International Mathematical Forum, V

International Mathematical Forum, Vol. 8, 2013, no. 12, 577 - 582
HIKARI Ltd, www.m-hikari.com
Graphs with Edge-Odd Graceful Labelings
S. Singhun
Department of Mathematics, Faculty of Science
Ramkhamhaeng University, Bangkok, Thailand 10240
sin [e-mail]
Copyright
c 2013 S. Singhun. This is an open access article distributed under the
Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and
reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract
Solairaju and Chithra [3] introduced a new type of labeling of a
graph G with q edges called an edge-odd graceful lebeling if there is a
bijection f from the edges of the graph to the set {1, 3, 5, . . ., 2q − 1}
such that, when each vertex is assigned the sum of all the edges incident
to it mod 2q, the resulting vertex labels are distinct. They showed edgeodd
graceful labeling for graphs related to paths. In this paper, graphs
related to cycles that admitted edge-odd graceful labelings are shown.
Mathematics Subject Classification: 05C78
Keywords: edge-odd graceful labeling
1 Introduction
Let G be a simple undirected graph with q edges. Thoughtout this paper,
let V (G) and E(G) denote the vertex set and the edge set of G, respectively.
In 1967, Rosa [1] introduced a labeling of G called graceful labeling which is
an injection f from V (G) to the set {0, 1, 2,... ,q} such that each edge xy is
assigned the label |f(x)−f(y)|, the resulting edge labels are distinct. A graph
G is said to be graceful if G admits a graceful labeling. In 1991, Gnanojothi
[2] defined a graph G to be odd-graceful if there is an injection f from V (G)
to the set {0, 1, 2,... , 2q − 1} such that, when each edge xy is assigned the
label |f(x)−f(y)|, the resulting edges labels are in the set {1, 3, 5,... , 2q −1}.
Later, Solairaju and Chithra [3] introduced a new type of labeling of a graph
G called an edge-odd graceful labeling which is a bijection f from E(G) to the
578 S. Singhun
set {1, 3, 5,... , 2q − 1} so that the induced mapping f
+ from V (G) to the set
{0, 1, 2,... , 2q − 1} given by f
+(x) = P
f(xy) (mod 2q) where the vertex x is
adjacent to other vertex y. The edge labels and vertex labels are distinct. A
graph that admitted an edge-odd graceful labeling is called edge-odd graceful.
The authors in [3] showed edge-odd graceful labelings of graphs related to
paths : the Hoffman tree PnΘK1 where n ≥ 2, the Bistar Bn,n when n is odd,
the graph < K1,n : 2 > and the Double star K1,n,n when n is even. Motivated
by these, we investigate edge-odd graceful graphs related to cycles.
An SF(n,m) is a graph consiting of a cycle Cn where n ≥ 3 and n sets
of m independent vertices where each set joins to each of vertices on Cn. We
show an edge-odd graceful labeling of SF(n,m) (in Theorem 2.1 and 2.3).
A wheel graph Wn+1 is a graph with n + 1 vertices obtained by connecting
a single vertex to all vertices of a cycle Cn. We show (in Theorem 3.1) that
Wn+1 is edge-odd graceful when n is even.
2 SF(n, m)
In this section, let v1,v2,... ,vn be vertices on the cycle of SF(n,m) and for
each j = 1, 2,... ,n the vertices v
1
j
,v2
j
,... ,vm
j be vertices joining vj
. That is,
the vertex set of SF(n,m) is the set {vj
| j = 1, 2,... ,n}∪ {v
i
j
| j = 1, 2,... ,n
and i = 1, 2,... ,m}. The edge set is the set {vjv
i
j
| i = 1, 2,... ,m and
j = 1, 2,... ,n} ∪ {vjvj+1 | j = 1, 2,... ,n − 1} ∪ {v1vn}. Then, the number of
edges is n + nm.
Theorem 2.1. The graph SF(n, 1) is edge-odd graceful.
Proof. Let G denote the graph SF(n, 1). So q = 2n.
Define f : E(G) → {1, 3, 5,... , 4n − 1} by
f(vjv
1
j
) = 2j − 1 for j = 1, 2,... ,n;
f(vjvj+1) = 4n − 2j + 1 for j = 1, 2,... ,n − 1 and
f(vnv1) = 2n + 1.
The induced mapping are
f
+(v
1
j
) = 2j − 1 for j = 1, 2,... ,n;
f
+(v1) = 2n + 1 and
f
+(vj ) = 4n − 2j + 3 for j = 2, 3,... ,n.
Then the edge labels are arranged in the set {1, 3,... , 2n−1}∪{4n−1, 4n−
3,... , 2n + 3} ∪ {2n + 1}. The vertex labels are arranged in the set {1, 3,... ,
2n − 1} ∪ {2n + 1} ∪ {4n − 1,... 2n + 3}. Therefore the edge label are odd and
distinct and the vertex labels are distinct. So G is edge-odd graceful.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เวทีคณิตศาสตร์นานาชาติ ปี 8, 2013 หมายเลข 12, 577-582Www.m-hikari.com Ltd ฮิคาริกราฟที่ มีขอบคี่สง่า LabelingsS. Singhunภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยรามคำแหง กรุงเทพ ไทย [e-mail] บาปลิขสิทธิ์ c 2013 s ได้ Singhun เป็นบทความเปิดเข้าแจกจ่ายภายใต้การสร้างสรรค์คอมมอนส์แสดงลิขสิทธิ์ ที่อนุญาตให้ใช้จำกัด จำหน่าย และอย่างถูกต้องมีอ้างซ้ำในสื่อใด ๆ ให้งานต้นฉบับบทคัดย่อแนะนำแบบใหม่ของการติดฉลากของ Solairaju และ Chithra [3] เป็นกราฟ G มีขอบ q เรียกว่า lebeling มีสง่าขอบคี่ถ้ามีการf bijection จากขอบของกราฟชุด { 1, 3, 5, .. ., 2q − 1 }ที่ เมื่อแต่ละจุดกำหนดผลรวมของปัญหาขอบทั้งหมดจะ mod 2q ป้ายจุดผลที่ได้จะแตกต่างกัน พวกเขาพบ edgeoddติดฉลากสง่าสำหรับกราฟที่เกี่ยวข้องกับเส้นทาง ในเอกสารนี้ กราฟเกี่ยวข้องกับวงจรที่ แสดงยอมรับขอบคี่สง่า labelingsคณิตศาสตร์เรื่องประเภท: 05C 78คำสำคัญ: ขอบคี่สง่าติดฉลากบทนำ 1ให้ G เป็นกราฟ undirected ง่าย ด้วยขอบ q Thoughtout กระดาษนี้ให้ V (G) และ E(G) แสดงชุดจุดยอดและตั้งขอบของ G ตามลำดับในค.ศ. 1967 โร [1] แนะนำการติดฉลากของ G เรียกว่าสง่างามติดฉลากซึ่งเป็นการ f ฉีดจาก V (G) ที่ชุด { 0, 1, 2,..., q } ที่เป็น xy แต่ละขอบกำหนดป้าย |f (x) −f (y) |, ป้ายผลลัพธ์จะแตกต่างกัน กราฟกล่าวว่า G จะสง่างามถ้า G ยอมรับการติดฉลากสง่า ในปีพ.ศ. 2534, Gnanojothi[2] กำหนดกราฟ G จะเป็นคี่สง่างามถ้ามีการฉีด f จาก V (G)ชุด {0, 1, 2,..., 2q − 1 } ที่ เมื่อกำหนด xy ขอบแต่ละป้ายชื่อ |f (x) −f (y) |, ป้ายขอบผลลัพธ์อยู่ในเซ็ต {1, 3, 5,..., 2q −1 }ภายหลัง Solairaju และ Chithra [3] แนะนำแบบใหม่ของการติดฉลากของกราฟG เรียกว่าคี่ขอบการติดฉลากที่สง่าเป็น f bijection จาก E(G) ไป578 S. Singhunเซ็ต {1, 3, 5,..., 2q − 1 } ให้ f อาจแม็ป+ จาก V (G) ในชุด{0, 1, 2,..., 2q − 1 } โดย f+(x) = Pf(xy) (mod 2q) ซึ่งจุด x เป็นติดกับจุดยอด y อื่น ๆ ป้ายและป้ายชื่อของจุดจะแตกต่าง Aกราฟที่ยอมรับผิดขอบคี่สง่าติดฉลากคือขอบคี่สง่าผู้เขียนใน [3] แสดงให้เห็นว่าขอบคี่ labelings สง่าของกราฟที่เกี่ยวข้องกับเส้นทาง: แมนในแผนภูมิ PnΘK1 n ≥ 2, Bistar พัน n เมื่อ n เป็นคี่กราฟ < K1, n: 2 > และ K1 คู่ดาว n, n เมื่อ n เป็นเลขคู่ แรงจูงใจโดยเหล่านี้ เราตรวจสอบขอบคี่สง่ากราฟที่เกี่ยวข้องกับวงจรSF(n,m) การเป็น consiting กราฟวงจร Cn ที่การตั้งค่าของ n และ n ≥ 3เมตร ขึ้นอยู่กับจุดยอดซึ่งแต่ละเซ็ตรวมแต่ละจุดยอดบน Cn เราแสดงขอบคี่สง่าติดฉลากของ SF(n,m) (ในทฤษฎีบท 2.1 และ 2.3)ดับเบิ้ลยูเอ็นกราฟล้อ + 1 เป็นกราฟที่ มีจุดยอด n + 1 ที่ได้รับการเชื่อมต่อจุดเดียวกับจุดยอดทั้งหมดของวงจร Cn เราแสดง (ในทฤษฎีบท 3.1) ที่ดับเบิ้ลยูเอ็น + 1 เป็นขอบคี่สง่าเมื่อ n เป็นเลขคู่2 SF (n, m)ในส่วนนี้ ให้ v1, v2,..., วีเอ็นเป็นจุดยอดในรอบ SF(n,m) และสำหรับแต่ละ j = 1, 2,..., n จุดยอด v1เจ, v2เจ,..., vmเจมีจุดยอดร่วม vj. นั่นก็คือชุดจุดยอดของ SF(n,m) เป็นชุด {vj| j = 1, 2,..., n } ∪ {vฉันเจ| j = 1, 2,..., nและ i = 1, 2,..., m } ชุดขอบเป็นชุด {vjvฉันเจ| ฉัน = 1, 2,..., m และj = 1, 2,..., n } ∪ { vjvj + 1 | j = 1, 2,..., n − 1 } ∪ {v1vn } แล้ว จำนวนขอบเป็น n + nmทฤษฎีบท 2.1 กราฟ SF (n, 1) เป็นขอบคี่สง่าหลักฐานการ ให้ G แสดงกราฟ SF (n, 1) ดังนั้น q = 2nกำหนด f: → E(G) {1, 3, 5,..., 4n − 1 } โดยf (vjv1เจ) = 2j − 1 สำหรับ j = 1, 2,..., nf(vjvj+1) = 4n − 2j + 1 สำหรับ j = 1, 2,..., n − 1 และf(vnv1) = 2n + 1การแม็ปการเหนี่ยวนำให้มีf(v +1เจ) = 2j − 1 สำหรับ j = 1, 2,..., nf+(v1) = 2n + 1 และf+ (vj) = 4n − 2j + 3 สำหรับ j = 2, 3,..., nแล้วป้ายจัดเรียงในเซ็ต {1, 3,..., 2n−1 } ∪ {4n−1, 4n−3,..., 2n + 3 } ∪ { 2n + 1 } จัดเรียงป้ายชื่อจุดยอดในเซ็ต {1, 3,...,2n − 1 } ∪ { 2n + 1 } ∪ {4n − 1,... 2n + 3 } ดังนั้น ป้ายขอบแปลก และหมด และป้ายชื่อของจุดจะแตกต่างกัน ดังนั้น G เป็นคี่ขอบสง่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คณิตศาสตร์ International Forum, ฉบับที่ 8, 2013, ไม่มี 12 577-582
HIKARI จำกัด www.m-hikari.com
กราฟกับ Edge-แปลก Graceful labelings
เอส Singhun
ภาควิชาคณิตศาสตร์คณะวิทยาศาสตร์
มหาวิทยาลัยรามคำแหง, Bangkok, Thailand 10240
บาป [e-mail]
ลิขสิทธิ์
ค 2013 เอส Singhun นี่คือบทความเปิดจำหน่ายภายใต้
ใบอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์ซึ่งอนุญาตให้ใช้ไม่ จำกัด การจัดจำหน่ายและ
การทำสำเนาในสื่อใด ๆ ให้ทำงานเดิมจะอ้างอย่างถูกต้อง.
บทคัดย่อ
Solairaju และ Chithra [3] แนะนำรูปแบบใหม่ของการติดฉลากของ
G กราฟที่มีขอบคิวเรียกว่าขอบแปลก lebeling สง่างามถ้ามี
bijection ฉจากขอบของกราฟชุด {1, 3, 5, . . 2q - 1}
ดังกล่าวว่าเมื่อแต่ละจุดสุดยอดที่มีการกำหนดผลรวมของทุกเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่ขอบ
มัน mod 2q ป้ายจุดสุดยอดที่เกิดขึ้นมีความแตกต่าง พวกเขาแสดงให้เห็น edgeodd
การติดฉลากที่สง่างามสำหรับกราฟที่เกี่ยวข้องกับเส้นทาง ในบทความนี้กราฟ
ที่เกี่ยวข้องกับวงจรที่เข้ารับการรักษาที่สง่างาม labelings ขอบแปลกที่จะแสดง.
คณิตศาสตร์เรื่องการจัดหมวดหมู่: 05C78
คำสำคัญ: ขอบแปลกฉลากสง่างาม
1 บทนำ
ให้ G เป็นกราฟไม่มีทิศทางที่เรียบง่ายที่มีขอบคิว thoughtout กระดาษนี้
ให้ V (G) และ E (G) แสดงว่าชุดจุดสุดยอดและชุดขอบของ G ตามลำดับ.
ในปี 1967 โรซา [1] แนะนำการติดฉลากจีเรียกว่าการติดฉลากที่สง่างามซึ่งเป็น
ฉฉีดจาก V ( G) ชุด {0, 1, 2, ... , Q} เช่นที่เซ็กซี่ขอบแต่ละคนจะ
ได้รับมอบหมายฉลาก | f (x) -f (y) | ป้ายขอบส่งผลให้มีความแตกต่าง กราฟ
G กล่าวจะสง่างามถ้าจียอมรับว่าการติดฉลากที่สง่างาม ในปี 1991 Gnanojothi
[2] กำหนดกราฟ G จะเป็นคี่สง่างามถ้ามีฉฉีดจาก V (G)
ชุด {0, 1, 2, ... , 2q - 1} ดังกล่าวว่าเมื่อแต่ละ เซ็กซี่ขอบมีการกำหนด
ฉลาก | f (x) -f (y) |., ป้ายขอบที่เกิดขึ้นอยู่ในชุด {1, 3, 5, ... , 2q -1}
ต่อมา Solairaju และ Chithra [3] แนะนำรูปแบบใหม่ของการติดฉลากของกราฟ
G ที่เรียกว่าขอบแปลกการติดฉลากที่สง่างามซึ่งเป็น bijection ฉจาก E (G) กับ
เอส 578 Singhun
ชุด {1, 3, 5, ... , 2q - 1} ดังนั้น ที่เหนี่ยวนำให้เกิดการทำแผนที่ฉ
+ จาก V (G) กับชุด
{0, 1, 2, ... , 2q - 1} กำหนดโดยฉ
+ (x) = P
f (เซ็กซี่) (mod 2q) ที่จุดสุดยอด x เป็น
ที่อยู่ติดกับ y ที่จุดสุดยอดอื่น ๆ ขอบป้ายและป้ายชื่อจุดสุดยอดมีความแตกต่าง
กราฟที่เข้ารับการรักษาที่ทันสมัยแปลกฉลากสง่างามที่เรียกว่าขอบแปลกสง่างาม.
ผู้เขียนใน [3] แสดงให้เห็นขอบแปลก labelings สง่างามของกราฟที่เกี่ยวข้องกับ
เส้นทาง: PnΘK1ต้นไม้ฮอฟแมนที่ n ≥ 2 Bistar พันล้าน n เมื่อ n คือแปลก
กราฟ <K1, n: 2> และดาวคู่ K1, n, n เมื่อ n คือแม้ แรงบันดาลใจ
เหล่านี้เราจะตรวจสอบขอบแปลกกราฟสง่างามที่เกี่ยวข้องกับวงจร.
เอสเอฟ (n, ม.) เป็น consiting กราฟของวงจร Cn ที่ n ≥ 3 และ n ชุด
ของม. จุดอิสระที่แต่ละชุดร่วมกับแต่ละจุดบน cn เรา
แสดงให้เห็นขอบแปลกการติดฉลากที่สง่างามของเอสเอฟ (n, ม.) (ในทฤษฎีบท 2.1 และ 2.3).
กราฟล้อ Wn + 1 เป็นกราฟที่มี 1 + n จุดได้โดยการเชื่อมต่อ
จุดเดียวที่จะทุกจุดของวงจร Cn . เราแสดง (ในทฤษฎีบท 3.1) ที่
Wn + 1 คือขอบแปลกสง่างามเมื่อ n คือแม้.
2 เอสเอฟ (n, ม.)
ในส่วนนี้ให้ v1, v2, ... , VN เป็นจุดในวงจรของเอสเอฟ ( n, ม.) และสำหรับการ
เจแต่ละ = 1, 2, ... , n จุด v
1
เจ
, v2
ญ
, ... , VM
ญเป็นจุดเข้าร่วม
vj นั่นคือ
จุดสุดยอดชุดของเอสเอฟ (n, ม.) คือชุด {vj
| เจ = 1, 2, ... , n} ∪ {โว
ฉัน
เจ
| เจ = 1, 2, ... , n
และฉัน = 1, 2, ... , m} ขอบชุดเป็นชุด {vjv
ฉัน
ญ
| i = 1, 2, ... , เมตรและ
เจ = 1, 2, ... , n} ∪ {vjvj + 1 | เจ = 1, 2, ... , n - 1} ∪ {} v1vn แล้วจำนวน
ขอบเป็น + n นาโนเมตร.
ทฤษฎีบท 2.1 กราฟเอสเอฟ (n 1) เป็นขอบแปลกสง่างาม.
หลักฐาน ขอแสดงกราฟจีเอสเอฟ (n, 1) . ดังนั้นคิว = 2n
กำหนด f: E (G) → {1, 3, 5, ... , 4n - 1} โดย
f (vjv
1
เจ
) = 2j - 1 สำหรับเจ = 1, 2, ... , n;
f (vjvj + 1) = 4n - 2j + 1 สำหรับเจ = 1, 2, ... , n - 1 และ
f (vnv1) = 2n + 1
เหนี่ยวนำให้เกิดการทำแผนที่จะ
f
+ (โวลต์
1
เจ
) = 2j - 1 สำหรับเจ = 1, 2, ... , n;
ฉ
+ (v1) = 2n + 1 และ
ฉ
+ (vj) = 4n - 2j + 3 สำหรับเจ = 2, 3, ... , n
แล้วป้ายขอบจะจัดในชุด {1, 3, ... , 2n-1} ∪ {4n-1 4n-
3, ... , 2n + 3} ∪ {2n + 1} ป้ายจุดสุดยอดจะจัดในชุด {1, 3, ... ,
2n - 1} ∪ {2n + 1} ∪ {4n - 1, ... 2n + 3} ดังนั้นป้ายขอบมีความแปลกและ
แตกต่างและป้ายจุดสุดยอดมีความแตกต่าง ดังนั้น G เป็นขอบแปลกที่สง่างาม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แข่งขันคณิตศาสตร์ ฟอรั่ม , ฉบับที่ 8 , 2013 , ฉบับที่ 12 , 577 - 582
ฮิคาริ จำกัด , www.m-hikari . com
กราฟกับขอบแปลกสง่างาม labelings
s
singhun ภาควิชาคณิตศาสตร์คณะวิทยาศาสตร์
มหาวิทยาลัยรามคำแหง กรุงเทพฯ 10240
บาปศิริรัตน์ @ รุ โดยลิขสิทธิ์

C 2013 . singhun . นี่คือการเปิดบทความเผยแพร่ภายใต้ใบอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์ Attribution
,ที่อนุญาตให้ใช้ ไม่จำกัดการกระจายและ
การสืบพันธุ์ในสื่อใด ๆ ให้ทำงานเดิมถูกอ้างถึง .

solairaju นามธรรมและ Chithra [ 3 ] แนะนำชนิดใหม่ของการติดฉลากของกราฟ G Q
ขอบเรียกว่าขอบแปลก สง่างาม lebeling ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
F จากขอบของกราฟ เพื่อเซต { 1 , 3 , 5 , . . . . 2 − 1 }
ดังกล่าวนั้นเมื่อแต่ละจุดสุดยอดได้รับผลรวมของขอบทั้งหมดเหตุการณ์
มัน mod 2Q ผลตามป้ายชื่อที่แตกต่างกัน พวกเขาพบ edgeodd
สง่างามฉลากสำหรับกราฟที่เกี่ยวข้องกับเส้นทาง ในกระดาษนี้ กราฟ
เกี่ยวข้องกับและยอมรับขอบแปลก สง่างาม labelings แสดง .
คณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 05c78
คำสำคัญ : แปลกที่สง่างามฉลากแนะนำ

1 ขอบให้ G เป็นกราฟเป็น undirected ง่ายๆกับ Q ขอบ thoughtout กระดาษนี้ ,
V ( G ) และให้ e ( G ) หมายถึง ยอดตั้ง และขอบชุดกรัม ตามลำดับ
ใน 1967 , โรซ่า [ 1 ] แนะนำการติดฉลากกรัมเรียกว่าสง่างามฉลากซึ่ง
ฉีด F จาก V ( G ) เซต { 0 , 1 , 2 . . . . . , Q } เช่นที่ขอบ XY คือ
กำหนดฉลาก | − f ( x ) f ( y ) | ผลขอบฉลากชัดเจน กราฟ
กรัมเป็นสง่างามถ้า G ยอมรับสละสลวย การติดฉลาก ในปี 1991 , gnanojothi
[ 2 ] กำหนดกราฟ G เป็นคี่ สง่างาม หากมีการฉีด F จาก V ( G )
ให้เซต { 0 , 1 , 2 , . . . 2 , − 1 } เช่น เมื่อขอบ XY กำหนดฉลาก |
f ( x ) − f ( y ) | ผลขอบฉลากในเซต { 1 , 3 , 5 , . . . 2 , − 1 } .
ทีหลังsolairaju และ Chithra [ 3 ] แนะนำชนิดใหม่ของการติดฉลากของกราฟ G เรียกว่าขอบแปลก
สง่างามฉลากซึ่งเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง F จาก E ( G )

แต่ . singhun ชุด { 1 , 3 , 5 , . . . 2 , − 1 } เพื่อให้นำแผนที่จาก F
V ( G ) ชุด
{ 0 , 1 , 2 , . . . 2 , − 1 } ให้ f
( X ) = P
F ( XY ) ( mod 2Q ) ที่ยอด X
ติดกับยอดอื่น ๆ .ขอบป้ายและป้ายชื่อ ยอดเป็น ที่แตกต่างกัน เป็นกราฟที่ยอมรับขอบ
แปลกฉลากสง่างามเรียกว่าขอบแปลก สง่างาม
ผู้เขียนใน [ 3 ] พบ labelings แปลกขอบที่สง่างามของกราฟที่เกี่ยวข้องกับ
เส้นทาง : ฮอฟแมนต้นไม้ PN Θ K1 ที่ N ≥ 2 , 3 bistar , n เมื่อ n เป็นคี่
กราฟ < K1 N : 2 > และคู่ดารา K1 n , n เมื่อ n คือ แม้แต่ แรงจูงใจ
โดยเหล่านี้เราตรวจสอบขอบแปลก สง่างาม กราฟที่เกี่ยวข้องกับวงจร .
เป็น SF ( N , M ) เป็นกราฟที่ consiting ของ CN วัฏจักรที่ N ≥ 3 และ N ชุด
M อิสระจุดที่แต่ละชุดเชื่อมแต่ละจุดบน cn เรา
แสดงขอบแปลกสง่างามฉลากของ SF ( N , M ) ( ในทฤษฎีบท 2.1 และ 2.2 ) .
ล้อกราฟเป็นกราฟที่บอก 1 กับ 1 จุดได้โดยการเชื่อมต่อ
จุดสุดยอดเดียวทุกจุดของวัฏจักร cnเราแสดง ( ในทฤษฎีบท 3.1 )
wn 1 ขอบแปลกสง่างามเมื่อ n .
2 SF ( n , m )
ในส่วนนี้ ให้ V1 , V2 , . . . VN , เป็นจุดบนวงจรของ SF ( n , m )
แต่ละและ j = 1 , 2 , . . . n จุดยอด v ,
1
J
, V2
J
. . . . . . . , VM
J เป็นจุดรวมวีเจ

นั่นคือ
ยอดชุดของ SF ( n , m ) คือชุด { วีเจ
| j = 1 , 2 , . . . , n } ∪ { V
ผม
J
| j = 1 , 2 , . . . และ N
i = 1 , 2 , . . . , m } ขอบชุดเป็นชุด { vjv
J

ฉัน| i = 1 , 2 , . . . , M และ
j = 1 , 2 , . . . ∪ N } { vjvj 1 | j = 1 , 2 , . . . , n − 1 } { v1vn ∪ } แล้วจำนวน
ขอบคือ n nm .
ทฤษฎีบท 2.1 . กราฟ SF ( , 1 ) มีขอบแปลกๆ สง่างาม
พิสูจน์ ให้ g แสดงกราฟ SF ( , 1 ) ดังนั้น Q = 2n .
นิยาม F : E ( G ) → keyboard - key - name { 1 , 3 , 5 , . . . 5 , − 1 }
F ( vjv
1
J
) = 2j − 1 สำหรับ j = 1 , 2 , . . . , n ;
F ( vjvj − 1 ) = 5 2j 1 j = 1 , 2 , . . . , n − 1
F ( vnv1 ) = 2n
2การเหนี่ยวนำจะ

) F ( V
3
J
) = 2j − 1 สำหรับ j = 1 , 2 , . . . , n ;
f
( V1 ) = 2n

1 F ( VJ ) = 4N − 2j 3 J = 2 , 3 , . . . N .
แล้วขอบป้ายจะถูกจัดเรียงในเซต { 1 , 2 , . . . 2n − 1 } ∪ { 5 − 1 , − 5
3 , . . . 2n 2n ∪ 3 } { 1 } ยอดป้ายชื่อจะถูกจัดเรียงในเซต { 1 , 2 , . . .
2n − 1 } , { 1 } { 2n ∪∪ 4N − 1 , . . . 2 3 } ดังนั้นขอบฉลากเป็นคี่และ
ที่แตกต่างกันและยอดมีป้ายชื่อที่แตกต่างกัน ดังนั้นขอบแปลก
G ที่สง่างาม