Invariant 1.Let(G,F,U,R)be an inst

Invariant 1.Let(G

,F,U,R)be an instance. For any S-cycle C in G−U that contains a vertex of R, there is an S-cycle C

in G

such
that V(C

)=V(C)R.
Invariant 1 is clearly true when Ris empty. Whenever we hide a vertex v, we will argue that the invariant is still true
aftervis hidden. The next lemma shows that we can safely ignore the vertices in Rwhen we make further decisions on
G−U, and hence it is safe to work on G
 =G−(U∪R)instead of G−U.
Lemma 1.Let(G

,F,U,R)be an instance. UnderInvariant1,F

is a maximal S-forest of G−UsuchthatF⊆F

if and only if F

R
is a maximal S-forest of G

.
Proof.Let F

be a maximal S-forest of G−Usuch that F⊆F

. Then clearly F

R is an S-forest in G

. Let us argue
for maximality. Since F

is maximal, for any vertex xofG−(U∪F

), xis involved in an S-cycle C in G−Usuch that
V(C)⊆F

∪{x}. Observe that since R⊆F⊆F

,anysuchvertexxis also a vertex in G

.ByInvariant 1, xis involved in an
S-cycle C

in G

such that V(C

)=V(C)R.SinceG
 =G−(U∪R), it follows that V(C

)⊆(F

R)∪{x}.Hencexcannot
be added toF

R, which is thus a maximal S-forest of G

.
For the other direction, assume that F

Ris a maximal S-forest of G

. Hence every vertex xin G

outside ofF

Ris
involved in an S-cycle Cin G

such that V(C)⊆(F

R)∪{x}.SinceG−Uis a supergraph of G

, Cis also an S-cycle in
G−U. Hence no more vertices can be added to F

, which is thus maximal. Let us argue that F

is an S-forest. Assume
for contradiction that it is not. Then a vertex yofRis involved in an S-cycle Cin G−Usuch that V(C)⊆F

.Thenby
Invariant 1, there is an S-cycleC

in G

such thatV(C

)⊆F

R, which contradicts the assumption that F

Ris an S-forest
ofG

. ✷
Themeasureof an instance(G

,F,U,R)is the number of undecided vertices, i.e., the vertices in G
 −F. In the beginning
of the algorithm all vertices are undecided and hence the measure of(G,∅,∅,∅) is n. The measure drops by the number
of vertices deleted fromG

plus the number of vertices added toF. Hiding a vertex does not affect the measure of an
instance. In the call with input (G

,F,U,R), the algorithm will further branch into subproblems in which some vertices
will be deleted fromG

and some vertices will be placed in F, and the measure will drop accordingly. If at a step, we
branch intot new subproblems, where the measure decreases byc1,c2,...,ct in each subproblem, respectively, we get the
branching vector(c1,c2,...,ct). At each branching point, we will give the corresponding branching vector to be of help in
the running time analysis.
We now describe the reduction and the branching rules of the algorithm whenG

has undecided vertices andF is an
S-forest. Let (G

,F,U,R) be a call of the algorithm satisfying this. In the below, we letN(v)=NG(v), N[v]=NG[v], and
d(v)=dG(v). First, we state three reduction rules. These rules are applied recursively on the considered instance as long
as it is possible to apply at least one of them.
It is easy to see that the first reduction rule, Rule A,issafesince{u,v,w}forms an S-cycle, andu, ware already placed
in F:
Rule A.If in G

an undecided vertex v is adjacent to vertices u,w∈Fsuchthatuw∈Eand{u,v,w}∩S
= ∅ ,thendeletev,i.e.,
reduce to the subproblem(G
 −v,F,U∪{v},R).
The following observation immediately results in the next reduction rule:Rule B.
Observation 1.Letv be a vertex of G

such that no S-cycle of G

contains v. Then v must be added to F if it is not in F , and it is then
safe to hide v.
Proof.If vertex v is not involved in an S-cycle, then it cannot get involved in an S-cycle at later steps when more and
more vertices are deleted fromG

and added toU. Hence it is safe to add it to F, and due to maximality it must be added
to F if it is not already in F. Assume now that v∈F. Recall that for any S-cycle Cin G−Uthat contains a vertex of R,
there is an S-cycle C

in G

such V(C

)=V(C)R.BecausenoS-cycle in G

containsv, C

is an S-cycle in G
 −v.Hence,
it is safe to hide vand add it toR. ✷
Rule B.If G

has a vertex v with d(v)1, then add v to F if v is undecided, and when v ∈F then hide v, i.e., reduce to the subproblem
(G
 −v,F∪{v},U,R∪{v}).
SinceG

is not empty and it is chordal, it has a simplicial vertex. With the following observation we obtain the next
reduction rule:Rule C.
Observation 2.Letv be a simplicial vertex of G

.IfN[v]∩S=∅, then v must be added to F if it is not already in F , and it is then safe
to hide v

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.Let บล็อก (G

, F, U, R) เป็นอินสแตนซ์ สำหรับใด ๆ C S รอบใน G−U ที่ประกอบด้วยจุดยอดของ R มีตัว C S รอบ

ใน G

เช่น
ที่ V(C

) = V (C) R.
Invariant 1 เป็นจริงชัดเจนเมื่อ Ris ว่างเปล่า เมื่อใดก็ ตามที่เราซ่อน v จุด เราจะโต้เถียงบล็อกว่ายังคงจริง
aftervis ที่ซ่อนอยู่ จับมือถัดไปแสดงว่า เราสามารถปฏิเสธจุดยอดใน Rwhen ที่เราทำการตัดสินใจเพิ่มเติมบน
G−U และดังนั้น จึงปลอดภัยในการทำงานกับ G
= G− (U∪R) แทน G−U
1.Let จับมือ (G

, F, U, R) เป็นอินสแตนซ์ UnderInvariant1, F

เป็น S-ป่าสูงสุดของ G−UsuchthatF⊆F

ถ้าและเฉพาะถ้า F

R
is S-ป่าสูงสุดของ G

.
Proof.Let F

เป็น S-ป่าสูงสุดของ G−Usuch F⊆F ที่

แล้วชัดเจน F

R เป็นตัว S-ป่า G

เราทะเลาะ
สำหรับ maximality ตั้งแต่ F

เป็นสูงสุด สำหรับจุดยอดใด ๆ xofG−(U∪F

), xis ที่เกี่ยวข้องในการ C S รอบใน G−Usuch ที่
V (C) ⊆F

∪ {x } สังเกตพบว่า ตั้งแต่ R⊆F⊆F

, anysuchvertexxis ยังจุดยอดใน G

ByInvariant 1, xis เกี่ยวข้องในการ
C S รอบ

ใน G

ให้ V(C

) = V (C) R.SinceG
= G−(U∪R) เป็นไปตามที่ V(C

) ⊆ (F

R)∪{x }Hencexcannot
เพิ่ม toF

R ซึ่งเป็น S-ป่าสูงสุดของ G

.
ในทิศทางอื่น ๆ สมมติว่า F

Ris S-ป่าสูงสุดของ

ดังนั้นทุกซิจุด G

ปิดด้านนอก

Ris
involved ใน G เป็น Cin S รอบ

ให้⊆ V (C) (F

R)∪{x }SinceG−Uis supergraph ของ G

, Cis ยังเป็น S-วงจรใน
G−U ดังนั้น จุดยอดเพิ่มเติมไม่สามารถเพิ่ม F

, ซึ่งเป็นสูงสุดได้ เราทะเลาะที่ F

จะเป็น S-ป่า สมมติ
สำหรับความขัดแย้งที่ไม่ แล้ว yofRis จุดเกี่ยวข้องในการ S รอบ Cin G−Usuch ที่ ⊆F V (C)

Thenby
1 บล็อก มีตัว S-cycleC

ใน G

เช่น thatV(C

) ⊆F

R ซึ่งทุกสมมติฐาน F นั้น

Ris S-ป่าการ
ofG

✷
Themeasureof อินสแตนซ์ (G

, R F, U ) คือจำนวนของจุดยอดลังเล เช่น จุดยอดใน G
−F ในการเริ่มต้น
ของอัลกอริทึมจุดยอดทั้งหมดจะลังเล และดังนั้น of(G,∅,∅,∅) วัดเป็น n วัดหยด ด้วยจำนวน
ของจุดยอดที่ลบ fromG

บวกจำนวนจุดยอดเพิ่ม toF ซ่อนจุดยอดไม่มีผลต่อการวัดการ
อินสแตนซ์ ในการโทรด้วยการป้อนข้อมูล (G

, F, U, R), อัลกอริทึมจะเพิ่มเติมสาขาไป subproblems ในบางจุดยอดใด
จะลบ fromG

และบางจุดยอดจะถูกวางลงใน F และวัดจะลดลงตามลำดับ ถ้าในขั้นตอน เรา
สาขา intot ใหม่ subproblems ที่วัดลด byc1, c2,..., ct ในแต่ละ subproblem ตามลำดับ เราได้รับการ
vector(c1,c2,...,ct) โยงหัวข้อนั้น ในแต่ละจุดโยงหัวข้อ เราจะให้เวกเตอร์โยงหัวข้อที่เกี่ยวข้องให้ความช่วยเหลือใน
ทำงานที่เวลาวิเคราะห์
เราตอนนี้อธิบายการลดกฎโยงหัวข้อของ whenG อัลกอริทึม

มีใจ andF จุดยอดอยู่
S-ป่า ให้ (G

, F, U, R) เป็นการเรียกของอัลกอริทึมความพึงพอใจนี้ ในต่ำกว่า เรา letN (v) = NG (v), N [v] = NG [v], และ
d (v) =กิจ (v) ครั้งแรก เรารัฐสามลดกฎ กฎเหล่านี้มี recursively ใช้บนอินสแตนซ์ที่พิจารณาเป็นเวลานาน
เท่าที่จำเป็นต้องใช้อย่างน้อยหนึ่งการ
ซึ่งง่ายต่อการแรกลดกฎ กฎ A, issafesince {u, v, w } ฟอร์มอันมีรอบ S, andu เครื่องแล้ววาง
ใน F:
A.If กฎใน G

v เป็นจุดยอดลังเลอยู่ติดกับจุดยอด u, ∩S w∈Fsuchthatuw∈Eand {u, v, w }
=∅ thendeletev,i.e.,
reduce ไป subproblem(G
−v, F, R, U∪ {v }) .
สังเกตต่อไปนี้ส่งผลทันทีต่อไปลดกฎ: กฎ B.
1.สังเกต Letv เป็นจุดยอดของ G

ให้รอบ S ไม่มีของ G

ประกอบด้วย v แล้ว v ต้องเพิ่มถึง F ถ้าไม่อยู่ใน F และจากนั้น
ปลอดภัยซ่อน v.
Proof.If จุดยอด v ไม่เกี่ยวข้องในการ S รอบ แล้วไม่ได้เกี่ยวข้องในการ S-วงจรในตอนหลังเมื่อมากกว่า และ
จุดยอดเพิ่มมากขึ้นเป็น fromG ลบ

และเพิ่ม toU ดังนั้น จึงปลอดภัยเพิ่ม F และเนื่องจาก maximality จะต้องเพิ่ม
ถึง F ถ้าไม่ใน F. Assume ตอนนี้ที่ v∈F เรียกคืนที่สำหรับ Cin G−Uthat S รอบใด ๆ ประกอบด้วยจุดยอดของ R,
มีตัว C S รอบ

ใน G

เช่น V(C

) = R.BecausenoS-cycle V (C) ใน G

containsv, C

จะเป็น S-วงจรใน G
−vดังนั้น,
ปลอดภัยซ่อน vand เพิ่มทอร์ ✷
กฎ B.If G

มี v จุด ด้วย d(v) 1 แล้วเพิ่ม v F v คือลังเล และเมื่อ v ∈F แล้วซ่อน v เช่น ลดการ subproblem
(G
−v,F∪{v},U,R∪{v}).
SinceG

ไม่ว่างเปล่า และเป็น chordal มีจุด simplicial กับสังเกตต่อไปนี้ เราขอรับต่อไป
ลดกฎ: กฎ C.
2.สังเกต Letv เป็นจุดยอดของ G simplicial

IfN [v] ∩S =∅ แล้ว v ต้องเพิ่มถึง F ถ้าไม่ได้ใน F และจากนั้นจะปลอดภัย
ซ่อน v

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คง 1.Let (G
?
, F, U, R) เป็นตัวอย่าง สำหรับ S-วงจรใด ๆ ซีใน G-U ที่มีจุดสุดยอดของการวิจัยมี S-C เป็นวงจร
?
ใน g
?
เช่น
ที่ V (C
?
) = V (C) r
คงที่ 1 เป็นความจริงอย่างชัดเจนเมื่อ Ris ที่ว่างเปล่า เมื่อใดก็ตามที่เราซ่อนยอด v เราจะยืนยันว่าค่าคงที่ยังคงเป็นจริง
aftervis ซ่อน ต่อไปบทแทรกแสดงให้เห็นว่าเราสามารถละเว้นจุดใน Rwhen เราตัดสินใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับ
G-U, และด้วยเหตุนี้จึงมีความปลอดภัยในการทำงานใน G
? = G- (U∪R) แทน G-U
แทรก 1.Let (G
?
, F, U, R) เป็นตัวอย่าง UnderInvariant1, F
?
เป็นสูงสุด S-ป่า G-UsuchthatF⊆F
?
และถ้าหาก F
?
R
เป็นสูงสุด S-ป่า G
?
.
Proof.Let F
?
จะเป็นสูงสุด S-ป่า G-Usuch F⊆Fว่า
?
. แล้วอย่างชัดเจน F
?
R คือ S-ป่า G
?
. ขอให้เราเถียง
สำหรับ Maximality ตั้งแต่ F
?
เป็นสูงสุดสำหรับจุดสุดยอดใด ๆ xofG- (U∪F
?
) xis มีส่วนร่วมในซี S-วงจรใน G-Usuch ที่
V (C) ⊆F
?
∪ {x} สังเกตว่าตั้งแต่R⊆F⊆F
?
, anysuchvertexxis ยังจุดสุดยอดใน g
?
.ByInvariant 1 xis ที่เกี่ยวข้องใน
วงจร S-C
?
ใน g
?
เช่นที่ V (C
?
) = V (C) R.SinceG
? = G- (U∪R) มันตามที่ V (C
?
) ⊆ (F
?
R) ∪ {x} .Hencexcannot
ถูกเพิ่ม TOF
?
R ซึ่งเป็นจึงสูงสุด S-ป่า G
?
.
สำหรับ ทิศทางอื่น ๆ สมมติว่า F
?
RIS สูงสุด S-ป่า G
?
. ดังนั้นทุกจุดสุดยอด xin G
?
นอกออก
?
Ris
ส่วนร่วมใน S-วงจร Cin G
?
เช่นที่ V (C) ⊆ (F
?
R) ∪ {x} .SinceG-Uis supergraph จี
?
, Cis ยัง S-วงจรใน
G-U ดังนั้นไม่มีจุดมากขึ้นสามารถเพิ่ม F
?
ซึ่งเป็นสูงสุดจึง ขอให้เรายืนยันว่า F
?
เป็น S-ป่า สมมติ
สำหรับความขัดแย้งที่มันเป็นไปไม่ แล้วจุดสุดยอด yofRis ส่วนร่วมใน S-วงจร Cin G-Usuch ที่ V (C) ⊆F
?
.Thenby
คงที่ 1 มี S-cycleC เป็น
?
ใน g
?
เช่น thatV (C
?
) ⊆F
?
R ซึ่ง ขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า F
?
RIS S-ป่า
Öfg
?
. ✷
Themeasureof เช่น (G
?
, F, U, R) คือจำนวนของจุดแน่นอนคือจุดใน G
? -F ในการเริ่มต้น
ของขั้นตอนวิธีจุดทุกคนมีความไม่แน่นอนและด้วยเหตุนี้ตัวชี้วัด (G, ∅, ∅, ∅) เป็น n มาตรการลดลงด้วยจำนวน
ของจุดลบ fromG
?
บวกจำนวนของจุดเพิ่ม TOF ซ่อนจุดสุดยอดไม่ได้ส่งผลกระทบต่อการวัด
เช่น ในสายกับอินพุท (G
?
, F, U, R), อัลกอริทึมต่อไปจะเป็นสาขาย่อยที่จุดบางส่วน
จะถูกลบ fromG
?
และบางจุดจะถูกวางไว้ในเอฟและมาตรการที่จะลดลงตามไปด้วย ถ้าในขั้นตอนที่เรา
intot สาขาย่อยใหม่ที่วัดลดลง Byc1, c2, ... กะรัตในแต่ละ subproblem ตามลำดับที่เราได้รับ
การแยกเวกเตอร์ (c1, c2, ... กะรัต) เมื่อมาถึงจุดแยกแต่ละครั้งเราจะให้เวกเตอร์ที่สอดคล้องกับสาขาให้ความช่วยเหลือใน
การวิเคราะห์เวลาที่ใช้
ตอนนี้เราอธิบายการลดลงและกฎระเบียบของขั้นตอนวิธีการแยก whenG
?
มีจุดแน่นอน andf เป็น
S-ป่า ให้ (G
?
, F, U, R) มีการเรียกร้องของอัลกอริทึมที่น่าพอใจนี้ ในด้านล่างเรา letN (V) = NG? (V), N [v] = NG? [v] และ
ง (V) = dG? (V) ครั้งแรกที่เราระบุกฎสามลดลง กฎเหล่านี้ถูกนำมาใช้ซ้ำในกรณีการพิจารณาเป็นเวลานาน
เท่าที่จะเป็นไปได้ที่จะนำไปใช้อย่างน้อยหนึ่งของพวกเขา
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎการลดลงครั้งแรกกฎ, issafesince {u, v, w} รูปแบบ S-วงจร , Andu เครื่องวางอยู่แล้ว
ใน F:
กฎ A.If ใน G
?
ยอด v แน่นอนอยู่ติดกับจุดมึงw∈Fsuchthatuw∈Eand {u, v, w} ∩S
= ∅, thendeletev คือ
ลดลงเหลือ subproblem (G
-v, F, U∪ {V} R?)
การสังเกตดังต่อไปนี้ส่งผลทันทีในกฎการลดลงต่อไป: กฎ B.
สังเกต 1.Letv เป็นจุดสุดยอดของ G
?
เช่นว่าไม่มี S-วงจรของ G
?
มีวี. แล้วโวลต์จะต้องเพิ่ม F ถ้ามันไม่ได้อยู่ใน F และมันก็จะ
ปลอดภัยที่จะซ่อนวี
Proof.If จุดสุดยอดวีไม่ได้มีส่วนร่วมใน S-รอบแล้วมันไม่สามารถมีส่วนร่วมใน S- รอบที่ขั้นตอนต่อมาเมื่อขึ้นและ
จุดอื่น ๆ จะถูกลบ fromG
?
และเพิ่ม Tou ด้วยเหตุนี้มันมีความปลอดภัยเพื่อเพิ่มลงใน F และเนื่องจาก Maximality มันจะต้องเพิ่ม
การ F ถ้ามันเป็นไม่ได้อยู่ในเอฟสมมติว่าตอนนี้v∈F จำได้ว่าสำหรับ S-วงจร Cin G-Uthat มีจุดสุดยอดของ R,
S มีวงจรซี
?
จี
?
V เช่น (C
?
) = V (C) R.BecausenoS วงจรใน G
?
containsv, C
?
เป็น S-วงจรใน G
? -v.Hence,
มันปลอดภัยที่จะซ่อนน้ำเพิ่ม toR ✷
กฎ B. หาก G
?
มียอด v กับง (V) 1 แล้วเพิ่มโวลต์เพื่อ F ถ้าโวลต์จะลังเลและเมื่อวี∈Fแล้วซ่อนวีคือลด subproblem
(G
? -v, F∪ {V}, U, V R∪ {})
SinceG
?
ไม่ว่างเปล่าและเป็นคอร์ดัก็มีจุดสุดยอด simplicial ด้วยการสังเกตดังต่อไปนี้เราได้รับต่อ
การลดกฎ: กฎ C.
สังเกต 2.Letv เป็นจุดสุดยอดของ simplicial G
?
.IfN [v] ∩S = ∅แล้ววีจะต้องเพิ่ม F ถ้ามันเป็นไม่ได้อยู่ใน F, และมันก็จะปลอดภัย
ที่จะซ่อนตัววี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ค่าคงที่ 1 ให้ ( g

, F , U , r ) ตัวอย่าง สำหรับ s-cycle C G − U ที่ประกอบด้วยจุดยอดของ R มี s-cycle C

G


 เช่นที่ V ( c

) = V ( c ) R
ค่าคงที่ 1 ชัดเจนจริง เมื่อข้าวที่ว่างเปล่า เมื่อใดก็ตามที่เราซ่อนจุดยอด v เราจะยืนยันว่าไม่เปลี่ยนแปลงยังคงเป็นจริง
aftervis ที่ซ่อนอยู่ ที่แทรกถัดไปแสดงอย่างปลอดภัยเราสามารถละเว้นจุดใน rwhen เราตัดสินใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับ
G −วูดังนั้นมันปลอดภัยที่จะทำงานบน g
 = G − ( U ∪ r ) U .
แทรกแทน G − 1 ให้ ( g

, F , U , r ) ตัวอย่าง underinvariant1 , f

 เป็นสูงสุด s-forest G − usuchthatf ⊆  f

ถ้าและเพียงถ้า f

R
เป็น s-forest สูงสุดของ  G

.
proof.let f

 เป็น s-forest สูงสุดของ G − usuch ที่ F ⊆  f

ก็เห็นได้ชัดว่า F

r  เป็น s-forest  G

เราเถียง
สำหรับ maximality . ตั้งแต่ F

 เป็นมหาสำหรับยอด xofg − ( U ∪  f

) , ซิสที่เกี่ยวข้องในการ s-cycle C G − usuch ที่
v ( C ) ⊆ f

∪  { x } สังเกตว่าตั้งแต่⊆ F R ⊆ f

, anysuchvertexxis ยังจุดสุดยอดใน  G

byinvariant 1 ซิสที่เกี่ยวข้องในการ s-cycle C


G

 เช่น V ( c

) = V ( c ) r.sinceg
 = G − ( U ∪ R ) มันเป็นไปตามที่ V ( c

) ⊆ ( f

r ) ∪ { x } hencexcannot
ถูกเพิ่ม tof

r ซึ่งจึงเป็น s-forest สูงสุดของ  G


สำหรับทิศทางอื่น ๆสมมติว่า F

 RIS เป็น s-forest สูงสุดของ  G

ดังนั้นทุกจุดยอดซิน g



 นอกจาก RIS
มีส่วนร่วมในการ s-cycle cin g

เช่น  V ( c ) ⊆ ( f

r ) ∪ { x } sinceg − UIS เป็น supergraph G

 CIS ยัง s-cycle ใน
G −วู จึงไม่มีจุดที่สามารถเพิ่ม  f

ซึ่งจึงสูงสุด ให้เรายืนยันว่า  f

เป็น s-forest . สมมติ
สำหรับความขัดแย้งที่ไม่ใช่แล้ว yofris จุดสุดยอด มีส่วนร่วมในการ s-cycle cin G − usuch ที่ V ( c ) ⊆  f

thenby
ค่าคงที่ 1 มี s-cyclec

G

เช่น  thatv ( c

) ⊆ f

r  ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า f



 RIS เป็น s-forest ofg

✷
themeasureof อินสแตนซ์ ( G

, F , U , r ) คือจำนวนลังเลจุด ได้แก่ จุด G

 − F . ในตอนแรกของขั้นตอนวิธีการทุกจุดจะลังเลและดังนั้นการวัด ( กรัม∅∅ , , , , ∅ ) หยอดวัดด้วยจำนวนจุด ลบ fromg


 บวกจำนวนของจุดเพิ่ม tof . ซ่อนจุดยอดไม่มีผลต่อการวัดของ
อินสแตนซ์ ในการเรียกด้วยการป้อนข้อมูล ( g

, F , U , R ) ขั้นตอนต่อไปจะใส่ชื่อ subproblems ซึ่งในบางจุด


 fromg จะถูกลบและบางจุดจะถูกวางไว้ใน f และวัดจะลดลงตาม ถ้าในขั้นตอนเรา
intot subproblems สาขาใหม่ ซึ่งมาตรการลด byc1 , C2 , . . . , CT ในแต่ละ subproblem ตามลำดับ เราได้
กิ่งเวกเตอร์ ( C1 , C2 , . . . , CT ) ที่แยกแต่ละจุด เราจะให้สอดคล้องแตกแขนงเวกเตอร์จะช่วย

เวลาทํางานข้อมูลตอนนี้เราอธิบายการแตกแขนงและกฎของขั้นตอนวิธี wheng

มี  ลังเลจุด andf เป็น
s-forest . ปล่อย ( g

, F , U , r ) เป็นการเรียกของขั้นตอนวิธีที่น่าพอใจนี้ อยู่ด้านล่าง เรา letn ( V ) = ng  ( V ) [ V ] = ng  [ V ] ,
d ( v ) = DG  ( V ) แรกเราลดสถานะสามกฎ กฎเหล่านี้จะใช้ในการพิจารณาเช่น recursively นาน
มันเป็นไปได้ที่จะใช้อย่างน้อยหนึ่งของพวกเขา .
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎการแรกกฎ issafesince { , U , V , W } รูปแบบ s-cycle andu , พัสดุวางไว้แล้ว
f :
a ถ้ากฎ G

เป็นจุดยอด v  ลังเลอยู่ติดกับ จุดยอด u , w ∈ fsuchthatuw ∈ eand { u , v , w } = ∅∩ S
,
thendeletev เช่น ลดการ subproblem ( g
 − V , F , u ∪ { v }
, R )ต่อไปนี้การสังเกตทันทีผลลัพธ์ในกฎการลดต่อไป : กฎ B .
สังเกต 1 . letv เป็นจุดสุดยอดของ G

 ดังกล่าวว่าไม่มี s-cycle G

V V  มีแล้วต้องเพิ่ม f ถ้ามันไม่ได้อยู่ใน F และเป็นแล้ว

proof.if ปลอดภัยที่จะซ่อนจุดยอด V V ไม่ได้มีส่วนร่วมในการ s-cycle ก็ไม่สามารถเข้าไปยุ่งเกี่ยวใน s-cycle ที่ขั้นตอนต่อมาเมื่อเพิ่มเติม และเพิ่มเติมจะถูกลบออก fromg


 จุดยอดและเพิ่มโถว ดังนั้นมันปลอดภัยที่จะเพิ่ม F และเนื่องจาก maximality มันจะต้องเพิ่ม
F ถ้ามันไม่ได้อยู่แล้วในต่างประเทศ ถือว่าตอนนี้ v ∈เอฟ. จำใด ๆ s-cycle cin G − uthat มีจุดสุดยอดของ R ,
มี s-cycle C

G

 เช่น V ( c

) = V ( c ) r.becausenos-cycle G

containsv  C

 เป็น s-cycle G

v.hence  − , มันปลอดภัยที่จะซ่อน vand เพิ่มเกี่ยว กฎ✷
G

ถ้า  Bมีจุดยอด v กับ D ( V )  1 แล้วเพิ่ม f V V ถ้าจะลังเล และเมื่อ 5 ∈ F แล้วหลบใน คือ ลดการ subproblem
( g
 − V , F ∪ { v } , u , r ∪ { v }

 sinceg )
ไม่ว่างและเป็น chordal มียอด simplicial . ด้วยการสังเกต เราขอรับกฎลดต่อไป
.
สังเกตกฎต่อไปนี้ : 2 letv เป็นยอด simplicial  G

∩ IFN [ V ] = ∅ s ,แล้ว V ต้องเพิ่ม f ถ้ามันไม่ได้อยู่ใน F และมันก็ปลอดภัย
ซ่อน V