Theorem. A triple of integers is a

Theorem. A triple of integers is a primitive Pythagorean triple if and only if it may be written in the form $(m^2-n^2, 2mn, m^2 + n^2)$ or $(2mn, m^2-n^2, m^2+n^2)$, where $m > n$ are relatively prime positive integers of different parity.

Proof

Let $(a,b,c)$ be a primitive Pythagorean triple. If $a$ and $b$ both odd, then we must have [c^2 equiv a^2 + b^2 equiv 1+1 equiv 2 pmod{4},] which is a contradiction, since 2 is not a square mod 4. Hence at least one of $a$ and $b$, say $b$, is even. Then $a$ must be odd, since $a$ and $b$ must be relatively prime. It follows that $c$ is odd as well. It follows that the numbers $s = (c+a)/2$ and $d = (c-a)/2$ are positive integers. These positive integers must be relatively prime, since any common divisor of $s$ and $d$ must divide both $s+d= c$ and $s-d = a$. Since $a = s-d$ and $c= s+d$, it follows that [b = sqrt{c^2 -a^2} = sqrt{(s+d)^2 - (s-d)^2} = sqrt{4sd} = 2sqrt{sd} .] Since $sqrt{sd} = b/2$ must be an integer and $s$ and $d$ are relatively prime, it follows that $s$ and $d$ are perfect squares. Hence we may denote $s= m^2$ and $d = n^2$ for integers $m$ and $n$. Since $m^2 + n^2 = s+d = c$ is odd, it follows that $m^2$ and $n^2$ must have different parity, so $m$ and $n$ have different parity. Finally, we observe that [(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2+n^2)^2,] so any triple of the form specified in the theorem is a Pythagorean triple; it must furthermore be a primitive Pythagorean triple, since any common factor of $m^2 - n^2$ and $m^2 + n^2$ (both of which are odd integers, since $m$ and $n$ have different parity) must also be a factor of both $(m^2 + n^2) + (m^2-n^2) = 2m^2$ and $(m^2+n^2) - (m^2 - n^2) = 2n^2$, which are integers with no common factor greater than 2. $lacksquare$

See also

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท สามของจำนวนเต็มจะเป็นทริปเปิลพีทาโกรัสดั้งเดิมถ้าเพียงแต่ว่าอาจจะเขียนใน$ฟอร์ม (m ^ 2 n ^ 2, 2mn, m ^ 2 + n ^ 2) $หรือ $(2mn, m ^ 2 n ^ 2 ม. ^ 2 + n ^ 2) ที่ $m > n$ มีนายกรัฐมนตรีจำนวนเต็มบวกของเท่าเทียมกันแตกต่างกันค่อนข้างหลักฐานให้ $(a, b, c) $จะสามพีทาโกรัสแบบดั้งเดิม ถ้า $a$ และ $b$ ทั้งคี่ แล้วเราต้องมี [c^2 equiv ตัว ^ 2 + b ^ 2 pmod{4}, equiv 2 equiv 1 + 1] ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ตั้งแต่ 2 ไม่ใช่ mod ตาราง 4 ดังนั้น อย่างน้อยหนึ่งใน $a$ และ$ $b, $ $b พูด ได้แม้ แล้ว $a$ ต้องคี่ $a$ และ $b$ ต้องให้ความสำคัญค่อนข้าง มันตามที่ $c$ เป็นคี่เช่น มันตามที่หมายเลข $s = (c + เป็น) / 2$ และ $d = (c-a) / 2$ เป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มบวกเหล่านี้ต้องเป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้าง เนื่องจากต้องแบ่งหารทั่วไปใด ๆ ของ $s $d$ และ$ $s + d = $s และ c$-d = ตั้งแต่ $a = $c และ$ s d = s + d$ มันตามที่ [b = sqrt{c^2 - เป็น ^ 2 } = sqrt {(s+d) ^ 2 - (s d) ^ 2 } = sqrt{4sd } = 2sqrt {sd } . ] ตั้งแต่ $sqrt{sd } = b/2$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม และ $s$ และ $d$ เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้าง มันตามว่า $s$ และ $d$ เป็นสี่เหลี่ยมเหมาะ ดังนั้น เราอาจชีพ $s = m ^ 2$ และ $d = n ^ 2$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ และ $n$ ตั้งแต่ $m ^ 2 + n ^ 2 = s + d = c$ เป็นคี่ มันตามที่ $m ^ $n และ$ 2 ^ 2$ ต้องมีความเท่าเทียมกันแตกต่างกัน ดังนั้น $m$ และ $n$ มีเท่าเทียมกันแตกต่างกัน ในที่สุด เราสังเกตที่ [(m ^ 2 n ^ 2) ^ 2 + (2mn) ^ 2 = m ^ 4 + 2 m ^ 2n ^ 2 + n ^ 4 = (m ^ 2 + n ^ 2) ^ 2, ] เพื่อการชนะของแบบฟอร์มที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทสามพีทาโกรัส นอกจากนี้ต้องเป็นทริปเปิลพีทาโกรัสดั้งเดิม ตั้งแต่ปัจจัยใด ๆ ทั่วไปของ $m ^ n 2 - ^ $m และ$ 2 ^ 2 + n ^ 2$ (ทั้งจำนวนคี่ ตั้งแต่ $m$ และ $n$ มีเท่าเทียมกันแตกต่าง) ยังต้องคูณ$ทั้งสอง (m ^ 2 + n ^ 2) + (m ^ 2 n ^ 2) = 2 เมตร ^ 2$ และ $(m^2+n^2) - (m ^ n 2 - ^ 2) = 2n ^ 2$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม ด้วยปัจจัยไม่ทั่วไปมากกว่า 2 $lacksquare$ดูเพิ่มเติม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท. สามของจำนวนเต็มเป็นดั้งเดิมพีทาโกรัสสามถ้าหากมันอาจจะเขียนในรูปแบบ $ (m ^ 2-N ^ 2, 2 ล้าน, M ^ 2 + N ^ 2) $ หรือ $ (2 ล้าน, ม. 2- ^ n ^ 2, ม. ^ 2 + n ^ 2) $ ที่ $ M> n $ เป็นจำนวนเต็มบวกความสำคัญของความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน.

พิสูจน์

ให้ $ (A, B, C) $ เป็นดั้งเดิมสามพีทาโกรัส ถ้า $ A $ และ $ B $ ทั้งแปลกแล้วเราต้องมี [C ^ 2 equiv a ^ 2 + B ^ 2 equiv 1 + 1 equiv 2 pmod {4} ] ซึ่งเป็นความขัดแย้ง, ตั้งแต่วันที่ 2 ไม่ได้เป็นตาราง mod 4. ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งของ $ A $ และ $ B $, พูด $ B $ เป็นแม้กระทั่ง แล้ว $ a $ จะต้องเป็นเลขคี่ตั้งแต่ $ A $ และ $ B $ จะต้องมีความสำคัญ มันตามที่ $ C $ เป็นเลขคี่เช่นกัน มันตามที่ตัวเลข $ s = (C + A) / 2 $ และ $ d = (CA) / 2 $ เป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มบวกเหล่านี้จะต้องเป็นความสำคัญตั้งแต่หารกันใด ๆ ของ $ s $ และ $ D $ ต้องแบ่งทั้ง $ s + D = C $ และ $ SD = A $ ตั้งแต่ $ A = SD $ และ $ c = s + D $ มันตามที่ [b = sqrt {C ^ 2 -a ^ 2} = sqrt {s (+ D) ^ 2 - (SD) ^ 2 } = sqrt {4SD} = 2 sqrt {SD}. ] ตั้งแต่ $ sqrt {SD} = b / 2 $ ต้องเป็นจำนวนเต็มและ $ s $ และ $ D $ มีความสำคัญมันตามที่ $ s $ และ $ D $ สี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ ดังนั้นเราอาจหมายถึง $ s = m ^ 2 $ และ $ d = n ^ 2 $ สำหรับจำนวนเต็ม $ M $ และ $ N $ ตั้งแต่ $ M ^ 2 + N ^ 2 = s + D = C $ เป็นเลขคี่มันตามที่ $ M ^ 2 $ และ $ n ^ 2 $ จะต้องมีความเท่าเทียมกันแตกต่างกันดังนั้น $ M $ และ $ N $ มีความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน สุดท้ายเราสังเกตได้ว่า [(m ^ 2-N ^ 2) ^ 2 + (2 ล้าน) ^ 2 = m ^ 4 + 2m ^ 2n ^ 2 + N ^ 4 = (m ^ 2 + N ^ 2) ^ 2 ] เพื่อให้ใด ๆ สามรูปแบบที่กำหนดไว้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นสาม; มันนอกจากนี้จะต้องเป็นดั้งเดิมพีทาโกรัสสามเนื่องจากปัจจัยร่วมกันใด ๆ ของ $ M ^ 2 - n ^ 2 $ และ $ M ^ 2 + N ^ 2 $ (ซึ่งทั้งสองเป็นจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ $ M $ และ $ N $ มี ความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน) นอกจากนี้ยังต้องมีปัจจัยของทั้งสอง $ (m ^ 2 + n ^ 2) + (m ^ 2-n ^ 2) = 2m ^ 2 $ และ $ (m ^ 2 + n ^ 2) - (m ^ 2 - n ^ 2) = 2n ^ 2 $ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มไม่มีปัจจัยร่วมกันมากกว่า 2 $ $ blacksquare

ดูเพิ่มเติม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท สามของจำนวนเต็มเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสดั้งเดิมถ้าและเพียงถ้ามันอาจจะเขียนในรูป $ ( M ^ 2-n ^ 2 , รวม , m ^ 2 + N ^ 2 ) $ หรือ $ ( รวม M ^ 2-n ^ 2 m ^ 2 + N ^ 2 ) $ ที่ $ M > n $ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันค่อนข้างเต็มบวกของความเท่าเทียมกันพิสูจน์ให้ $ ( a , b , c ) $ เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสดั้งเดิม . ถ้า $ A $ และ $ b $ ทั้งแปลก เราก็ต้อง equiv [ 2 C ^ A ^ 2 + b ^ 2 equiv 1 + 1 equiv 2 pmod { 4 } , ] ซึ่งเป็นปมขัดแย้ง ตั้งแต่ 2 ไม่ใช่ mod สี่เหลี่ยม 4 ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งของ $ A $ และ $ b $ พูด $ B $ เป็นด้วยซ้ำ แล้ว $ $ ต้องเป็นเลขคี่ ตั้งแต่ $ $ และ $ b $ เป็นจำนวนเฉพาะ ค่อนข้าง มันเป็นไปตามที่ $ c $ เป็นเลขคี่เช่น มันเป็นไปตามที่ตัวเลข $ s = ( C + + ) / 2 $ และ $ D = ( c-a ) / 2 $ เป็นจำนวนเต็มที่เป็นบวก จํานวนเต็มบวก เหล่านี้จะต้องเป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้างเพราะมีตัวหารร่วมของ $ S $ และ $ D $ ต้องแบ่งทั้ง $ s + D = C $ และ $ s-d = $ ตั้งแต่ $ = $ และ $ C s-d = S + D $ มันดังต่อไปนี้ว่า [ b = SQRT { c ^ 2 - ^ 2 } = SQRT { ( s + d ) ^ 2 - ( s-d ) ^ 2 } = { } = { 4sd SQRT 2sqrt SD ] ตั้งแต่ $ SQRT { } SD = b / } 2 $ ต้องเป็นจำนวนเต็ม และ $ S $ และ $ D $ ซึ่งเป็น นายก มันเป็นไปตามที่ $ S $ และ $ D $ เป็นสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ ดังนั้นเราอาจแสดงถึง $ s = m ^ 2 $ และ $ d = n ^ 2 $ สำหรับจำนวนเต็ม $ M $ และ $ n $ ตั้งแต่ $ m ^ 2 + N ^ 2 = S + D = c $ เป็นเลขคี่ มันเป็นไปตามที่ $ m ^ 2 $ และ $ n ^ 2 $ ต้องแตกต่างกันดังนั้น $ M $ และ $ n $ ที่มีความเท่าเทียมกัน ในที่สุด เราสังเกตว่า [ ( M ^ 2-n ^ 2 ) ^ 2 + ( รวม ) ^ 2 = 2 ^ 4 M + ^ + n 2n ^ 2 ^ 4 = ( m ^ 2 + N ^ 2 ) ^ 2 ] ดังนั้นใด ๆสามของแบบฟอร์มที่ระบุไว้ในทฤษฎีเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ; มันนอกจากนี้จะตรวจสอบสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส เนื่องจากมีปัจจัยร่วมของ $ m ^ 2 ) ^ 2 $ และ $ m ^ 2 + n ^ 2 $ ( ทั้งที่เป็นจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ $ M $ และ $ n $ จะต่างกัน ) ยังต้องมีปัจจัยของทั้ง $ ( M ^ 2 + N ^ 2 ) + ( M ^ 2-n ^ 2 ) ^ 2 = 2 $ และ $ ( m ^ 2 + N ^ 2 ) - ( m ^ 2 ) ^ 2 = 2n ^ 2 $ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มไม่มีตัวประกอบร่วมมากกว่า 2 $ $ lacksquareเห็นยัง