It is an elementary fact that if we

It is an elementary fact that if we fix an arbitrary set of d + 1 affine independent
points {p0,...,pd} in Rd, then the Euclidean distances {|x − pj |}d
j=0 determine the
point x in Rd uniquely. In this paper we investigate a similar problem in general
normed spaces which is motivated by this known fact. Namely, we characterize
those, at least d-dimensional, real normed spaces (X, · ) for which every set of
d + 1 affine independent points {p0, ...,pd} ⊂ X, the distances {x − pj}d
j=0
determine the point x lying in the simplex Conv({p0, ...,pd}) uniquely. If d = 2,
then this condition is equivalent to strict convexity, but if d > 2, then surprisingly
this holds only in inner product spaces. The core of our proof is some previously
known geometric properties of bisectors. The most important of these (Theorem 1)
is re-proven using the fundamental theorem of projective geometry.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มันเป็นความจริงระดับประถมศึกษาว่าถ้าเราแก้ไขการเซตของ d + 1 affine อิสระระยะทางแบบยุคลิดแล้ว Rd จุด {p0,..., pd } { | x − pj | } dj = 0 กำหนดให้จุด x ในถนนโดยเฉพาะ ในเอกสารนี้ เราตรวจสอบปัญหาคล้ายกันโดยทั่วไปช่อง normed ซึ่งแรงจูงใจ โดยการนี้รู้จักกันจริง คือ ลักษณะของเราเหล่านั้น normed จริง d น้อยมิติพื้นที่ (X, ·) ซึ่งทุกชุดของd + 1 จุดอิสระ affine {p0,... pd } ⊂ X ระยะทาง {x − pj } dj = 0กำหนดจุด x โกหกใน Conv simplex ({p0,... pd }) โดยเฉพาะ ถ้า d = 2แล้วเงื่อนไขนี้จะเท่ากับการเข้มงวด convexity แต่ถ้า d > 2 แล้วจู่ ๆนี้ถือเฉพาะในช่องว่างภายในผลิตภัณฑ์ หลักของหลักฐานของเราเป็นอย่างเคยทราบคุณสมบัติทางเรขาคณิตของ bisectors สำคัญที่สุดของเหล่านี้ (ทฤษฎีบท 1)มีการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของเรขาคณิต projective

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มันเป็นความจริงประถมว่าถ้าเราแก้ไขชุดโดยพลการของ 1 + d เลียนแบบอิสระ
จุด {P0, ... , PD} ในถนนแล้วระยะทางแบบยุคลิด {| x - PJ |} d
J = 0 ตรวจสอบ
จุด X ในถนนที่ไม่ซ้ำกัน ในบทความนี้เราจะตรวจสอบปัญหาที่คล้ายกันโดยทั่วไป
พื้นที่เกณฑ์ซึ่งเป็นแรงบันดาลใจจากความเป็นจริงนี้เป็นที่รู้จักกัน คือเราให้ลักษณะ
เหล่านั้นอย่างน้อย D-มิติช่องว่างเกณฑ์จริง (x, ·) ซึ่งชุดของทุก
1 + d เลียนแบบจุดอิสระ {P0, ... , PD} ⊂ X ระยะห่าง {x - PJ} D
J = 0
กำหนดจุด x นั้นนอนอยู่ใน Simplex Conv ​​นี้ ({P0, ... , PD}) ที่ไม่ซ้ำกัน หาก d = 2
แล้วสภาพนี้จะเทียบเท่ากับนูนเข้มงวด แต่ถ้าพัฒนา> 2 แล้วน่าแปลกใจที่
นี้ถือเป็นเพียงสินค้าในพื้นที่ชั้นใน หลักของเราคือหลักฐานบางอย่างก่อนหน้านี้
เป็นที่รู้จักในคุณสมบัติทางเรขาคณิตของเส้นแบ่งครึ่ง ที่สำคัญที่สุดของเหล่านี้ (ทฤษฎีบท 1)
เป็นอีกครั้งที่ได้รับการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของเรขาคณิต projective

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มันเป็นข้อเท็จจริงเบื้องต้นว่า ถ้าเราแก้ไขการตั้งค่าโดยพลการของ D + 1 รวมเป็นอิสระจุด { P0 , . . . , PD } RD แล้วใช้ระยะทาง { PJ } D − | | xJ = 0 กำหนดจุด x 1 มี . ในบทความนี้เราจะตรวจสอบปัญหาที่คล้ายกันในทั่วไปเป็น normed ซึ่งกระตุ้นโดยความจริง คือ เราจำกัดความนั้น อย่างน้อย d-dimensional ช่องว่าง normed จริง ( X , Suite ) ซึ่งทุกชุดของD + 1 รวมอิสระจุด { P0 , . . . , PD } ⊂ X , { x } D − PJ ระยะทางJ = 0กำหนดจุด X ที่โกหกในการลำเลียง ( { P0 , . . . , PD } ) เอกลักษณ์ . ถ้า D = 2แล้วอาการนี้จะเทียบเท่ากับที่เข้มงวด นูน แต่ถ้า D > 2 แล้วนั้น จู่ ๆนี้มีเฉพาะในปริภูมิผลคูณภายใน หลักของเรามีบางหลักฐานก่อนหน้านี้รู้จักคุณสมบัติของ bisectors เรขาคณิต . ที่สำคัญที่สุดของเหล่านี้ ( สูตร 1 )เป็นพิสูจน์การใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของ projective เรขาคณิต