kpa + l =pakpa + mpνp(l) ≡pa−νp(l)k

kpa + l =
pa
kpa + mpνp(l) ≡
pa−νp(l)
kpa−νp(l) + m(kpa−νp(l) + m)p−1
≡ pa−νp(l)(kpa−νp(l) + m)p−2 (mod p)
≡ 0 (mod p).
Lemma 5. Let p be any prime and let i, m be any positive integers,
m < pi. Then
pi+1 | mpi pm.
Proof. Clearly we can rewritte the assertion as
mpi pm−i ≡ 0 (mod p),
which we prove using Lemma 3 by the following way
pm−impi = pm−i pi pi 1− 1 pi 2− 2 · · · pi (−m(m− 1)− 1) m1 
≡ pm(−1)m−1 1
m
≡ 0 (mod p).
The following lemma is a stronger version of Lemma 5.
Lemma 6. Let p be any prime and let a, i, k, l be any nonnegative
integers, k < p, a < i, l < pa, k + l > 0. Then
1
pi−a kpapi+ l ≡ (0 (mod(−1)kpa−1pk)p, l−2 (mod p), l 6= 0;. (4)
Proof. The assertion clearly gives kpa + l < pi, thus using (2) we have
1
pi−a kpapi+ l (5)
=
1
pi−a pi pi 1− 1 pi 2− 2 · · · pi (−kp(kpa +a l+−l 1)− 1) kpa1+ l 
≡ (−1)kpa+l−1 pa
kpa + l (mod p).
Hence using Lemma 4 we obtain the assertion

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

kpa + l =ป่าkpa + mpνp(l) ≡pa−νp(l)kpa−νp(l) + m(kpa−νp(l) + m) p−1≡ pa−νp(l)(kpa−νp(l) + m) p−2 (mod p)≡ 0 (mod p)Lemma 5 ให้ p จะมีนายกรัฐมนตรี และให้ฉัน m เป็นจำนวนเต็มใด ๆ บวกm < พี่ แล้วพี่ + 1 | mpi pmหลักฐาน ชัดเจนเราสามารถ rewritte ยืนยันเป็นmpi pm−i ≡ 0 (mod p),ซึ่งเราพิสูจน์ด้วย Lemma 3 โดยวิธีต่อไปนี้pm−i mpi = pm−i ปี่ปี่ 1− ปี่ 1 2− 2 ··· ปี่ (−m (m− 1) − 1) m1≡ m−1 pm (− 1) 1m≡ 0 (mod p)Lemma ต่อไปนี้เป็นรุ่นแข็งแกร่งของ Lemma 5Lemma 6 ให้ p เป็นสำคัญใด ๆ และให้ a, i, k, l จะมี nonnegativeจำนวนเต็ม k < p เป็น < i, l < ป่า k + l > 0 แล้ว1pi−a kpapi + l ≡ (0 p (mod (− 1) kpa−1pk) l−2 (mod p), l 6 = 0; (4)หลักฐาน ตรวจสอบเงื่อนไขอย่างชัดเจนให้ kpa + l < ปี่ จึง ใช้ (2) มี1pi−a kpapi + l (5)=1pi−a ปี่ปี่ 1− ปี่ 1 2− 2 ··· ปี่ (−kp (kpa l + −l 1) − 1) kpa1 + lKpa ≡ (− 1) + l−1 ป่าkpa + l (mod p)เราจึง ใช้ Lemma 4 ได้รับการยืนยัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปาสคาล + L =
PA
kPa + mpνp (L) ≡
PA-νp (L)
kPa-νp (L) + M (kPa-νp (L) + m) P-1
≡ PA-νp (L) (kPa-νp (L) + m) P-2 (สมัย P)
≡ 0 (mod P).
บทแทรก 5. สมมติให้ p ใด ๆ ที่สำคัญและให้ฉันเมตรเป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ,
M <Pi จากนั้น
Pi + 1 | ? MPI? น.
หลักฐาน เห็นได้ชัดว่าเราสามารถ rewritte ยืนยันเป็น
? MPI? PM-I ≡ 0 (สมัย p)
ซึ่งเราพิสูจน์โดยใช้บทแทรก 3 โดยวิธีดังต่อไปนี้
PM-I? MPI? = PM-I Pi Pi 1- 1 Pi 2- 2 ··· Pi (-m (M- 1) - 1)? M1
≡น (-1) M-1 1
ม
. ≡ 0 (mod P)
ต่อไปนี้แทรกเป็นรุ่นที่แข็งแกร่งของบทแทรก 5.
แทรก 6. สมมติให้ p ใด ๆ ที่สำคัญและให้ฉัน, K, L ไม่เป็นค่าลบใด ๆ
จำนวนเต็ม k <p, <i, L <PA, K + L> 0 จากนั้น
1
Pi-หรือไม่? kpapi + L? ≡ (0 (สมัย (-1) kPa-1PK) P, L-2 (สมัย P), L = 0 6 ;. (4)
หลักฐาน. ยืนยันอย่างชัดเจนให้ kPa + L <Pi จึงใช้ (2) เรา มี
1
Pi-A kpapi + L (5)?
=
1
Pi-A Pi Pi 1- 1 Pi 2- 2 ··· Pi (-kp (kPa + L A + -l 1) - 1)? kpa1 + L
≡ (-1) ปาสคาล + L-1 ต่อปี
kPa + L (สมัย P).
ดังนั้นการใช้บทแทรก 4 เราได้รับการยืนยัน