In mathematics, Green's relations a

In mathematics, Green's relations are five equivalence relations that characterise the elements of a semigroup in terms of theprincipal ideals they generate. The relations are named for James Alexander Green, who introduced them in a paper of 1951. John Mackintosh Howie, a prominent semigroup theorist, described this work as "so all-pervading that, on encountering a new semigroup, almost the first question one asks is 'What are the Green relations like?'" (Howie 2002). The relations are useful for understanding the nature of divisibility in a semigroup; they are also valid for groups, but in this case tell us nothing useful, because groups always have divisibility.

Instead of working directly with a semigroupS, it is convenient to define Green's relations over the monoid S1. (S1 is "S with an identity adjoined if necessary"; if S is not already a monoid, a new element is adjoined and defined to be an identity.) This ensures that principal ideals generated by some semigroup element do indeed contain that element. For an element a of S, the relevant ideals are:

The principal left ideal generated by a: . This is the same as , which is .The principal right ideal generated by a: , or equivalently .The principal two-sided ideal generated by a: , or .

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในวิชาคณิตศาสตร์ ของเขียวสัมพันธ์เป็นความสัมพันธ์เทียบเท่า 5 ที่ characterise องค์ประกอบของ semigroup ใน theprincipal อุดมคติที่พวกเขาสร้าง ความสัมพันธ์ที่มีชื่อสำหรับ James อเล็กซานเดอร์กรีน ที่นำมาใช้ในกระดาษของ 1951 จอห์นแม็กอินทอช Howie ที่โดดเด่น semigroup theorist อธิบายงานนี้เป็น"ดังนั้น ทั้งหมด-pervading ว่า ในหน semigroup ใหม่ คำถามที่แรกหนึ่งถาม 'สิ่งความสัมพันธ์ของสีเขียวที่ชอบ ' " (Howie 2002) ความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจเกี่ยวกับธรรมชาติของ divisibility ใน semigroup พวกเขายังมีผลบังคับใช้สำหรับกลุ่ม แต่ในกรณีนี้ บอกอะไรที่เป็นประโยชน์ เนื่องจากกลุ่มมี divisibility เสมอทำงานโดยตรงที่ semigroupS มันเป็นการกำหนดความสัมพันธ์ของกรีกว่า monoid S1 (S1 คือ "S เป็นตัว adjoined กรณี" ถ้า S ไม่มี monoid องค์ประกอบใหม่เป็น adjoined และกำหนด รหัสประจำตัว) นี้ช่วยให้มั่นใจว่า อุดมคติหลักที่สร้างขึ้น โดยองค์ประกอบบาง semigroup ประกอบด้วยองค์ประกอบที่แน่นอน สำหรับองค์ประกอบเป็นของ S อุดมคติที่เกี่ยวข้อง:หลักซ้ายเหมาะสร้าง โดย a: เป็นเหมือนกัน ซึ่งเป็นการ หลักขวาเหมาะสร้าง โดย a:, หรือ equivalently สำคัญแบบสองหน้าเหมาะอย่างยิ่งสร้าง โดย a:, หรือการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในทางคณิตศาสตร์, ความสัมพันธ์สีเขียวของห้าความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันที่ลักษณะองค์ประกอบของ semigroup ในแง่ของอุดมการณ์ theprincipal ที่พวกเขาสร้าง ความสัมพันธ์ที่มีชื่อสีเขียวเจมส์อเล็กซานเดที่นำพวกเขาในกระดาษของปี 1951 จอห์นโฮวี่ฝน, ทฤษฎี semigroup ที่โดดเด่นที่อธิบายการทำงานนี้ว่า "เพื่อให้ทุกขจรว่าเมื่อวันที่ต้องเผชิญหน้ากับ semigroup ใหม่เกือบคำถามแรกที่ถาม คืออะไรความสัมพันธ์สีเขียวเช่น? "(โฮวี่ 2002) ความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจธรรมชาติของการหารใน semigroup นั้น พวกเขายังมีผลบังคับใช้สำหรับกลุ่ม แต่ในกรณีนี้บอกเราว่าไม่มีอะไรที่มีประโยชน์เพราะมักจะมีกลุ่มหาร. แทนการทำงานโดยตรงกับ Semigroups ก็มีความสะดวกในการกำหนดความสัมพันธ์สีเขียวมากกว่าหนังสือ S1 (S1 คือ "S กับตัวตนติดในกรณีที่จำเป็น"; S ถ้าไม่ได้หนังสือที่เป็นองค์ประกอบใหม่จะติดและกำหนดให้เป็นตัวตน.) เพื่อให้แน่ใจว่าอุดมการณ์หลักที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ semigroup บางคนไม่แน่นอนมีองค์ประกอบที่ สำหรับองค์ประกอบของ S อุดมคติที่เกี่ยวข้องคือเหมาะซ้ายหลักสร้างโดย: นี้เป็นเช่นเดียวกับซึ่งเป็นห้องที่เหมาะสิทธิหลักสร้างโดย: หรือเท่ากันได้โดยเริ่มต้นที่สำคัญที่เหมาะสำหรับสองด้านสร้างโดย: หรือ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางคณิตศาสตร์ไหม , ไหมสีเขียวความสัมพันธ์ไหมห้าไหมความสัมพันธ์สมมูลไหมว่านักศึกษาองค์ประกอบของกึ่งกรุปอะไรไหมในแง่ของหลักอุดมคติอะไรที่พวกเขาสร้าง ความสัมพันธ์เป็นชื่อไหม เจมส์ อเล็กซานเดอร์ สีเขียว ที่แนะนำไว้ในกระดาษของ 1951 มั้ยจอห์นเสื้อกันฝนฮาววี่ เป็นทฤษฎีกึ่งกรุปชื่อดัง อธิบายนี้ " ดังนั้นการกระจายทั้งหมดที่พบกึ่งกรุปใหม่คำถามแรกที่ถามคือ เกือบ หนึ่งสิ่งที่เป็นสีเขียวความสัมพันธ์เป็นอย่างไร " ( ฮาววี่ 2002 ) ความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์สำหรับความเข้าใจธรรมชาติของการหารลงตัวในกึ่งกรุป พวกเขาจะถูกต้องสำหรับกลุ่มรึเปล่า แต่ในกรณีนี้บอกอะไรเราไม่ได้ประโยชน์ เพราะกลุ่มก็ลงตัว

แทนที่จะทำงานโดยตรงกับกึ่งกรุปมันสะดวกที่จะกำหนดความสัมพันธ์ทางธุรกิจสีเขียวเหรอทำไม S1 . ( S1 รึเปล่า " s ไหมที่มีเอกลักษณ์ติดถ้าจำเป็น " ; ถ้าอะไรด้วยรึเปล่า ไม่ก็หนังสือ , องค์ประกอบใหม่จะติดและกำหนดเป็น เอกลักษณ์ ) นี้ช่วยให้มั่นใจว่า หลักอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของกึ่งกรุปบางจริงๆที่มีองค์ประกอบ สำหรับองค์ประกอบของ เป็น  ของอุดมการณ์ที่เกี่ยวข้อง :

ทำไมหลักซ้ายไหมเหมาะสร้างโดยรึเปล่า : รึเปล่า .นี้จะเหมือนกันไหม ซึ่งไหม ซึ่งไหมหลักขวาเหมาะไหมที่สร้างขึ้นโดยรึเปล่า : รึเปล่าหรือก้องรึเปล่า . . ทำไมหลักสอง เหมาะไหมที่สร้างขึ้นโดยรึเปล่า :  หรือ  .