Benford’s law is a statement that f

Benford’s law is a statement that for a set of numbers the first (or leading) digit of each number is not evenly distributed.
Instead, there is a 30.1% chance of finding the digit ‘1’ in the numbers as a first digit. This probability is three times higher
than that of the uniform or random distribution. This seems to be rather counter-intuitive. This law is named after Frank
Benford [1], who in 1938 published that the law appeared in many sets of numbers, from the surface areas of rivers to
baseball statistics to figures picked from newspapers. However, it had actually been found by Newcomb [2] in 1881. More
recently, it is shown [3,4] that the probability is scale-invariant, which means that upon changing the unit or the scale of
numbers in the set, for example from meters to feet, the set still follows the law. Furthermore, it can be used [5,6] to detect
cases of possible number fraud, such as in lists of numbers from taxes, voters and even digital images.
It is important to know whether simulation values follow Benford’s law, because it can be used to test the validity
of algorithms employed in the simulations. It is already known [7] that in equilibrium molecular dynamics simulations,
the coordinates of the molecules apparently follow Benford’s law under periodic boundary condition. However, in a nonequilibrium
system, like droplet collisions, it is not yet examined at all. Here, we extend an application of the law to the
non-equilibrium situation. We also consider not only coordinates but also combinations of other physical quantities, such
as velocities or forces. We will show that the law actually also holds more accurately than previous results [7], where it
was compared with a uniform distribution, and furthermore can be used to understand non-equilibrium processes from a
different perspective.
We will first present a relevant

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ของเบนฟอร์ดเป็นรายงานว่า สำหรับชุดของตัวเลข หลักแรก (หรือผู้นำ) ของแต่ละหมายเลขจะไม่ถูกกระจายอย่างสม่ำเสมอแทน มีโอกาส 30.1% ค้นหาตัวเลข '1' ในตัวเลขที่เป็นตำแหน่งแรก ความน่าเป็นนี้เป็นสามเท่ากว่าที่กระจายสม่ำเสมอ หรือสุ่ม นี้ดูเหมือนจะเป็น counter-intuitive กฎหมายนี้ถูกตั้งชื่อหลังจาก Frankเบน [1], ใครในค.ศ. 1938 ที่ กฎหมายปรากฏในหลายชุดของตัวเลข จากพื้นที่ผิวของแม่น้ำรวมถึงเบสบอลสถิติตัวเลขการเบิกสินค้าจากหนังสือพิมพ์ อย่างไรก็ตาม มันมีจริงพบ โดย Newcomb [2] ใน 1881 เพิ่มเติมล่าสุด มันจะแสดง [3, 4] ว่าความน่าเป็นขนาดนิ่ง ซึ่งหมายความ ว่า เมื่อมีการเปลี่ยนหน่วยหรือมาตราส่วนของหมายเลขชุด เช่นเมตรฟุต ชุดยังคงเป็นไปตามกฎหมาย นอกจากนี้ สามารถใช้ [5,6] เพื่อตรวจสอบกรณีของการฉ้อโกงเลขได้ รายการจำนวนภาษี ผู้ลงคะแนน และภาพดิจิตอลได้เช่นสิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่า ค่าจำลองการปฏิบัติตามกฎหมายของเบน เนื่องจากมันสามารถใช้เพื่อทดสอบความของอัลกอริทึมในการทำงานในแบบจำลอง มันเป็นที่รู้กันว่า [7] ที่สมดุล dynamics โมเลกุลจำลองพิกัดของโมเลกุลตามของเบนฟอร์ดภายใต้เงื่อนไขขอบเขตเป็นครั้งคราวเห็นได้ชัด อย่างไรก็ตาม ในการ nonequilibriumระบบ เช่นหยดตาม มันไม่ ได้ตรวจสอบเลย ที่นี่ การที่เราขยายการบังคับใช้กฎหมายเพื่อการสถานการณ์ไม่สมดุล เรายังพิจารณาไม่เพียงพิกัด แต่ชุดของปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ เช่นเป็นตะกอนหรือกองกำลัง เราจะแสดงว่ากฎหมายจริงยัง มีแม่นยำกว่าก่อนหน้าผล [7], ซึ่งมันถูกเปรียบเทียบกับการแจกแจงยูนิฟอร์ม และนอกจากนี้ สามารถใช้เพื่อทำความเข้าใจกระบวนการไม่สมดุลจากการมุมมองที่แตกต่างกันเราจะต้องนำเสนอที่เกี่ยวข้อง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กฎหมายของ Benford เป็นคำสั่งว่าสำหรับชุดของตัวเลขแรก (หรือชั้นนำ) จำนวนหลักของแต่ละคนจะไม่กระจาย.
แต่มีโอกาสที่ 30.1% ของการหาหลัก '1' ในตัวเลขเป็นหลักแรก
ความน่าจะเป็นนี้เป็นสามครั้งสูงกว่าที่ของการกระจายชุดหรือแบบสุ่ม นี้ดูเหมือนว่าจะค่อนข้างเคาน์เตอร์ กฎหมายฉบับนี้เป็นชื่อหลังจากที่แฟรงก์
Benford [1] ที่ตีพิมพ์ในปี 1938
ว่ากฎหมายที่ปรากฏในหลายชุดของตัวเลขจากพื้นที่พื้นผิวของแม่น้ำเบสบอลสถิติตัวเลขที่หยิบมาจากหนังสือพิมพ์ แต่ก็จริงที่ได้รับการค้นพบโดย Newcomb [2] ใน 1881
เพิ่มเติมเมื่อเร็วๆ นี้ก็จะแสดงให้เห็น [3,4]
ว่าน่าจะเป็นขนาดคงที่ซึ่งหมายความว่าเมื่อมีการเปลี่ยนหน่วยหรือขนาดของตัวเลขในชุดเช่นจากเมตรฟุต, ชุดยังคงตามกฎหมาย นอกจากนี้ยังสามารถนำมาใช้ [5,6]
ในการตรวจสอบกรณีการทุจริตจำนวนที่เป็นไปเช่นในรายการของตัวเลขจากภาษีผู้มีสิทธิเลือกตั้งและแม้กระทั่งภาพดิจิตอล.
มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบว่าค่าการจำลองการปฏิบัติตามกฎหมายของ Benford เพราะมันสามารถเป็น
ใช้ในการทดสอบความถูกต้องของขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการจำลอง เป็นที่ทราบกันอยู่แล้ว [7] ว่าในการเปลี่ยนแปลงโมเลกุลสมดุลจำลองพิกัดของโมเลกุลที่เห็นได้ชัดว่าเป็นไปตามกฎหมายของ Benford ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะ
อย่างไรก็ตามใน nonequilibrium
ระบบเช่นชนหยดก็ไม่ได้รับการตรวจสอบยังที่ทุกคน
ที่นี่เราจะขยายการใช้กฎหมายเพื่อสถานการณ์ที่ไม่ได้สมดุล นอกจากนี้เรายังพิจารณาไม่เพียง แต่ยังพิกัดการรวมกันของปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ
เช่นเป็นความเร็วหรือกองกำลัง เราจะแสดงให้เห็นว่ากฎหมายยังถือจริงถูกต้องมากขึ้นกว่าผลก่อนหน้านี้ [7] ซึ่งจะได้รับการเปรียบเทียบกับการกระจายชุดและนอกจากสามารถใช้ในการเข้าใจกระบวนการที่ไม่สมดุลจากมุมมองที่แตกต่างกัน. ก่อนอื่นเราจะนำเสนอที่เกี่ยวข้อง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กฎของเบนฟอร์ดเป็นงบสำหรับชุดของตัวเลขแรก ( หรือผู้นำ ) หลักของแต่ละหมายเลขจะไม่กระจาย
แทน มี 30.1 % โอกาสในการหาเลข ' 1 ' ในตัวเลขที่เป็นหลักก่อน ความน่าจะเป็นนี้สามครั้งสูงกว่า
กว่าของเครื่องแบบหรือการกระจายแบบสุ่ม นี้ดูเหมือนว่าจะค่อนข้างใช้งานง่ายเคาน์เตอร์ . กฎหมายนี้เป็นชื่อหลังจากที่แฟรงค์
เบนฟอร์ด [ 1 ]ที่ตีพิมพ์ในปี 1938 ที่ปรากฏอยู่ในกฎหมายหลายชุดของตัวเลข จากพื้นที่ผิวของแม่น้ำ

สถิติเบสบอลกับตัวเลขที่เลือกจากหนังสือพิมพ์ อย่างไรก็ตาม ที่จริงแล้วมันถูกพบโดย Newcomb [ 2 ] ใน 1881 . เพิ่มเติม
เมื่อเร็ว ๆนี้พบ [ 3 , 4 ] ความน่าจะเป็นค่าคงที่มาตราส่วน ซึ่งหมายความ ว่า เมื่อเปลี่ยนหน่วย หรือ ขนาดของ
ตัวเลขในชุดตัวอย่างจากเมตรเป็นฟุต ชุดยังเป็นไปตามกฎหมาย นอกจากนี้ยังสามารถใช้ [ 5 , 6 ] ตรวจสอบ
กรณีของการฉ้อโกงจํานวนที่เป็นไปได้ เช่น ในรายการของตัวเลขที่ได้จากภาษี ผู้มีสิทธิเลือกตั้ง และแม้แต่ภาพดิจิตอล .
มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบว่าค่าการจำลองตามเบนฟอร์ด เป็นกฎหมาย เพราะสามารถใช้เพื่อทดสอบความถูกต้องของขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการจำลอง
.มันเป็นที่รู้จักกันอยู่แล้ว [ 7 ] ที่สมดุลพลศาสตร์โมเลกุลจำลอง ,
พิกัดของโมเลกุลที่เห็นได้ชัดตามกฎของเบนฟอร์ดภายใต้ระยะขอบเขตเงื่อนไข อย่างไรก็ตาม ในระบบ nonequilibrium
เหมือนตัวชน มันยังไม่ตรวจเลย ที่นี่ เราขยายการประยุกต์ใช้กฎหมาย
ไม่สมดุลกับสถานการณ์เรายังพิจารณาไม่เพียง แต่ยังชุดของพิกัดปริมาณทางกายภาพอื่น ๆเช่น
เป็นความเร็วหรือหน่วย เราจะแสดงให้เห็นว่า กฎหมายยังถือมากขึ้นถูกต้องกว่าเดิมผล [ 7 ] ซึ่ง
เมื่อเทียบกับการแจกแจง และนอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการเข้าใจกระบวนการที่ไม่สมดุลจาก

เรามีมุมมองที่แตกต่างกัน แรก จะ ปัจจุบันที่เกี่ยวข้อง