The nim-sum of two non-negative int

The nim-sum of two non-negative integers is the exclusive or (XOR), written as ⊕, of their binary representations. It can
also be described as adding the numbers in binary without carrying. In the disjunctive sum of games H and K, written as
G = H + K, in each turn, the players must choose one of H and K and make a legal move in that game. One important result
concerning impartial games is the following: if G = H + K, then G(G) = G(H) ⊕ G(K) (see [1,2]).
1.1. The definition and motivation for the nim dimension
The Sprague–Grundy Theorem states that for every impartial game G there is a non-negative integer n such that G = ∗n.
It is also well known that in partisan games we still can construct nimbers (see [1,2]). Berlekamp asked the question ‘‘What
is the habitat of ∗2?’’ We generalize this to ask ‘‘For a game G, what is the largest n such that ∗n is a position in G?’’ This
leads to the definition of the nim dimension.
Definition 1. A combinatorial game has nim dimension n if it contains a position ∗2
n−1 but not ∗2
n
. A game has infinite nim
dimension if all the nimbers can be constructed. It has null, or ∅, nim dimension if ∗ cannot be constructed.
We show some examples. In the game of shove, a player shoves one of their pieces, and all other pieces on the left, to
the left by one square, possibly off the end of the board. For example,
col is played on a graph with uncolored vertices; left colors blue as an uncolored vertex, right colors it red, but two
adjacent vertices are not allowed to be colored the same. toppling dominoes is played with a row of black and white
dominoes. A player topples, to the left or right, one of their dominoes and it topples all the dominoes in that direction.
For example,
• The nim dimension for (shove) = ∅ since all the values are numbers [1].
• The nim dimension for (col) = 0 since all the values are numbers or numbers plus ∗ [2].
• The nim dimension for (toppling dominoes) = ∞ since it is easy to show that

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นิ่มผลรวมของจำนวนเต็มไม่เป็นลบสองเป็นคลับ (XOR), หรือเป็น ดังนั้นของเป็นตัวแทนของไบนารี มันสามารถนอกจากนี้ยัง ได้อธิบายไว้ว่าเป็นการเพิ่มตัวเลขในฐานสองโดยไม่มีการถือครอง ในรวม disjunctive เกม H และ K เขียนเป็นG = H + K ในทางกลับกัน ผู้เล่นต้องเลือกหนึ่ง H และ K และทำเป็นกฎหมายไปในเกมนั้น ผลสำคัญที่หนึ่งเกี่ยวกับเกมกลางคือ ต่อไปนี้: ถ้า G = H + K แล้ว G(G) = G(H) ดังนั้น G(K) (ดู [1, 2])1.1.กำหนดและแรงจูงใจในมิตินิ่มทฤษฎีบทของ Sprague – Grundy ระบุว่า สำหรับ G ทุกเกมกลาง มี n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบดังกล่าวที่ G = ∗nก็ยังรู้จักกันดีว่า ในพรรคเกม เรายังสามารถสร้าง nimbers (ดู [1, 2]) Berlekamp ถามคำถาม "อะไรเป็นของ ∗2 ?'' เราเมนี้ขอ ''เป็นเกม G อะไรคือ n ที่ใหญ่ที่สุด ∗n เป็นตำแหน่งใน G ' นี้นำไปสู่การกำหนดมิตินิ่มคำนิยามที่ 1 เกมปัญหามี n มิตินิ่มนั้นประกอบด้วย ∗2 ตำแหน่งn−1 แต่ไม่ ∗2n. เกมมีนิ่มอนันต์ขนาดถ้าสามารถสร้าง nimbers ทั้งหมด มันมีมิตินิ่ม null หรือ∅ ถ้าไม่สร้าง∗เราแสดงตัวอย่าง ในเกมของซุก เล่น shoves หนึ่งชิ้นของพวกเขา และชิ้นส่วนอื่น ๆ ทั้งหมดทางซ้าย การซ้าย โดยสแควร์หนึ่ง อาจปิดท้ายของคณะกรรมการ ตัวอย่างคอลัมน์จะเล่นบนกราฟที่มีจุดยอด uncolored ด้านซ้ายสีน้ำเงินเป็นจุดที่ uncolored ขวาสีมันแดง แต่สองข้าง ๆ ไม่ได้จะเป็นสีเดียวกัน toppling กติกาเล่นกับแถวสีขาวและสีดำแต้ม เครื่องเล่น topples ไปทางซ้ายหรือขวา หนึ่งในกลุ่มของพวกเขา และมัน topples แต้มทั้งหมดในทิศทางที่ตัวอย่าง•มิตินิ่ม (ซุก) =∅เนื่องจากค่าเป็นหมายเลข [1]•มิตินิ่ม (คอลัมน์) = 0 เนื่องจากค่าเป็นตัวเลข หรือตัวเลข บวก∗ [2]•มิตินิ่ม (toppling แต้ม) =∞เนื่องจากเป็นการง่ายที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สะเดาผลรวมของทั้งสอง integers เชิงลบเป็นพิเศษหรือ (XOR) เขียนเป็น⊕ของการแสดงของพวกเขาไบนารี
มันสามารถยังจะอธิบายว่าการเพิ่มตัวเลขในไบนารีโดยไม่ดำเนินการ ในลักษณะที่แยกผลรวมของเกม H และ K, เขียนเป็น
g = H + K ในการเปิดแต่ละผู้เล่นจะต้องเลือกหนึ่งในเอชเคและทำให้การย้ายทางกฎหมายในเกมที่ หนึ่งในผลที่สำคัญเกี่ยวกับเกมที่เป็นกลางคือต่อไปนี้:. ถ้า g = H + K แล้วจี (G) = G (H) ⊕ G (K) (ดู [1,2]) 1.1 ความหมายและแรงจูงใจสำหรับมิติสะเดาปราก-ใจแคบทฤษฎีบทระบุว่าทุก G เกมที่เป็นกลางมีความเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n ดังกล่าวว่า g = n *. นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันดีว่าในเกมที่พรรคเรายังคงสามารถสร้าง nimbers ( เห็น [1,2]) Berlekamp ถามคำถาม '' สิ่งที่เป็นที่อยู่อาศัยของ* 2 หรือไม่ '' เราคุยนี้จะถาม '' สำหรับเกม G เป็นสิ่งที่เป็น n ที่ใหญ่ที่สุดเช่นที่ n * เป็นตำแหน่งใน g หรือไม่? '' นี้จะนำไปสู่ความหมายของมิติ nim. นิยาม 1. เกม combinatorial มีมิติ nim n ถ้ามีตำแหน่ง * 2 n-1 แต่ไม่ * 2 n เกมมี nim อนันต์มิติถ้าทุกnimbers ที่สามารถสร้าง มันมีโมฆะหรือ∅มิติ nim * ถ้าไม่สามารถสร้าง. เราจะแสดงตัวอย่างบางส่วน ในเกมซุกที่ผู้เล่นผลักหนึ่งในชิ้นของพวกเขาและชิ้นส่วนอื่น ๆ ที่ด้านซ้ายไปซ้ายโดยหนึ่งในตารางอาจจะออกจากปลายของคณะกรรมการ ยกตัวอย่างเช่นเทือกเขาเล่นบนกราฟที่มีจุดทาสีนั้น สีฟ้าด้านซ้ายเป็นจุดสุดยอดทาสีสีขวาสีแดง แต่ทั้งสองจุดที่อยู่ติดกันไม่ได้รับอนุญาตให้เป็นสีเดียวกัน โค่นล้มโดมิโนเล่นกับแถวของสีดำและสีขาวแต้ม ผู้เล่น topples, ไปทางซ้ายหรือขวาหนึ่งแต้มของพวกเขาและมัน topples แต้มทั้งหมดในทิศทางที่. ตัวอย่างเช่น•มิติ nim สำหรับ (ซุก) = ∅ตั้งแต่ค่าทั้งหมดเป็นตัวเลข [1]. •ความ nim สำหรับมิติ (พ) = 0 เนื่องจากค่าทั้งหมดจะเป็นตัวเลขหรือตัวเลขบวก * [2]. •มิติสำหรับ nim (ล้มแต้ม) = ∞เพราะมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ประกาศกำไรสุทธิจำนวนสองไม่ลบจำนวนเต็ม เป็น พิเศษ หรือ ( XOR ) , เขียนเป็น⊕ของของไบนารีที่ใช้แทน มันสามารถ
ยังจะอธิบายเพิ่มตัวเลขในไบนารีโดยไม่ต้องถือ ในผลรวมดิซจังของเกม H และ K เขียนว่า
g = H K ในการเปิดแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องเลือกหนึ่งของ H และ K และเคลื่อนไหวทางกฎหมายในเกมนั้น ที่สำคัญผล
เกี่ยวกับเกมที่เป็นกลางคือต่อไปนี้ : ถ้า G = H K , g ( g ) = G ( H ) ⊕ g ( k ) ( ดู [ 1 , 2 ] )
1.1 . ความหมายและแรงบันดาลใจสำหรับมิตินิม
Sprague –กรันดี้ทฤษฎีบทระบุว่าสำหรับทุกแนะนำเกม G มีเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ∗ g = N
ยังเป็นที่รู้จักกันดีว่าในเกมที่พลพรรคเรายังสามารถสร้าง nimbers ( ดู [ 2 ] )berlekamp ถามคำถาม ' '
เป็นแหล่งที่อยู่อาศัยของ∗ 2 ' ' เราอนุมานนี้ถาม " สำหรับเกมจี อะไรมากที่สุด ( เช่นที่∗ N เป็นตำแหน่งในกรัม ? ' '
นำไปสู่นิยามของนิมมิติ .
นิยาม 1 เกมมีมิติเชิงนิม ถ้ามันมีตำแหน่ง∗ 2
n − 1 แต่ไม่∗ 2
n

เกมมีมิตินิม
อนันต์ถ้า nimbers ทั้งหมดสามารถสร้างมันไม่มีค่า หรือ∅นิมมิติ , ถ้า∗ไม่สามารถสร้าง .
เราจะแสดงบางตัวอย่าง ในเกมรุก ผู้เล่นผลักหนึ่งชิ้น และชิ้นอื่น ๆทั้งหมดบนซ้าย , ซ้ายโดยหนึ่ง

ตารางจะออกปลายกระดาน ตัวอย่างเช่น
Col เล่นบนกราฟที่มีจุดยอด ไม่ทาสี ; สีสีฟ้าด้านซ้ายเป็นยอดไม่ทาสีแล้วสีมันแดง แต่สอง
ไม่อนุญาตให้จุดที่อยู่ติดกันมีสีเดียวกัน toppling โดมิโนเล่นกับแถวของสีดำและสีขาว
ต่อแต้ม ผู้เล่น topples , ซ้ายหรือขวาหนึ่งแต้มของพวกเขาและมัน topples แต้มทั้งหมดในทิศทางที่ .
ตัวอย่างเช่น
- มิตินิม ( ผลัก ) = ∅ตั้งแต่ค่าทั้งหมดมีตัวเลข
[ 1 ]- มิตินิม ( COL ) = 0 เนื่องจากค่าทั้งหมดมีตัวเลขหรือตัวเลขบวก∗ [ 2 ] .
- มิตินิม ( toppling โดมิโน ) = ∞ตั้งแต่มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า