The computation of matrix functions

The computation of matrix functions has been one of the most challenging problems
in numerical linear algebra. Among the matrix functions one of the most
interesting is the exponential. In 1978 the famous paper by Moler and Van Loan
gave a review of methods, more or less useful, to approximate eA when A is a
generic order n matrix. In the last years the problem has been studied after the
introduction of Lie group methods to solve numerically systems of ordinary differential
equations. According to these methods the differential system is solved in
a Lie algebra (and not in a Lie group) using a coordinate map defined from the
algebra to its related group. Using the exponential map some numerical methods
have been derived, like Runge–Kutta Munthe-Kaas methods (see [5]). In these
methods at each step it is necessary to compute s+ 1 matrix exponentials where s
is the number of the stages of the underlying Runge–Kutta method. Some recent
papers (see [1, 2]) deal with the approximation of a matrix exponential in a Lie
group. Among the explicit formulas only the Rodrigues formula allows the computation
of eA when A is a skew-symmetric real matrix (i.e. AT = −A) of order 3.
If A is the matrix
A

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การคำนวณของฟังก์ชันเมตริกซ์มีปัญหาท้าทายที่สุดอย่างใดอย่างหนึ่งในพีชคณิตเชิงเส้นเป็นตัวเลข หมู่ฟังก์ชันเมทริกซ์หนึ่งมากที่สุดน่าสนใจเป็นที่เนนการ ในปี 1978 กระดาษที่มีชื่อเสียง โดย Moler และสินเชื่อรถให้ทบทวนวิธี มีประโยชน์มากหรือน้อย eA โดยประมาณเมื่อเป็นการสั่งทั่วไป n เมตริกซ์ ในปีสุดท้าย ได้มีการศึกษาปัญหาหลังจากแนะนำวิธีการกลุ่มนอนแก้ระบบเชิงอนุพันธ์สามัญเรียงตามตัวเลขสมการ ตามวิธีการเหล่านี้ ระบบส่วนที่แตกต่างคือแก้ไขในพีชคณิตการโกหก (และไม่อยู่ ในกลุ่มนอน) ใช้แผนที่ประสานงานที่กำหนดจากการพีชคณิตของกลุ่มที่เกี่ยวข้อง ใช้แผนที่เนนบางวิธีที่เป็นตัวเลขได้รับมา เช่น Runge – Kutta Munthe Kaas วิธี (ดู [5]) ในเหล่านี้วิธีการที่จำเป็นต้องคำนวณ s + exponentials เมตริกซ์ 1 ที่ sคือหมายเลขของขั้นตอนวิธี Runge – Kutta ต้น ล่าสุดบางเอกสาร (ดู [1, 2]) จัดการกับประมาณของเมทริกซ์เนนโกหกกลุ่ม ระหว่างสูตรชัดเจนเฉพาะโรดริเกวส สูตรให้คำนวณของ eA เมื่อ A เป็นเมทริกซ์สมมาตรเสมือนจริง (เช่นที่ = −A) สั่ง 3ถ้า A เป็นเมตริกซ์A

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟังก์ชั่นการคำนวณเมทริกซ์ที่ได้รับหนึ่งในปัญหาที่ท้าทายที่สุดในพีชคณิตเชิงเส้นเป็นตัวเลข
ในระหว่างที่ฟังก์ชั่นแมทริกซ์มากที่สุดแห่งหนึ่งที่น่าสนใจคือการชี้แจง ในปี 1978 กระดาษที่มีชื่อเสียงโดย Moler
และแวนกู้ให้ทบทวนวิธีการมากขึ้นหรือมีประโยชน์น้อยกว่าที่ใกล้เคียงกับeA
เมื่อเป็นคำสั่งทั่วไปn เมทริกซ์ ในปีที่ผ่านมาปัญหาที่เกิดขึ้นได้รับการศึกษาหลังจากที่แนะนำวิธีการอยู่กลุ่มที่จะแก้ปัญหาระบบตัวเลขของความแตกต่างสามัญสมการ ตามวิธีการเหล่านี้ระบบที่แตกต่างกันจะแก้ไขในพีชคณิตโกหก (และไม่ได้อยู่ในกลุ่มโกหก) โดยใช้พิกัดแผนที่กำหนดไว้จากพีชคณิตไปยังกลุ่มที่เกี่ยวข้อง โดยใช้แผนที่ชี้แจงวิธีการเชิงตัวเลขบางส่วนได้รับมาเช่น Runge-Kutta วิธี Munthe-Kaas (ดู [5]) ในเหล่านี้วิธีการที่แต่ละขั้นตอนก็เป็นสิ่งจำเป็นในการคำนวณ s + 1 exponentials เมทริกซ์ที่ s คือจำนวนของขั้นตอนของวิธีการพื้นฐาน Runge-Kutta ที่ บางคนที่ผ่านมาเอกสาร (ดู [1, 2]) จัดการกับประมาณการของเมทริกซ์ชี้แจงในการโกหกที่กลุ่ม ท่ามกลางสูตรอย่างชัดเจนเพียงสูตร Rodrigues ช่วยให้การคำนวณของeA เมื่อเป็นเมทริกซ์เอียงสมมาตรจริง (เช่น AT = -A) ของคำสั่ง 3. ถ้าเป็นเมทริกซ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การคำนวณฟังก์ชันเมทริกซ์ได้รับหนึ่งในความท้าทายที่สุดปัญหา
ในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข ของเมทริกซ์ฟังก์ชันหนึ่งในที่สุด
น่าสนใจเป็นแบบเอกซ์โพเนนเชียล ในปี 1978 ที่มีชื่อเสียงกระดาษโดยโมเลอร์ และรถตู้กู้
ให้ทบทวนวิธีการ มากกว่าหรือน้อยกว่าที่เป็นประโยชน์ เพื่อประมาณค่า EA เมื่อเป็นคำสั่งทั่วไป
n เมทริกซ์ ในปีที่ผ่านมาปัญหาได้รับการศึกษาหลังจาก
วิธีแก้เบื้องต้นของกลุ่มโกหกตัวเลขระบบสมการเชิงอนุพันธ์
ธรรมดา ตามวิธีการเหล่านี้ระบบ Differential จะแก้ไขใน
พีชคณิตโกหก ( และไม่ได้อยู่ในกลุ่มโกหก ) โดยใช้พิกัดแผนที่กำหนดจาก
พีชคณิตที่จะเกี่ยวข้องกับกลุ่ม การใช้แผนที่อธิบายวิธีเชิงตัวเลข
เคยได้มาเหมือน Runge –คุททา munthe วิธีการ kaas ( ดู [ 5 ] ) ในเหล่านี้
วิธีการในแต่ละขั้นตอนจะต้องคำนวณเมทริกซ์ของการยกกำลังที่ S
1 เป็นหมายเลขของขั้นตอนต้นแบบของ Runge –คุททาวิธี เอกสารล่าสุด
( ดู [ 1 , 2 ] ) จัดการกับการประมาณของเมทริกซ์เลขชี้กำลังในกลุ่มนอน

ในสูตรที่ชัดเจนเพียงสูตร Rodrigues ช่วยการคำนวณ
ของ EA เมื่อเป็นเบ้สมมาตรจริงเมทริกซ์ ( เช่นที่ = − ) ตามลำดับ 3 .
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ :