From (29) we obtain ̃(i) (i)(j) (i

From (29) we obtain

̃(i) (i)(j) (i)(k−i+1) (k)
k(k−1)/2+k
|C−AB|= G − A B − A B −A B
k−1 i=1 i+j≤k i=1

k(k−1)/2+k k(k−1)/2+k ̃(i) (i)
=
i=1
G − G i=1
k(k−1)/2+k ≤
| G ( i ) − G ̃ ( i ) | . Sincethereisnoroundingerrorinfl A(i)B(j) fori+ j≤k(seeTheorem1),
we obtain an upper bound of |C − AB| using (34) as
i=1
k(k−1)/2+k
| C − A B | ≤ | G ( i ) − G ̃ ( i ) | ≤ γ
| A ( i ) | | B ( j ) | = : F , i+ j=k+1
|A(i)|≤2−β·σ(i)·eT, |B(j)|≤2−β·e· τ(j) T, i,j

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จาก (29) เราได้รับ ̃(i) (i)(j) (i)(k−i+1) (k) k (k−1) / 2 + k| C−AB | = G − A B − A B −A B k−1 ฉัน = 1 ผม + j≤k ฉัน = 1 k (k−1) / 2 + เคเค (k−1) / 2 + ̃(i) k (i) = ฉัน = 1G − G ฉัน = 1k (k−1) / 2 + k ≤ | G ( i ) − G ̃ ( i ) | . Sincethereisnoroundingerrorinfl A(i)B(j) พู + j≤k(seeTheorem1)เราได้รับบนความผูกพันของกรุนด์ฟอส C − AB กรุนด์ฟอส ใช้ (34)ฉัน = 1k (k−1) / 2 + k| − C A B | ≤ | G ( i ) − G ̃ ( i ) | ≤Γ | A ( i ) | | B (j) | =: F, i + j = k + 1| (I) | ≤2−β·σ (i) ·eT กรุนด์ฟอส B (j) | ≤2−β·e· Τ(j) T, i, jn ฉัน = k (k−1) / 2 + 1ที่เราใช้ B(1) = b โดยขยาย (3) และ (4) การดำเนินการของเมตริกซ์ เรา ขอรับ จากคำนิยามของ P(s) และ σ(s) ใน (14) เราได้รับΣ(i) = 2β · · 2 P(s) = 2β 2⌈log max1≤j≤n | (s) | ⌉เราใช้การบนผูกพันสำหรับσ (i) โดยใช้ (36) เป็นดังนี้:Ij⌉ (·eT u·σ (i−1)) σ(i) ≤2β ·2⌈log2max1≤j≤n 2β ·2log2max1≤j≤n (·eT u·σ (i−1)) ij == 2Β · ij max(u·σ(i−1) ·eT) = 2β ·u·σ(i−1) = 2β−h ·σ(i−1), j≤n 1≤ (37)ที่ h: =− log2 u ที่นี่สำหรับ Xij ∈ Rm × n เรากำหนด Tสูงสุด Xij =สูงสุด X1j สูงสุด X2j,..., สูงสุด Xmj ∈อัพโหลด 1≤ j≤n 1≤ j≤n 1≤ j≤n 1≤ j≤nหมายเหตุว่า องค์ประกอบทั้งหมดใน u · Σ (i−1) มีอำนาจ 2 ผลผลิต recursively ใช้ (37)Σ (i) ≤ 2 (β−h) (i−1) σ≤ 22 (β−h) (i−2) σ≤· ≤σ 2(β−h) (i−1) (1) = 2(β−h)(i−1) · 2Β · 2P(1) (38)แทน (38) ถึง (35) เรามี| A(i) | ≤ 2(β−h)(i−1) · 2P(1) · eT (39)i 2 ij

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จาก (29) เราได้รับ(i) (i) (ญ) (i) (K-i + 1) (k) K (K-1) / 2 + K | C-AB | = G - AB - AB -AB K-1 i = 1 i + j≤ki = 1 K (K-1) / 2 + KK (K-1) / 2 + K (i) (i) = i = 1 G - G i = 1 K (K-1) / 2 + K ≤ | G (i) - G (i) | . Sincethereisnoroundingerrorinfl A (i) B (ญ) Fori + j≤k (seeTheorem1) เราได้รับบนปกของ | C - AB | โดยใช้ (34) ขณะที่i = 1 K (K-1) / 2 + K | C - AB | ≤ | G (i) - G (i) | แกมมา≤ | A (i) | | B (ญ) | =: F, I + J = k + 1 | A (i) | ≤2-β·σ (i) ·เอต | B (ญ) | ≤2-β·อี·τ (ญ) T, I, J

















n
i = K (K-1) / 2 + 1
ที่เราใช้ B (1) = บีโดยการขยาย (3) และ (4) เมทริกซ์การดำเนินงานที่เรา
ได้รับ
จากความหมายของσ (s) ใน (14) และ P (s), เราได้รับ
σ (i) = 2β· 2P (s) = 2β·2⌈logmax1≤j≤n | A (s) | ⌉.
เราจะมีขอบเขตบนสำหรับσ (i) โดยใช้ (36) เป็นดังนี้:
σ (i) ≤2β·2⌈log2max1≤j≤n (U ·σ (I-1) · e-) ij⌉ = 2β·2log2max1≤j≤n (U ·σ (I-1 ) ·อี) IJ
= 2β·แม็กซ์ (U ·σ (I-1) · e-) IJ = 2β·· U σ (I-1) = 2β-H ·σ (I-1), (37) 1≤ j≤n
ที่ H: = - log2 U ที่นี่สำหรับ Xij ∈ Rm × n เรากำหนด
ที
แม็กซ์แม็กซ์ Xij = X1j แม็กซ์ X2j, ... , แม็กซ์ Xmj ∈ Rm 1≤j≤n1≤j≤n1≤j≤n1≤j≤n
โปรดทราบว่าองค์ประกอบทั้งหมดใน U ·σ (I-1) เป็นอำนาจของ 2. การประยุกต์ใช้ (37) อัตราผลตอบแทนซ้ำ
σ (i) ≤ 2 (β-H) σ (I-1) ≤ 22 (β-H) σ (I-2) ≤···≤ 2 (β-H) (I-1) σ (1) = 2 (β-H ) (I-1) ··2β 2P (1) (38)
โดยการแทน (38) ถึง (35) เรามี
| A (i) | ≤ 2 (β-H) (I-1) · 2P (1) · e- (39)
I 2 IJ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จาก ( 29 ) เราได้รับ̃ ( ฉัน ) ( ฉัน ) ( J ) ( ฉัน ) ( I + K − 1 ) ( K )K ( K ( − 1 ) / 2 + เค| C − AB | = G −−− B B BK − 1 = 1 I + J ≤ k i = 1K ( K ( − 1 ) / 2 + K K ( K − 1 ) / 2 + k ̃ ( ฉัน ) ( ฉัน )=ฉัน = 1G − G = 1K ( K ( − 1 ) / 2 + k ≤| g ( i ) G ̃− ( ผม ) | . sincethereisnoroundingerrorinfl ( i ) B ( j + J ) fori ≤ K ( seetheorem1 )เราขอรับไว้ด้านบนของ | C − AB | ใช้ ( 34 ) เป็นฉัน = 1K ( K ( − 1 ) / 2 + เค| C − B | ≤ | g ( i ) G ̃− ( ผม ) | ≤γ| ( ฉัน ) | | B ( J ) | = : F , I + k + J = 1| ( ฉัน ) | ≤ 2 −β·σ ( ผม ) ด้วย ร้อยเอ็ด | B ( J ) | ≤ 2 −β· E ด้วยτ ( J ) t , J < K ( 35 ) | ( ฉัน ) | ≤ u ·σ ( − 1 ) ด้วย ร้อยเอ็ด | B ( J ) | ≤ U ด้วยด้วยτ E ( J − 1 ) t , J < K , I , J ̸ = 1 ( 36 )nผม = k ( K ( − 1 ) / 2 + 1ที่เราใช้ B = B โดยการขยาย ( 1 ) ( 3 ) และ ( 4 ) เพื่อคำนวณเมตริกซ์ เราขอรับจากความหมายของσ ( s ) ( 14 ) และ P ( s ) , ที่เราได้รับσ ( ฉัน ) = 2 บีตาด้วย 2p ( s ) = 2 บีตาด้วย 2 ⌈เข้าสู่ระบบ max1 ≤ J ≤ N | ( s ) | ⌉ .เราใช้ผูกด้านบนσ ( ผม ) ใช้ ( 36 ) ดังนี้σ ( ชั้น 2 ) ≤บีตาด้วย 2 ⌈ log2max1 ≤ J ≤ N ( U ·σ ( − 1 ) ด้วย ET ) ij ⌉ = 2 บีตาด้วย 2log2max1 ≤ J ≤ N ( U ·σ ( − 1 ) ด้วย ET ) IJ= 2 บีตาด้วยแม็กซ์ ( U ·σ ( − 1 ) ด้วย ET ) ij = 2 บีตาด้วย U ·σ ( − 1 ) = 2 β− H ·σ ( − 1 ) , ( 37 ) 1 ≤ J ≤ Nที่ H : = − LOG U ที่นี่ xij ∈ RM × N เรานิยามทีแม็กซ์ xij = แม็กซ์ x1j แม็กซ์ x2j , . . . , Max xmj ∈ RM . 1 ≤ J ≤ N 1 ≤ J ≤ N 1 ≤ J ≤ N 1 ≤ J ≤ Nทราบว่าองค์ประกอบทั้งหมดใน U ด้วยσ ( − 1 ) เป็นพลัง 2 ใช้ ( 37 ) recursively ผลผลิตσ ( ฉัน ) ≤ 2 ( β− H ) σ ( − 1 ) ( 22 ≤β− H ) σ ( − 2 ) ≤· · ·≤ 2 ( β− H ) ( − 1 ) σ ( 1 ) = 2 ( β− H ) ( − 1 ) ด้วยบีตาด้วย 2p ( 2 1 ) ( 38 )โดยแทน ( 38 ) ( 35 ) เรามี| ( ฉัน ) | ≤ 2 ( β− H ) ( − 1 ) ด้วย ( 1 ) 2p Suite ( 39 ) .ชั้น 2 แอลเจ