Homogeneous Equations with Constant

Homogeneous Equations with Constant Coefficients

The standard form of the second order homogeneous ordinary differential
equations with constant coefficients is


au + bu + cu = 0, a = 0, (1.35)
where a, b, and c are constants. The solution of this equation is assumed to
be of the form:
u(x) = erx . (1.36)

Substituting this assumption into Eq. (1.35) gives the equation:
erx (ar2 + br + c) = 0. (1.37)

Since erx is not zero, then we have the characteristic or the auxiliary equation:
ar2 + br + c = 0. (1.38)

Solving this quadratic equation leads to one of the following three cases:

(i) If the roots r and r are real and r = r , then the general solution of
1 2 1 2

the homogeneous equation is
u(x) = Aer1x + Ber2x , (1.39)

where A and B are constants.
(ii) If the roots r1 and r2 are real and r1 = r2 = r, then the general
solution of the homogeneous equation is
u(x) = Aerx + Bxerx , (1.40)

where A and B are constants.
(iii) If the roots r1 and r2 are complex and r1 = λ + iμ, r2 = λ − iμ, then
the general solution of the homogeneous equation is given by
u(x) = eλx (A cos(μx) + B sin(μx)) , (1.41)

where A and B are constants.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมการเอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่

รูปแบบมาตรฐานของการสั่งซื้อเหมือนกันที่สองสามัญสม
อนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่


Au Bu ลูกบาศ์ก = 0 = 0 (1.35)
ค่าคงที่ A, B, และ C มี การแก้สมการนี​​้จะถือว่า
จะมีรูปแบบ:
U (x) = ERX (1.36)

แทนสมมติฐานนี้เป็น EQ (1.35) สมการให้:
ERX (AR2 BR c) = 0 (1.37)

ตั้งแต่ ERX ไม่เป็นศูนย์แล้วเรามีลักษณะหรือสมการช่วย:
ar2 BR c = 0 (1.38)

การแก้สมการนี​​้จะนำไปสู่​​หนึ่งในสามกรณีดังต่อไปนี้:

(i) ถ้าราก r และ r เป็นจริงและ r = r แล้วการแก้ปัญหาทั่วไปของ
1 2 1 2

เหมือนกัน สมเป็น
U (x) = aer1x ber2x, (1.39)

ที่ a และ b เป็นค่าคงที่
(ii) ถ้าราก r1 และ r2 เป็นจริงและ r1 = r2 = r แล้ว
แก้ปัญหาทั่วไปของสมการเป็นเนื้อเดียวกัน
U (x) = aerx bxerx, (1.40)

ค่าคงที่ A และ B
(iii) ถ้าราก r1 และ r2 มีความซับซ้อนและ r1 = λiμ, r2 = λ - iμแล้ว
การแก้ปัญหาทั่วไปของสมการเหมือนกันที่จะได้รับโดย
U (x) = eλx (cos (μx) b บาป (μx)), (141)

ที่ a และ b เป็นค่าคงที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สมการเหมือนกับ Coefficients คง

แบบฟอร์มมาตรฐานที่สองสั่ง differential เหมือนธรรมดา
สมการ มีค่าคง coefficients เป็น


au bu cu = 0 เป็น = 0, (1.35)
a, b และ c คือ ค่าคงที่ การแก้ปัญหาของสมการนี้ถือ
เป็นแบบฟอร์ม:
u(x) = erx (1.36)

แทนสมมติฐานนี้เป็น Eq. (1.35) ให้สมการ:
erx (ar2 br c) = 0 (1.37)

เนื่องจาก erx ไม่เท่ากับศูนย์ แล้วเรามีลักษณะหรือสมการเสริม:
ar2 br c = 0 (1.38)

แก้สมการกำลังสองนี้นำไปสู่หนึ่งในสามกรณีต่อไปนี้:

(i) ถ้าราก r และ r เป็นจริงและ r = r แล้วการแก้ปัญหาทั่วไปของ
1 2 1 2

เหมือนสมการคือ
u(x) = Aer1x Ber2x, (1.39)

ที่ A และ B เป็นค่าคงที่
(ii) ถ้าราก r1 และ r2 มีจริงและ r1 = r2 = r แล้วทั่วไป
โซลูชันของสมการเหมือน
u(x) = Aerx Bxerx, (1.40)

ที่ A และ B เป็นค่าคงที่
(iii) ถ้าราก r1 และ r2 จะซับซ้อนและ r1 =λ iμ, r2 =λ− iμ แล้ว
แก้ไขปัญหาทั่วไปของสมการเหมือนถูกกำหนดโดย
u(x) = eλx (มี cos(μx) B sin(μx)), (141)

ที่ A และ B เป็นค่าคงที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สมกับเป็นเนื้อเดียวกันอย่างต่อเนื่อง coefficients

ที่มาตรฐานของที่สองเป็นเนื้อเดียวกันการสั่งซื้อหุ้นสามัญ differential
สมอย่างต่อเนื่อง coefficients คือ


AU BU CU = 0 , A = 0 ,( 1.35 )
ซึ่ง, B , C และมีค่าคงที่. โซลูชันของสมการนี้จะถูกคาดหมายว่า
มีรูปแบบที่
U ( X )= erx (มีปริมาตร 1.36 ลิตรโดยมีขนาด)แทน

สมมติฐานนี้เข้าสู่ EQ . ( 1.35 )จะช่วยให้ท่านสมการ
erx ( C อาร์เจนตินา 2 BR )= 0 ( 1.37 )

ตั้งแต่ erx ไม่ได้ไม่มีแล้วเรามีลักษณะเป็นหรือสมการเสริม
AR 2 BR c = 0 . ( 1.38 )

การแก้ปัญหานี้ในพีชคณิตที่มีกำลังสองสมการนำไปสู่หนึ่งในสามกรณีต่อไปนี้::

( i )หากราก R และ R มีอยู่จริงและ R = R ,โซลูชันโดยทั่วไปแล้วที่ของ
1212

ที่เป็นเนื้อเดียวกันสมการคือ
U ( X )= aer เหาะ 1 x 2 x ,( 1.39 นิ้ว)

ที่ A และ B มีค่าคงที่
( ii )หากรากที่ R 1 และ R 2 มีอยู่จริงและ R 1 = R 2 = R แล้วทั่วไป
โซลูชันของสมการเป็นเนื้อเดียวกันคือ
U ( X )= aerx bxerx ( 1.40 )

ที่ A และ B มีค่าคงที่
( iii )ถ้าราก R 1 และ R 2 จะมีความซับซ้อนและ R 1 =Λ iμ , R 2 =Λ - iμ แล้ว
ที่โซลูชันโดยทั่วไปของที่เป็นเนื้อเดียวกันสมการจะได้รับโดย
U ( X )= eλx (ที่ผักกาดหวาน( μx ) B บาป( μx )),( 1 )41 )

ที่มี B และมีค่าคงที่.