IntroductionUndergraduate mathemati

Introduction
Undergraduate mathematics/engineering/science students usually come to know the term “convolution” in the second or third year at the university. This is in mathematics courses containing topics such as Laplace transforms, where an integral of convolution of two functions is evaluated for some specific functions (HREF1). Students get to know more of the power and application of convolution as they advance their studies in various fields such as Physics, Computer Science, Statistics and Engineering. As noted in HREF2, convolution and related operations are found in many applications of engineering and mathematics. Some cited examples in the site are: • In statistics, a weighted moving average is a convolution. The probability distribution of the sum of two random variables is the convolution of each of their distributions. • In optics, many kinds of “blur” are described by convolutions. A shadow (e.g., the shadow on the table when you hold your hand between the table and a light source) is the convolution of the shape of the light source that is casting the shadow and the object whose shadow is being cast. An out-of-focus photograph is the convolution of the sharp image with the blur circle formed by the iris diaphragm. • In acoustics, an echo is the convolution of the original sound with a function representing the various objects that are reflecting it. • In electrical engineering and other disciplines, the output (response) of a (stationary, or time- or space-invariant) linear system is the convolution of the input (excitation) with the system’s response to an impulse or Dirac’s delta function. • In time-resolved fluorescence spectroscopy, the excitation signal can be treated as a chain of delta pulses, and the measured fluorescence is sum of exponential decays from each delta pulse. • In physics, wherever there is a linear system with a “superposition” principle, a convolution operation makes an appearance. However, we feel that “convolution,” if restricted to series instead of functions could be introduced at higher secondary school or “A level” without any difficulty. Our aim is to show how this could be achieved. This will not only help students to anchor the concept firmly, but will also serve as a bridge between the lower and the higher concept.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แนะนำปริญญาตรีวิศวกรรม/คณิตศาสตร์/วิทยาศาสตร์มักจะมารู้จักคำว่า "การพัฒนา" ในสอง หรือสามปีในมหาวิทยาลัย นี้อยู่ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยหัวข้อเช่นแปลงลาปลาส ซึ่งการพัฒนาของสองฟังก์ชันจะถูกประเมินสำหรับบางฟังก์ชันที่เฉพาะเจาะจง (HREF1) นักเรียนได้รับรู้เพิ่มเติมของการใช้พลังงานและการพัฒนาที่พวกเขาล่วงหน้าการศึกษาในสาขาต่าง ๆ เช่นฟิสิกส์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ สถิติ และวิศวกรรม ดังที่ระบุไว้ใน HREF2 การพัฒนาและการดำเนินงานที่เกี่ยวข้องที่พบกับงานวิศวกรรมและคณิตศาสตร์ บางคนอ้างตัวอย่างในเว็บไซต์มี: •สถิติ ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ถ่วงน้ำหนักเป็นการพัฒนา การกระจายความน่าเป็นของผลบวกของสองตัวแปรสุ่มเป็นบิดของแต่ละการกระจายของพวกเขา •ในเลนส์ หลายชนิดของ "เบลอ" อธิบายไว้ โดย convolutions เงา (เช่น เงาบนตารางเมื่อคุณจับมือของคุณระหว่างตารางและแหล่งกำเนิดแสง) จะพัฒนารูปทรงของแหล่งกำเนิดแสงที่หล่อเงาและวัตถุที่มีเงาเป็นการโยน ภาพการเช็คโฟกัสเป็นบิดของภาพคมชัดด้วยวงเบลอโดยไดอะแฟรมไอริส •ในเสียง เสียงก้องเป็นบิดของเสียงต้นฉบับกับฟังก์ชั่นที่แสดงวัตถุต่าง ๆ ที่จะสะท้อนให้เห็นถึง •ในวิศวกรรมไฟฟ้าและสาขาอื่น ๆ การแสดงผล (ตอบสนอง) ของระบบเชิงเส้น (นิ่ง หรือเวลา - หรือพื้นที่บล็อก) เป็นการพัฒนาของการป้อนข้อมูล (กระตุ้น) กับการตอบสนองของระบบเป็นแรงกระตุ้นหรือของดิแรกเดลตาฟังก์ชัน •ในเรืองแสงเวลาแก้ไขสเปกโทรสโก สัญญาณกระตุ้นสามารถรักษาห่วงโซ่ของพัลส์เดลต้า และเรืองแสงที่วัดได้เป็น ผลรวมของเนนสลายจากชีพจรแต่ละเดลต้า •ฟิสิกส์ ที่ใดมีระบบเชิงเส้นกับหลักการ "superposition" การดำเนินการพัฒนาให้มีลักษณะที่ปรากฏ อย่างไรก็ตาม เรารู้สึกว่า "การพัฒนา ถ้าจำกัดชุดแทนฟังก์ชันสามารถนำที่สูงกว่ามัธยมศึกษาหรือ"ระดับ" โดยไม่มีปัญหาใด ๆ เป้าหมายของเราจะแสดงวิธีนี้สามารถทำได้ นี้จะไม่เพียงช่วยให้นักเรียนยึดแนวคิดให้แน่น แต่ยังจะให้เป็นสะพานเชื่อมระหว่างแนวคิดสูงและต่ำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทนำ
นักศึกษาระดับปริญญาตรีคณิตศาสตร์ / วิศวกรรม / วิทยาศาสตร์มักจะมาทำความรู้จักกับคำว่า "บิด" ในปีที่สองหรือสามในมหาวิทยาลัย นี้อยู่ในวิชาคณิตศาสตร์ที่มีหัวข้อต่าง ๆ เช่นการแปลงเลซในกรณีที่หนึ่งของการบิดของทั้งสองฟังก์ชั่นได้รับการประเมินสำหรับฟังก์ชั่นบางอย่าง (HREF1) นักเรียนได้รับรู้มากขึ้นของการใช้พลังงานและการประยุกต์ใช้บิดขณะที่พวกเขาก้าวไปสู่การศึกษาในด้านต่างๆเช่นฟิสิกส์วิทยาการคอมพิวเตอร์และวิศวกรรมสถิติ ตามที่ระบุไว้ใน HREF2 บิดและการดำเนินงานที่เกี่ยวข้องกับที่พบในการใช้งานหลายด้านวิศวกรรมและคณิตศาสตร์ บางคนอ้างตัวอย่างในเว็บไซต์คือ•สถิติค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเคลื่อนที่เป็นบิด การกระจายความน่าจะเป็นของผลรวมของสองตัวแปรสุ่มคือบิดของแต่ละการกระจายของพวกเขา •ในเลนส์หลายชนิดของ "เบลอ" มีการอธิบายโดย convolutions เงา (เช่นเงาบนโต๊ะเมื่อคุณจับมือของคุณระหว่างตารางและแหล่งกำเนิดแสง) เป็นบิดของรูปร่างของแหล่งกำเนิดแสงที่หล่อเงาและวัตถุที่มีเงาจะถูกโยน ออกจากโฟกัสภาพเป็นบิดของภาพที่คมชัดด้วยวงกลมเบลอที่เกิดขึ้นจากไดอะแฟรมม่านตา •ในอะคูสติก, ก้องเป็นบิดของเสียงเดิมที่มีฟังก์ชั่นที่เป็นตัวแทนของวัตถุต่าง ๆ ที่สะท้อนให้เห็นถึงมัน •ในด้านวิศวกรรมและอื่น ๆ ไฟฟ้าสาขาวิชาเอาท์พุท (การตอบสนอง) ของ (นิ่ง หรือเวลาหรือพื้นที่คงที่) ระบบเชิงเส้นบิดของอินพุท (กระตุ้น) กับการตอบสนองของระบบเพื่อแรงกระตุ้นหรือฟังก์ชั่นเดลต้าแรคของ •ในเวลาการแก้ไขสเปกโทรสโกเรืองแสงสัญญาณกระตุ้นสามารถจะถือว่าเป็นห่วงโซ่ของพัลส์เดลต้าและเรืองแสงวัดคือผลรวมของสูญสลายชี้แจงจากแต่ละเดลต้าชีพจร •ในทางฟิสิกส์ที่ใดก็ตามที่มีระบบการเชิงเส้นที่มีหลักการ "ทับซ้อน" การดำเนินการบิดที่ปรากฏ แต่เรารู้สึกว่า "บิด" ถ้า จำกัด ให้ชุดแทนการฟังก์ชั่นจะได้รับการแนะนำที่โรงเรียนมัธยมที่สูงขึ้นหรือ "ระดับ" ไม่มีปัญหาใด ๆ จุดมุ่งหมายของเราคือการแสดงให้เห็นว่าเรื่องนี้จะประสบความสำเร็จ นี้จะไม่เพียง แต่ช่วยให้นักเรียนที่จะยึดมั่นแนวคิด แต่ยังจะทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างที่ลดลงและแนวคิดที่สูงขึ้น และเรืองแสงที่วัดได้คือผลรวมของสูญสลายชี้แจงจากแต่ละเดลต้าชีพจร •ในทางฟิสิกส์ที่ใดก็ตามที่มีระบบการเชิงเส้นที่มีหลักการ "ทับซ้อน" การดำเนินการบิดที่ปรากฏ แต่เรารู้สึกว่า "บิด" ถ้า จำกัด ให้ชุดแทนการฟังก์ชั่นจะได้รับการแนะนำที่โรงเรียนมัธยมที่สูงขึ้นหรือ "ระดับ" ไม่มีปัญหาใด ๆ จุดมุ่งหมายของเราคือการแสดงให้เห็นว่าเรื่องนี้จะประสบความสำเร็จ นี้จะไม่เพียง แต่ช่วยให้นักเรียนที่จะยึดมั่นแนวคิด แต่ยังจะทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างที่ลดลงและแนวคิดที่สูงขึ้น และเรืองแสงที่วัดได้คือผลรวมของสูญสลายชี้แจงจากแต่ละเดลต้าชีพจร •ในทางฟิสิกส์ที่ใดก็ตามที่มีระบบการเชิงเส้นที่มีหลักการ "ทับซ้อน" การดำเนินการบิดที่ปรากฏ แต่เรารู้สึกว่า "บิด" ถ้า จำกัด ให้ชุดแทนการฟังก์ชั่นจะได้รับการแนะนำที่โรงเรียนมัธยมที่สูงขึ้นหรือ "ระดับ" ไม่มีปัญหาใด ๆ จุดมุ่งหมายของเราคือการแสดงให้เห็นว่าเรื่องนี้จะประสบความสำเร็จ นี้จะไม่เพียง แต่ช่วยให้นักเรียนที่จะยึดมั่นแนวคิด แต่ยังจะทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างที่ลดลงและแนวคิดที่สูงขึ้น "ถ้า จำกัด ให้ชุดแทนการฟังก์ชั่นจะได้รับการแนะนำที่โรงเรียนมัธยมที่สูงขึ้นหรือ" ระดับ "ไม่มีปัญหาใด ๆ จุดมุ่งหมายของเราคือการแสดงให้เห็นว่าเรื่องนี้จะประสบความสำเร็จ นี้จะไม่เพียง แต่ช่วยให้นักเรียนที่จะยึดมั่นแนวคิด แต่ยังจะทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างที่ลดลงและแนวคิดที่สูงขึ้น "ถ้า จำกัด ให้ชุดแทนการฟังก์ชั่นจะได้รับการแนะนำที่โรงเรียนมัธยมที่สูงขึ้นหรือ" ระดับ "ไม่มีปัญหาใด ๆ จุดมุ่งหมายของเราคือการแสดงให้เห็นว่าเรื่องนี้จะประสบความสำเร็จ นี้จะไม่เพียง แต่ช่วยให้นักเรียนที่จะยึดมั่นแนวคิด แต่ยังจะทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างที่ลดลงและแนวคิดที่สูงขึ้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แนะนำปริญญาตรีวิศวกรรม / คณิตศาสตร์ / วิทยาศาสตร์ นักเรียนมักจะมารู้จักคำว่า " ขด " ในปีที่สองหรือที่สามที่มหาวิทยาลัย นี้เป็นในทางคณิตศาสตร์หลักสูตรประกอบด้วยหัวข้อต่างๆ เช่น ผลการแปลงลาปลาซ ที่มีส่วนประกอบของขด 2 ฟังก์ชันคือฟังก์ชัน ( โดยเฉพาะบาง href1 ) นักเรียนได้รับทราบข้อมูลเพิ่มเติมของพลังงาน และการใช้ขดเป็นพวกเขาล่วงหน้าของการศึกษาในสาขาต่างๆ เช่น ฟิสิกส์ , วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ , สถิติและวิศวกรรม ตามที่ระบุไว้ใน href2 สังวัตนาการ , ที่พบในงานวิศวกรรม และคณิตศาสตร์ บางคนอ้างตัวอย่างในเว็บไซต์ : A4 ในสถิติ , ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ถ่วงน้ำหนักเป็นขด . ความน่าจะเป็นการแจกแจงของจำนวนสองตัวแปรสุ่มคือสังวัตนาการของแต่ละของการกระจายของพวกเขา - ในด้านหลายชนิด " เบลอ " บรรยายโดย convolutions . เงา ( เช่นเงาบนโต๊ะเมื่อคุณจับมือของคุณระหว่างตาราง และ แสง ) เป็นขดของรูปร่างของแหล่งกำเนิดแสงที่หล่อเงาและเงาวัตถุที่ถูกโยน ออกจากโฟกัสถ่ายภาพคอนโวลูชันของภาพคมชัดกับเบลอวงกลมที่เกิดจากไอริสกะบังลม - ในอะคูสติก , เสียงสะท้อนเป็นขดของเสียงต้นฉบับที่มีหน้าที่เป็นตัวแทนของวัตถุต่าง ๆที่สะท้อนให้เห็นถึงมัน - ในวิศวกรรมไฟฟ้าและสาขาอื่น ๆ การแสดงผล ( การตอบสนอง ) ของ ( เครื่องเขียน หรือเวลาหรือค่าคงที่พื้นที่ ) ระบบเชิงเส้นเป็นขดของอินพุต ( กระตุ้น ) กับระบบของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น หรือของดิแรกเดลตาฟังก์ชัน . - ใน time-resolved fluorescence spectroscopy , สัญญาณและสามารถถือว่าเป็นโซ่ของเดลต้า กะพริบ และวัดนี้คือผลรวมของเลขชี้กำลังสลายตัวจากแต่ละเดลต้า ชีพจร - ฟิสิกส์ ทุกที่ที่มีระบบเชิงเส้นด้วย " ซ้อนทับ " หลักการเป็นขดการปรากฎตัว แต่เรารู้สึกว่า " ขด " ถ้าเฉพาะชุดแทนของฟังก์ชันที่สามารถใช้ในโรงเรียนระดับมัธยมหรือ " ระดับ " โดยไม่มีความยากลำบากใด ๆ เป้าหมายของเราคือเพื่อแสดงให้เห็นว่านี้สามารถลุ้นรับ นี้จะไม่เพียง แต่ช่วยให้นักเรียนที่จะยึดแนวคิดอย่างแน่นหนา แต่จะทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างต่ำและสูงกว่าแนวคิด