Seventy students responded (each wi

Seventy students responded (each with an ‘A’ or ‘B’ grade in A-level
mathematics). Those responding to the second question, the concept definition
for “ lim
x®a
f (x) = c” could be classified as follows:
correct incorrect
formal 4 14
dynamic 27 4
Only four gave a correct formal definition, of which one was topological and
three were of the form given above.
The fourteen incorrect attempts at a formal definition included seven that
were mixed up with other limit notions such as:
As x®a, c - e £ f (x) £ c + e for all n > n0
or
f (n) - f (n +1) < e for all n > given N0
and seven were incomplete or inaccurate, such as
|f(x)–c| < e for all positive values of e with x sufficiently close to a.
Of the incomplete ones, two omitted the condition x ¹ a.
The dynamic responses included typical replies such as
the value that f(x) approaches as values of x are taken closer to a is c.
or
as x tends towards a, the value of f(x) tends towards c.
Incorrect dynamic responses included
as x gets nearer and nearer to a, the value of the function = c,
or versions mixed with other limit processes:
lim
x®a
f (x) = f (x) - f (a)
x - a
= c.
The earlier question requiring explanation of
lim
x®1
x3 -1
x -1
æ
è ç
ö
ø ÷
= 3
revealed that most of the students could make an attempt at an example even
though they could not give a concept definition. Those not giving a concept
definition responded to this example as follows:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นักศึกษาเซเว่นตี้ตอบ (แต่ละตัวเกรด 'A' หรือ 'B' ในระดับ Aคณิตศาสตร์) ผู้ตอบคำถามที่สอง คำนิยามแนวคิดสำหรับ "ริมx ®เป็นf (x) = c "สามารถจำแนกได้ดังนี้:แก้ไขไม่ถูกต้อง14 4 ทาง4 27 แบบไดนามิกเพียงสี่ให้ถูกต้องเป็นข้อกำหนด ซึ่งคน topological และสามมีของแบบฟอร์มที่ให้ไว้ข้างต้นความพยายามถูกต้องสิบสี่ที่มีข้อกำหนดรวมเจ็ดที่รวบรวมขึ้น ด้วยความเข้าใจข้อจำกัดอื่น ๆ เช่น:เป็น x ® a, c - e £ f (x) £ c + e สำหรับ n ทั้งหมด > n0หรือf (n) - f (n + 1) <อีสำหรับ n ทั้งหมด > กำหนด N0และเจ็ดได้สมบูรณ์ หรือไม่ถูก ต้อง เช่น|f (x) -c| < อีสำหรับค่าบวกทั้งหมดของ e กับ x พอปิดเพื่อเป็นการคนไม่สมบูรณ์ สองละเว้นเงื่อนไข x ¹การตอบสนองแบบไดนามิกรวมตอบทั่วไปเช่นค่า f(x) ที่แจ้งเป็นค่าของ x จะมาใกล้ชิดกับความเป็นซีหรือขณะที่ x มีแนวโน้มไปทาง การ ค่าของ f(x) มีแนวโน้มต่อ cตอบสนองแบบไดนามิกไม่ถูกต้องที่รวมอยู่x จะเอื้อม และคำแนะนำ เกี่ยวกับการ ค่าของฟังก์ชัน = cหรือรุ่นผสมกับกระบวนการอื่น ๆ จำกัด:limx ®เป็นf (x) = f (x) - f (a)x-= cคำถามก่อนหน้านี้ที่ต้องอธิบายlimx ® 1x 3 -1x - 1æçรหัสประเทศöø/นักเรียน= 3เปิดเผยว่า นักเรียนส่วนใหญ่สามารถทำให้ความพยายามตัวอย่างได้แม้ว่า พวกเขาไม่สามารถให้คำนิยามแนวคิด ผู้ไม่ให้แนวคิดคำจำกัดความตอบรับอย่างนี้เป็นดังนี้:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เจ็ดสิบนักเรียนตอบ (แต่ละคนมี 'A' หรือ 'B' ในระดับ A-level
คณิตศาสตร์) ผู้ที่ตอบสนองต่อคำถามที่สองความหมายแนวคิดสำหรับ"ลิ้มx®a f (x) = c" อาจจะจำแนกได้ดังนี้ที่ถูกต้องไม่ถูกต้องอย่างเป็นทางการ4 14 แบบไดนามิก 27 4 เพียงสี่ให้ความหมายที่ถูกต้องอย่างเป็นทางการซึ่งเป็นหนึ่งในทอพอโลยี และสามในรูปแบบดังกล่าวข้างต้น. สิบสี่ความพยายามที่ไม่ถูกต้องที่หมายอย่างเป็นทางการรวมเจ็ดที่ได้รับการผสมกับความคิดข้อ จำกัด อื่น ๆ เช่น: ในฐานะที่เป็นx®aค - e £ f (x) £ C + จทั้งหมด n > n0 หรือf (n) - ​​f (n +1) <จทั้งหมด n> รับ N0 เจ็ดไม่สมบูรณ์หรือไม่ถูกต้องเช่น| f (x) -c | <อิเล็กทรอนิกส์สำหรับค่าบวกทั้งหมดของ e กับ x เพียงพอ ใกล้เคียงกับ. ของคนที่ไม่สมบูรณ์ทั้งสองมองข้ามสภาพ x ¹ได้. การตอบสนองแบบไดนามิกรวมถึงการตอบทั่วไปเช่นค่าที่ f (x) แนวทางเป็นค่าของ x จะถูกนำใกล้ชิดกับเป็นค. หรือเป็น x มีแนวโน้มที่มีต่อ ค่าของ f (x) มีแนวโน้มที่มีต่อค. การตอบสนองแบบไดนามิกที่ไม่ถูกต้องรวมเป็น x ได้ใกล้ชิดและใกล้กับค่าของฟังก์ชั่น = c ที่หรือรุ่นที่ผสมกับขีดจำกัด ของกระบวนการอื่น ๆ : ลิ้มx®a f (x) = f (x) - f (ก) x -. = c คำอธิบายคำถามก่อนหน้านี้ที่ต้องใช้ในการลิ้มx®1 x3 -1 x -1 æèçöø÷ = 3 แสดงให้เห็นว่านักเรียนส่วนใหญ่จะทำให้ความพยายามที่ ตัวอย่างแม้แม้ว่าพวกเขาจะไม่สามารถให้คำนิยามแนวคิด ผู้ที่ไม่ได้ให้แนวคิดนิยามตอบสนองต่อตัวอย่างนี้ดังต่อไปนี้:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คนเจ็ดสิบตอบ ( แต่ละกับ ' ' หรือ ' ' ในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับเกรด B
) ผู้ที่ตอบ คำถามที่สอง
นิยามแนวคิด " ลิม
x ®เป็น
f ( x ) = C " สามารถจําแนกได้ดังนี้ :


ถูกต้องไม่ถูกต้องเป็นทางการ 4 14 แบบไดนามิก 27 4
4 ให้ถูกต้องนิยามเชิงรูปนัย ซึ่งมีรูปแบบและ
สามของแบบฟอร์ม
ดังกล่าวข้างต้น .14 ที่ไม่ถูกต้องมีความพยายามที่จะนิยามรวมเจ็ด
ถูกผสมขึ้นที่มีความคิดที่ จำกัด อื่น ๆเช่น :
®เป็น X , C - E ง f ( x ) ง C E ทั้งหมด n > NO หรือ

f ( n ) - f ( E 1 ) < n > ให้ทั้งหมด NO
และเจ็ดเป็นไม่สมบูรณ์หรือไม่ถูกต้อง เช่น |
f ( x ) - C | < E ทั้งหมดบวกค่า E กับ X พอใกล้ A .
ของที่ไม่สมบูรณ์ สอง ละเว้นเงื่อนไขมาตรฐาน A .
xการตอบสนองแบบไดนามิกรวมตอบโดยทั่วไปเช่น
ค่า f ( x ) เป็นค่าของ x วิธีการถ่ายใกล้ คือ C .

เป็น X หรือมีแนวโน้มต่อ ค่าของ f ( x ) มีแนวโน้มต่อ C .

อย่างไม่ถูกต้องตอบสนองทางพลวัตรวม X ได้ใกล้และใกล้กับค่า ของฟังก์ชัน = C ,
หรือรุ่นผสมกับกระบวนการ จำกัด อื่น ๆ :

x ®ลิมเป็น
f ( x ) = f ( x ) - f ( x )
-
=
Cก่อนหน้านี้คำถามที่ต้องการคำอธิบาย

x ®ลิม 1
3 - 1
x - 1
5


. æöขึ้น÷
=
3 พบว่า นักเรียนส่วนมากจะทำให้ความพยายามที่ตัวอย่างที่แม้
ถึงแม้ว่าพวกเขาไม่อาจให้แนวคิดนิยาม ผู้ที่ให้แนวความคิด
นิยามตอบตัวอย่างดังนี้