั่นสะเทือนฟรีของเปลือกFGM แซนวิชซึ่งในกรณีที่ไม่มีการทำให้หมาดๆ และแรงภายนอกจะได้รับเป็น: Z t2 t1 d½ðT? Ul? UnlÞ? dt ¼ 0 ð53Þที่t1 และ t2 เป็นช่วงเวลาระหว่างที่รูปแบบที่มีการดำเนินการ แทนค่าของ Ul นั้น Unl และ T จาก EQS (37) (46) และ (52) ในสมการ (53) และการใช้รูปแบบแรกสำหรับสามพลังงานที่จะได้รับโดย:? dT ¼ ddMd; dul ¼ ddKd และ dUnl ¼ ddKGd ð54Þดังต่อไปนี้ขั้นตอนมาตรฐานสำหรับการแก้สมการ (53) การสั่นสะเทือนฟรีสำหรับการวิเคราะห์สมการปกครองเดียวกันจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้: K þ KG? x2M ¼ 0 ð55Þสำหรับกรณีที่มีการวิเคราะห์ไม่ใช่ความร้อน, เมทริกซ์ KG = 0 8 ผลการทดลองและการอภิปรายในส่วนนี้ความหลากหลายของการเปรียบเทียบและตัวแปรการศึกษาจะถูกนำขึ้นสำหรับการศึกษาฟรีการสั่นสะเทือนของเปลือกหอยFGM ภายใต้สภาพแวดล้อมที่ร้อนและไม่ใช่ความร้อน ก่อนที่ธรรมชาติความถี่ที่ได้รับจากการกำหนด layerwise ปัจจุบันใช้สามทฤษฎีเปลือกที่แตกต่างกันเมื่อเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้มีอยู่ในวรรณกรรมเพื่อสร้างความถูกต้องของสูตรปัจจุบัน ถัดไปผลของตัวแปรเรขาคณิตคุณสมบัติยืดหยุ่นเงื่อนไขขอบเขตรุ่นจิ๋วและการไล่ระดับสีความร้อนบนความถี่ธรรมชาติของแซนวิชFGM เปลือกหอยจะถูกตรวจสอบ สองเงื่อนไขขอบเขตที่แตกต่างกันเพียงแค่การสนับสนุน (SSSS) และจับยึด (CCCC) ถืออยู่ในปัจจุบันการวิเคราะห์เว้นแต่กล่าวถึงเป็นอย่างอื่น เงื่อนไข SSSS หมายถึงองศาของv0 เสรีภาพ; w0; hð1Þ Y; hð2Þ Y และhð3Þ Y และ U0; w0; hð1Þ x; hð2Þ x และhð3Þ x เป็นศูนย์ตามขอบ x ¼ 0; และ y ที่¼ 0; ขตามลำดับ สภาพ CCCC หมายความว่าทั้งเก้าองศาอิสระเป็นศูนย์พร้อมทั้งสี่ขอบ. 8.1 การสั่นสะเทือนฟรีของเปลือกหอย FGM ชั้นเดียวในไม่ใช่ความร้อนสภาพแวดล้อมที่บรรจบกันและเปรียบเทียบความถี่ธรรมชาติเดียวFGM ชั้นทรงกลม (SPH) เปลือกจะนำมาที่นี่เพื่อที่จะประเมินความถูกต้องของการกำหนดlayerwise ปัจจุบัน. เปลือก FGM ชั้นเดียวที่ทำ อลูมิเนียม (Al) ที่เอ็มจีพี¼ 70 ตารางเมตรและ¼ 2702 kg / m3 และ¼มม 0: 3 และซิลิกอนคาร์ไบด์. (SIC) กับ Ec ¼ 427 GPa และ QC ¼ 3100 kg / m3 และพิธีกร¼ 00:17 FGM เปลือกจะอุดมไปด้วยเซรามิก (SIC) เมื่อ n = 0 และโลหะที่อุดมไปด้วยเมื่อn¼1 นอกจากนี้สำหรับ FGM ที่พื้นผิวด้านบนและด้านล่างเป็นที่อุดมไปด้วยเซรามิกและโลหะตามลำดับ สูตร layerwise ปัจจุบันจะใช้ในการจำลองFGM ชั้นเดียวเปลือกโดยการลดความหนาของด้านบนและชั้นล่างเกือบเท่ากับศูนย์ สำหรับเปลือก FGM ชั้นเดียวทฤษฎี layerwise ปัจจุบันลด FSDT ต้องใช้ปัจจัยการแก้ไขเฉือน k ¼ 5 = 6 ตารางที่ 1 การจัดความถี่ที่ไม่ใช่มิติX ¼xða2 = HTH ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ตารางเมตร = เอ็มพีสำหรับตารางเดียวชั้นclamped (CCCC) เปลือก FGM มีพารามิเตอร์เรขาคณิตRy = a ¼ 5; A = ข¼ 1 และ / ชม = 5 สี่ตาข่ายขนาดแตกต่างกันของ4? 4, 6? 6, 8? 8 และ 10? 10. ค่าของ X tabulated ในตารางที่1 จะได้รับโดยใช้รอมจิ๋วรูปแบบและทฤษฎีของเชลล์ดอนเนลล์ มันเป็นที่สังเกตได้จากตารางที่ 1 ที่ความถี่ที่ไม่ใช่มิติเปลือกดังกล่าวข้างต้นมาบรรจบกันขนาดตาข่าย8? 8 และพบว่าการจับคู่กันได้ดีกับที่Kapuria et al, [41] คอนเวอร์เจนซ์ที่คล้ายกันของความถี่ที่มีการตั้งข้อสังเกตสำหรับเปลือกหอย FGM เมื่อเปลือกทฤษฎีอื่น ๆ และมอนแทนาจิ๋วรูปแบบมีการจ้างงานที่ไม่ได้นำเสนอที่นี่เพื่อประโยชน์ของความกะทัดรัด ในการวิเคราะห์ที่ตามมาขนาดตาข่าย8? 8 ถือว่าเป็น. ถัดไปเปรียบเทียบความถี่ธรรมชาติสำหรับตาราง SSSS เดี่ยวชั้นเปลือกFGM ทรงกลมถูกนำเสนอในตารางที่ 2 และ 3 สำหรับRy = a ¼ 2 และ 5 ตามลำดับ คุณสมบัติของวัสดุจะคำนวณโดยใช้ทั้ง ROM และมอนแทนารุ่นจิ๋ว พารามิเตอร์ความถี่ที่ไม่ใช่มิติและคุณสมบัติของวัสดุการพิจารณาเช่นเดียวกับที่ได้รับในการศึกษาการบรรจบกัน มันเป็นที่สังเกตตารางที่ 1 การบรรจบกันของความถี่ที่ไม่ใช่มิติของตาราง CCCC อัล / SiC SPH เดียวหอยFGM ชั้น (Ry = a ¼ 5; Rx ¼ Ry; A = ชั่วโมง¼ 5; n ¼ 0: 5). Kapuria et al, . [41] ตาข่ายดอนเนลล์ของ4? 4 15.6950 15.9159 6? 6 15.6576 8? 8 15.6516 10 10 15.6514 444 Pandey เอสเอส Pradyumna / โครงสร้างคอมโพสิต 133 (2015) 438-450

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เพิ่มทุกชั้นและประกอบมากกว่า M องค์ประกอบ
กกโลกเรขาคณิต stiffness เมทริกซ์สำหรับเชลล์ได้และ
รวมพลังงานความเครียด UNL ของเปลือกจะได้รับโดย :

1
2
¼ UNL dtkgd ð 46 Þ
6.3 . พลังงานจลน์
พลังงานจลน์เป็น ith ชั้นของเปลือก
ทําร้ายแซนด์วิชเขียนเป็น :
t ðผมÞ¼
1
2 Q ðผมÞ

z
v
u_ เอฟðผมÞ   2
þ v_ ðผมÞ   2
þ w_ ðผมÞ   2 n o
DV ð 47 Þ
ที่ u_ ðผมÞ ;v_ ðและฉันÞ w_ ðผมÞมีความเร็วที่แตกต่างกัน องค์ประกอบของเปลือก
แซนวิชทําร้าย . การแสดงผสมผสานกับความหนา
สำหรับ jth องค์ประกอบพลังงานจลน์สำหรับเดียวกันสามารถแสดง
:
t ðผมÞ
J ¼
1
2
z
A
d_ ðผมÞ
T
J N ðผมÞ
T
J ผมðผมÞ N ðผมÞ
J
d_ ðผมÞ
J da ð 48 Þ
ที่ N ðผมÞ
J และฉันðผมÞเป็นรูปร่างฟังก์ชันและความเฉื่อยเมตริกซ์สำหรับ
ใด ith ชั้นของ jth องค์ประกอบและเดียวกันจะได้รับใน
ภาคผนวก A .
ในข้อสรุปขึ้นพลังงานจลน์ขององค์ประกอบทั้งหมด M , พลังงานจลน์รวม
สำหรับ ith ชั้นเขียน :
t ðผมÞ¼
1
2
,
J
z
A
¼ 1 d_ ðผมÞ
T
J N ðผมÞ
T
J ฉันðผมÞ N ðผมÞ
J
d_ ðผมÞ
J
อีคิวÞดาð 49 ( 49 ) ยังสามารถเขียนเป็น :
t ðผมÞ¼
1
2
,
J ¼ 1
_ dtj
m
J
ðผมÞ d_ J ð 50 Þ
ที่ M ðผมÞ
J แสดงเมทริกซ์มวลองค์ประกอบสำหรับ ith ชั้นของ jth
องค์ประกอบให้โดย :
M ðผมÞ
J ¼
1
2
z
A
n ðผมÞ
T
J ผมðผมÞ N ðผมÞ
J
ð 51 Þดาผลรวมพลังงานจลน์ของกะลาทั้งหมดให้โดย :
t ¼
1
2
d_ tmd_ ð 52 Þ
ที่เป็นเมทริกซ์มวลเปลือกหอย .
7 ในสมการเพื่อแฮมิลตันหลักการ
ของแฮมิลตันหลักการใช้ที่นี่เพื่อสืบทอดการปกครองสมการ
สำหรับการวิเคราะห์การสั่นอิสระของแซนวิชเปลือกทําร้ายซึ่ง
ขาดที่เกิดแรงภายนอกให้ :
z T2 T1
D
½ð T  UL  UNL Þ  DT ¼Þ
0 ð 53ที่ T1 และ T2 มีช่วงเวลาในระหว่างที่การเปลี่ยนแปลงเป็น
ถ่าย แทนค่า UL ; UNL และ T จาก EQS . ( 37 ) , ( 46 )
( 52 ) อีคิว ( 53 ) และการเปลี่ยนแปลงครั้งแรก
3 พลังที่ได้รับจาก :
DT ¼  ddmd ; ใน¼ ddkd dunl ¼และ ddkgd ð 54 Þ
ตามขั้นตอนมาตรฐานสำหรับการแก้ไขอีคิว ( 53 ) สำหรับการวิเคราะห์การสั่นสะเทือน
ฟรีในสมการเดียวกันได้ในแบบฟอร์มต่อไปนี้ :

K þกก  x2m ¼ 0 ð 55 Þ
สำหรับกรณีของการวิเคราะห์ความร้อนไม่ , เมทริกซ์กิโลกรัม = 0
8 ผลและการอภิปราย
ในส่วนนี้ ช่วงกว้างของการเปรียบเทียบและการจัดการศึกษาขึ้น
ศึกษาการสั่นสะเทือนแบบอิสระของหอยทําร้ายภายใต้ความร้อนและความร้อนสิ่งแวดล้อม
ไม่ใช่เงื่อนไข แรก , ธรรมชาติ
ความถี่ที่ได้จากการใช้ทฤษฎีปัจจุบัน
layerwise 3 เปลือกแตกต่างกันเปรียบเทียบกับผลลัพธ์
ที่มีอยู่ในวรรณกรรมเพื่อสร้างความถูกต้อง
สูตรปัจจุบัน ต่อไป ผลของพารามิเตอร์ทางเรขาคณิต
ยืดหยุ่นคุณสมบัติ เงื่อนไข ขอบเขต และไล่ความร้อนในรูปแบบ micromechanical

ทําร้ายค่าความถี่ธรรมชาติของแซนวิชเปลือกจะถูกสอบสวน สองเงื่อนไขขอบเขตที่แตกต่างกันเพียงแค่
สนับสนุน ( . ) และบล็อก ( Cccc ) จะพิจารณาในการวิเคราะห์ปัจจุบัน
นอกจากที่กล่าวถึง เป็นภาพแสดง .
องศาอิสระการผลิ ; W0 ; H ð 1 Þ
Y ; H ð 2 Þ
Y H ð 3 Þ
Y U0 ; W0 ; H ð 1 Þ
x ; H ð 2 Þ
x
3 H ðและÞ
x เป็นศูนย์ตามขอบ¼ x 0 ; Y ¼ 0 ; B ตามลำดับ
เป็นCccc สภาพหมายความว่าทั้งหมดเก้าองศาของเสรีภาพที่ศูนย์ตามขอบทั้ง 4
.
1 . การสั่นสะเทือนแบบอิสระของชั้นเปลือกเดี่ยวทําร้ายไม่ร้อน

การลู่เข้าและการเปรียบเทียบสภาพแวดล้อมของความถี่ธรรมชาติของชั้นเดียว
ทําร้ายทรงกลม ( SPH ) เปลือกขึ้นที่นี่เพื่อประเมินความถูกต้องของการกำหนด

layerwise ปัจจุบันเดี่ยวชั้นทําร้ายเปลือกทำจากอลูมิเนียม ( Al )
เอ็ม¼ 70 GPA . kg / m3 และ¼ QM และ¼ 0:3 มม. และซิลิกอนคาร์ไบด์
( sic ) กับ กกต. ¼ 427 GPA และ QC ¼ 3100 kg / m3 และ MC ¼ 0:17 .
กะลาทําร้ายรวยในเซรามิก ( sic ) เมื่อ n = 0 และโลหะรวย
เมื่อ n ¼ 1 นอกจากนี้ สําหรับทําร้ายด้านบนและด้านล่างพื้นผิว
รวยในเซรามิกและโลหะ ตามลำดับ ปัจจุบัน layerwise
สูตร